Onderaan deze blogpagina (in bijlage) vind je de 10 opgaven en het antwoordformulier.

SUCCES!

Idee en uitwerking: dr. Luc Gheysens

Met dank aan de sponsors.

Bijlagen:
Constanten deel 1 (2014-15) - W&O 160.pdf (276 KB)   
Constanten deel 1 (2014-15) - antwoordformulier.pdf (90.1 KB)   

Een beetje onverwacht overleed deze maand mijn ex-collega en oud-wiskundeleraar Laurent Favere.
Velen hebben van hem in het vierde, vijfde of zesde jaar wiskundeles gekregen
in het toenmalige Sint-Jozefinstituut in Kortrijk.

Laurent was regent wiskunde en stond bekend als een strenge maar rechtvaardige leraar.
 Afgeleiden, integralen, ruimtemeetkunde ... en heel wat andere onderwerpen
uit de hoogste twee jaren van de humaniora hadden weinig geheimen voor hem.

Omdat hij vaak 'gepeperde' examens voorschotelde aan zijn leerlingen
gaven we hem een leuke taak mee toen hij in 1998 met pensioen ging.
Omdat Laurent zich ook jarenlang als actieve muzikant inzette voor de Sint-Jozefharmonie
kreeg hij als opdracht de paradox van de trompet van Torricelli te verklaren.
Deze trompet heeft blijkbaar een eindig volume, maar een oneindige manteloppervlakte.

Hieronder vind je een kopie van de vakantietaak die we hem toen meegaven.

In dankbaarheid denk ik terug aan alle leuke wiskundelessen
en alle fijne momenten die ik als student en als collega met hem mocht beleven.

 

29-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wiskunde in Oostende

Wandelend langs de Oostendse kustlijn in de voetsporen van koning Leopold II
kwam het volgende vraagstukje bij me op.

De kapitein van een schip is tweemaal zo oud als zijn schip was, toen hij zo oud was als zijn schip nu is.
Samen zijn ze nu 56 jaar oud. Hoe oud is de kapitein nu?

© Adriaan Huys
Fotoproject Zeezichten 0.365 in de Venetiaanse gaanderijen in Oostende
van 6 september tot 3 november 2013.

Bijlagen:
De leeftijd van de kapitein - oplossing.pdf (152.8 KB)   

 

PROBLEEM 34

ABCD is een parallellogram en r is een rechte  die buiten deze figuur ligt.
De punten A', B', C' en D' zijn de loodrechte projecties van de hoekpunten A, B, C en D op de rechte r.
Als |AA’| = a, |BB’| = b, |CC’| = c en |DD’| = d, toon dan aan dat a + c = b + d.

  UITVINDING 34 

 

Deze ring in caoutchouc kon men over de opwindring van een zakhorloge schuiven.
De fijne stekeltjes op de ring konden zich dan vasthechten in de stof van de jas.
Op die manier had men een goedkope anti-diefstalring.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 34_oplossing.pdf (197.3 KB)   

MOOI INITIATIEF!

Bijna zes op de tien universiteitsstudenten slaagt niet voor het eerste jaar. Dat kost de Vlaamse overheid tot 100 miljoen euro, zo lezen we in De Morgen.

“Daarom ben ik voor een oriëntatieproef in het secundair”, zegt uittredend UGent-rector Paul Van Cauwenberge in de krant.

Het eerste jaar van de universiteit is voor een ruime meerderheid van de studenten een te hoge drempel.

Van de 15 366 eerstejaars in het academiejaar 2011-2012 haalden 8 543 jongeren de eindmeet niet, zo blijkt uit de slaagcijfers van de vijf instellingen in Vlaanderen.

Vier universiteiten leggen slaagpercentages tussen 40 procent (UHasselt) en 41,97 procent (UGent) voor.

De Universiteit Antwerpen (UA) vormt een uitzondering met een algemeen slaagcijfer van 62,83 procent.

De vertraging die de studenten oplopen, kost Vlaanderen veel geld.

Volgens cijfers van de Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling (OESO) investeert de overheid jaarlijks 11 800 euro in elke student.

Rik Torfs, rector van de KU Leuven, maakt zich zorgen.

 “Het kost onze gemeenschap en ouders geld, maar het kost de studenten als individu ook iets. Een jaar niet halen heeft vooral psychologisch een zware weerslag.

We moeten zorgen dat er niet te veel mensen ontgoocheld raken in de samenleving, en we moeten de slaagcijfers verhogen zonder de kwaliteit van onze opleidingen te verminderen.”

Torfs wijst met een vinger naar de vele richtingen in het secundair “die niet altijd geschikt zijn om vervolgens een universitaire studie aan te vatten”.

Zijn collega van de UGent sluit zich daarbij aan en pleit dan ook voor een oriëntatieproef in het voorlaatste schooljaar van het secundair.

Als de studenten dat nu ook nog leuk vinden ...
en als de leerkrachten van het secundair onderwijs er maar niet mee belast worden ....

 

24-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 De ezel van Buridan is een denkbeeldige, volstrekt rationele ezel
die precies in het midden tussen twee even aantrekkelijke schelven hooi wordt geplaatst. 
De ezel, die geen rationele grond heeft om tussen de twee schelven te kiezen,
blijft daarom 'eeuwig' twijfelen welke hooiberg hij zal kiezen
en zal uiteindelijk verhongeren.

Het gedachte-experiment is genoemd naar de middeleeuwse scholastische filosoof Johannes Buridanus
en staat nu bekend als de paradox van de ezel van Buridan.

Maar weet een wiskundeleerkracht (of een minister van onderwijs)
op de dag van vandaag al of er moet gekozen worden
voor wiskunde op een krijtbord of op een tablet?

21-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 35

Hierboven staan de eerste 7 driehoeksgetallen afgebeeld.
Noem S_O(n) de som van de eerste n driehoeksgetallen van oneven rang
en S_E(n) de som van de tussenliggende driehoeksgetallen van even rang.
Toon aan dat S_O(n) – S_E(n) een kwadraatgetal is voor elke waarde van n.
Zo is bv. S_O(3) – S_E(3) = (1 + 6 + 15)  – (3 + 10) = 22  – 13 = 9 = 3².

      UITVINDING 35  



Deze reddingsmatras was een Amerikaanse uitvinding.
De zachte matras kan men in een oogwenk omvormen tot een reddingsladder
die bijvoorbeeld in geval van brand kan gebruikt worden.
Het volstond de ring die aan de matras via een koord was bevestigd
ergens aan vast te maken in de kamer waar een brand ontstond
en dan de matras door het raam naar buiten te gooien.
Die ontplooide zich dan tot een ladder.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 35_oplossing.pdf (73.8 KB)   

Marc Renault is Assiocate Professor aan het Departement Wiskunde
van de Shippensburg University (Pennsylvania).
Hij ontwerpt een mooie collectie GeoGebra-applets over
limieten, afgeleiden (met toepassingen) en integralen.

Website: http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html

Voorbeeld 1

Om te bewijzen dat de limiet van f(x) = sinx/x voor x → 0 gelijk is aan 1
gebruikt hij op een didactisch verantwoorde manier een applet
en volgt hierbij niet de klassieke werkwijze die we in onze wiskundehandboeken terugvinden en die hieronder vermeld staat.

Voorbeeld 2

Ook een aantal klassieke extremumvraagstukken
worden visueel aangepakt met behulp van een GeoGebra-applet.

Een stuk draad met een vaste lengte L wordt omgeplooid tot een rechthoek.
Wanneer bekom je de rechthoek met de grootste oppervlakte?

Moet ook jij eens bekijken!

18-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Info op iTunes: https://itunes.apple.com/be/app/geogebra/id687678494?l=nl&mt=8

Hopelijk zet dit ook nog aan tot creatief denken!

Ziehier een paar probeersels.

Op de eerste schermafdruk worden de snijpunten bepaald van een parabool en een rechte.

Op de tweede schermafdruk zoeken we de vergelijking van de cirkel door drie gegeven punten (waaronder de oorsprong)
en bepalen we het tweede snijpunt van de gevonden cirkel met de rechte met vergelijking y = -x. 

Toch wel even het bekijken waard ...

11-09-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 36

M is het midden van de zijde [AB] van een vierkant ABCD.
Op de diagonaal [BD] neemt men een punt N zodat |BN| = 3|DN|.
Hoe groot is dan de aangeduide hoek op de onderstaande figuur?

      UITVINDING 36       

In de 19de eeuw waren stoombaden heel populair
en men geloofde erg in de geneeskunde kracht ervan.
Dit eenvoudig apparaat bestond uit een metalen band en twee stangen
die men op de leuning van een stoel kon bevestigen.
Hiermee kon men dan soort draagbare sauna opbouwen.
Onder het kleed kwam er warmte vrij via een scheikundige reactie
waarbij een bepaalde stof in water oploste.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 36_oplossing.pdf (249.6 KB)   

 

PROBLEEM 37

Een hoogbejaarde vader besluit zijn gespaard kapitaal te verdelen onder zijn kinderen.
De oudste krijgt 1000 euro en één tiende van de rest.
De tweede krijgt 2000 euro en één tiende van de rest.
De derde krijgt 3000 euro en één tiende van de rest.
Enzovoort ...
Uiteindelijk blijkt elk van de kinderen evenveel te krijgen.
Hoeveel kinderen heeft die man?

     UITVINDING 37



Dit apparaat werd bevestigd achteraan een wagen
die door een paard werd voortgetrokken.
Hiermee kon men het hooi van het land opscheppen
en het dan in de wagen laten vallen.
Zo spaarde men op twee manieren heel wat handenarbeid uit.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 37_oplossing.pdf (110.7 KB)   

PROBLEEM 38

Een wijnhandelaar beschikt over drie soorten wijn die resp. 15 euro, 10 euro en 6 euro per liter kosten.
Hij wil de drie soorten mengen tot hij 100 liter wijn heeft van 8 euro per liter.
Van elke soort mengt hij een geheel aantal liter (verschillend van nul).
Hoe doet hij dat?

     UITVINDING 38



Dit eenvoudig apparaat was een hulpmiddel voor minder handige personen om een koe te melken.
De speen de koe werd tussen twee gebogen stukjes rubber geplaatst.
Eén ervan was vast gemonteerd en het andere kon men heen en weer bewegen
via een veermechanisme door aan een koord te trekken.
Voor heel rustige koeien was er ook een apparaat om de 4 spenen tegelijk in te plaatsen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 38_oplossing.pdf (157.4 KB)   

De dobbelstenen van Sicherman (genoemd naar de Amerikaanse ontdekker George Sicherman)
werden voor het eerst in 1978 beschreven door Martin Gardner in een artikel in Scientific American.

De twee dobbelstenen bevatten de volgende getallen (aantal ogen):
1, 2, 2, 3, 3 en 4
1, 3, 4, 5, 6 en 8.

Ze blijken dezelfde kansverdeling voor de som van het aantal ogen op te leveren als bij twee gewone dobbelstenen.

Hoezo?

Stel dat je een spel speelt met twee gewone dobbelstenen.
Hoe bereken je dan de kans dat de som van het aantal ogen gelijk is aan 7 of aan 10?

Het antwoord lees je af op het roosterdiagram op de linkse figuur hieronder.
De cijfers in het rooster geven de som weer van het aantal ogen op de twee dobbelstenen.
Er zijn 6 x 6 = 36 mogelijke gevallen en in 6 ervan krijg je 7 als som.
De kans op 7 is dus 6/36 of 1 op 6.
De som 10 bekom je in 3 gevallen.
De kans op 10 is dan 3/36 of 1 op 12.

Het resultaat voor de som van het aantal ogen bij de twee Sicherman-dobbelstenen
lees je dan af op het roosterdiagram op de rechtse figuur.
Daarop zie je dat elk van de mogelijke sommen van 2 tot en met 12 
precies evenveel keer voorkomt als in het linkse rooster!

 

27-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Naked Geometry

Geniet even van drie filmpjes
waarin Mike Naylor op een artistieke manier
wiskundige figuren opbouwt met behulp van menselijke lichamen.

FILM 1

Hierin komen o.a. de kubus, regelmatige veelhoeken,
de Sierpinski-driehoek en de Sneeuwvlok van Koch aan bod.



FILM 2

Een kubus heeft 9 symmetrievlakken.
Door hierop in drie verschillende richtingen een spiegel te plaatsen ontstaat een kaleidoscoop.
Hiermee creëert Mike Naylor verrassende effecten.



FILM 3

Zes vrouwelijke figuren slagen erin op een artistieke manier
de vijf regelmatige veelvlakken op te bouwen.
Een hoogstaand kunstwerkje dat al in de prijzen viel!



Meer uitleg over dit uniek project vind je op
http://www.nakedgeometry.com/

26-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDIG TOEVAL

In 1944 publiceerde een Amerikaanse krant de onderstaande tabel.
Eén van de redactieleden meende immers een merkwaardig toeval te ontdekken.
Als hij van de vijf vermelde politici de vier getallengegevens samentelde,
kwam hij telkens tot dezelfde som.

Toeval?

Weet jij het?

25-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De WiskundeAcademie is een initiatief vanuit Nederland voor leerlingen die moeite hebben met wiskunde of voor leerlingen die meer willen te weten komen over een bepaald onderwerp.

Vaak gaat de uitleg tijdens de wiskundeles net iets te snel en heeft het voor de ene leerling net iets meer tijd nodig om te landen dan voor de ander.

Daarnaast kan ziekte ook zorgen voor achterstand die vaak moeilijk weer bij te werken is.

Maar het kan ook zijn dat een leerling juist op een hoger tempo werkt en graag vooruit wil werken, maar tegengehouden wordt door het tempo van de klas. 

Over heel wat onderwerpen zijn er nu didactische filmpjes beschikbaar voor een breed publiek en met enkele oefenopgaven kan men testen of men het daadwerkelijk begrepen heeft.

Volgende onderwerpen komen o.a. aan bod:
Getallenleer en algebra (procenten, machten, breuken, letterrekenen ...).
Meetkunde en goniometrie (omtrek en oppervlakte, bissectrice, Pythagoras, goniometrische getallen ...).
Statistiek.
Functiebegrip (lineaire en exponentiële verbanden, kwadratische functies ...).

Opgelet: de gebruikte notaties komen niet steeds overeen met de notaties die we hier in Vlaanderen gebruiken.

De filmpjes zijn gratis beschikbaar. Houden zo!

24-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE VOOR DUMMIES

Zijn jouw leerlingen er weer klaar voor?

Vereenvoudigen van breuken

Oplossen van vergelijkingen

Uit (x + 3)(2 – x) = 0 volgt dat x + 3 = 0  of 2 – x = 0
dus volgt uit (x + 3)(2 – x) = 4 dat x + 3 = 4 of 2 – x = 4
en bijgevolg is x = 1 of x = -2. 
Correcte uitkomst!

Los op: (5 – 3x)(7 – 2x) = (11 – 6x)(3 – x)
Oplossing.   5 – 3x + 7 – 2x  =  11 – 6x + 3 – x
12 – 5x = 14 – 7x
2x = 2
x = 1.
Correcte uitkomst!

Bekijk ook eens het onderstaande Youtube-filmpje!

23-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 39

Bekijk de onderstaande sommen:

5³ + 6³ + 7³ = 684
10³ + 11³ + 12³ = 4 059
31³ + 32³ + 33³ = 98 496
...

Blijkbaar is de som van de derdemachten van 3 opeenvolgende gehele getallen
steeds deelbaar door 9 (want de som van de cijfers van de uitkomst is deelbaar door 9).
Toon aan dat dit in het algemeen waar is!

     UITVINDING 39

De beschrijving van deze kinderwagen verscheen in The Scientific American.
Via een vernuftig principe bleef het bakje waarin het kind lag steeds horizontaal staan.
Het regen- en zonnescherm kon men verschuiven.
De schijf vooraan was in feite geen wiel
maar diende om de kinderwagen in evenwicht te houden als hij stil stond.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 39_oplossing.pdf (126.6 KB)   

Je kent ongetwijfeld de figuren die men bekomt door koordjes te spannen
rond nageltjes die op geregelde afstanden op een plankje zijn aangebracht.

Het gaat hier om string art, een techniek uitgevonden op het einde van de 19de eeuw
door Mary Everest Boole, een Engelse wiskundige
en vrouw van George Boole die we kennen van de boole-algebra.
Mary gebruikte deze techniek van curve stitching (borduren van krommen)
om kinderen al op jonge leeftijd spelenderwijs de wiskunde te laten ontdekken.

In een workshop op het voorbije T3-symposium in Oostende
liet collega Didier Deses ons deze techniek ontdekken
via een programma voor de grafische rekenmachine TI-84 Plus Color.

Het resultaat zie je hieronder
en het bijhorende programma zit in bijlage.

In dat programma zijn de rode stippen de nageltjes en de draden hebben een blauwe kleur.

String art

Bijlagen:
Cardioïde via string art met TI-84.pdf (188.3 KB)   

Zoals ik al eerder vermeldde op mijn blog is de cardioïde of hartlijn mijn favoriete kromme.

De cardioïde is blijkbaar een zogenaamde kaustiek of kaustische kromme.
De naam is afgeleid van het Griekse woord voor 'branden'
en de term verwijst naar het feit dat de kromme ontstaat door reflectie of breking van het licht.
Men kan dus spreken van een brandkromme, naar analogie van het brandpunt bij een parabool.

Wanneer de kromme ontstaat door reflectie van het licht op een vlak oppervlak spreekt men van een katakaustiek
en wanneer dit gebeurt door breking van het licht gebruikt men de term diakaustiek.
De lichtstralen zijn dus raaklijnen aan de gevormde kromme,
die dan zelf de omhullende is van die verzameling rechten.

Hieronder zie je hoe een cardioïde zichtbaar wordt op de bodem van een pan
en met een beetje geluk zie je die 's morgens ooit eens in jouw kop koffie opduiken! 



Lees dit verband ook eens de tekst 'Wat ziet in wiskundige als hij diep in het glas kijkt?'
op http://weetlogs.scilogs.be/index.php?op=printView&articleId=176&blogId=11 .

Op de website http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml
kom je nog heel wat meer te weten over de cardioïde.

Lees ook eens de bijlage.

Bijlagen:
De cardioïde in een kopje koffie.pdf (207.1 KB)