MET WISKUNDE HET NOORDEN BEPALEN

Wellicht heb ook jij ooit in de aardrijkskundelessen
enkele praktische regeltjes geleerd om het noorden te bepalen.

We zetten er hier graag twee op een rij waarbij een beetje wiskundekennis volstaat.

Voor het eerste heb je een polshorloge met wijzers nodig.
Heel veel jongeren hebben nu echter een digitaal uurwerk
of ze gebruiken gewoon hun smartphone als klok.

Voor het tweede moet je 's nachts sterren gaan zoeken.
Maar door de overvloedige verlichting en vaak ook door de bewolking
zijn de sterren in heel veel regio's niet meer te zien.

 

 Is een kompas (gratis als App beschikbaar op tablets) dan toch het meest efficiënte middel?

**************************************************************************************************************

Toen Einstein vijf jaar was kreeg hij van zijn vader een kompas en hij verwonderde zich
er blijkbaar direct over dat de naald steeds weer in dezelfde richting ging wijzen.
Zo zie je maar tot wat het gebruik van een kompas op jeugdige leeftijd kan leiden.

Een leraar geografie uit Koeweit
kwam blijkbaar nergens op tijd.
Om geen risico meer te lopen
ging hij een digitaal uurwerk kopen.
Sindsdien is hij het noorden kwijt.

09-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Jos de Mey (1928 - 2007)
was een Vlaamse kunstenaar en binnenhuisarchitect
die een aantal onmogelijke figuren schilderde in de stijl van M.C. Escher.
In zijn schilderijen figureren bovendien personages
uit het werk van René Margritte en Pieter Bruegel de Oude.

Tijdens de Nationale Wiskundedagen in Nederland ontmoette ik Jan M. Broeders
die de grootste privé-collectie van werken van Jos de Mey bezit.
Hij vertelde me vol enthousiasme over de optische illusies,
de wiskundige constructies en de onmogelijke figuren
die voorkomen in het werk van deze Vlaamse kunstenaar.

Referenties:
www.optischefenomenen.nl 
www.arsetmathesis.nl

Wie is 'sant in eigen land'?

      

08-02-2014 om 22:27 geschreven door Luc Gheysens  

DISPHENOÏDE

Een disphenoïde (Grieks: δις = tweemaal, σφηνος = wig, ειδος = vorm)
is een viervlak waarvan de vier zijden congruente scherphoekige driehoeken zijn.

Op de Nationale Wiskundedagen in Nederland 2014 bestond één van de opdrachten
van de 'wisrun' erin uit een envelop een disphenoïde te maken.

Op de onderstaande afbeeldingen zie je hoe je dat zelf kunt uitproberen.

Kan je ook bewijzen dat je hiermee een viervlak bekomt
waarvan de vier zijden congruente driehoeken zijn?

En uiteraard is een regelmatig viervlak een speciaal geval van een disphenoïde.

 

STELLING OVER DE DISPHENOÏDE
De som van de afstanden van een willekeurig punt P
binnen een disphenoïde tot de vier zijvlakken is constant
d.w.z. onafhankelijk van het gekozen punt.

Bewijs.
Verbind het punt P met de vier hoekpunten.
Op die manier is de disphenoïde verdeeld in vier driezijdige piramiden
waarvan het grondvlak dezelfde oppervlakte A heeft.
Noem h₁, h_2^, h₃ en h₄ de afstanden van P tot de vier zijvlakken
en noem V het volume van de dispenoïde.

Dan is V = h₁A/3 ^₊ h₂ A/3 ^₊ h₃ A/3 ^₊ h₄ A/3
zodat h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = 3V/A.

07-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 15

Op de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC
construeert men een vierkant zoals op de onderstaande figuur.
De hoogtelijnen verdelen elk vierkant in twee rechthoeken.
(H is het hoogtepunt van de driehoek).
Toon aan dat de rechthoeken in dezelfde kleur dezelfde oppervlakte hebben.

 UITVINDING 15



Rond 1850 groeide het besef dat bacteriën
de oorzaak waren van een tal van ziekteverschijnselen.
In ziekenhuizen gebruikte men dan frequent verstuivers die zorgden voor verse lucht.
Dit apparaat werd ontworpen door een zekere Linière.
Hij sloot het centrale metalen deel waarin water vermengd met etherische oliën zat
aan op een gasleiding en verwarmde zo het water om het te laten verdampen.
Door aan een wiel te draaien verspreidde de damp zich in de kamer waar de patiënt lag.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 15_oplossing.pdf (141.3 KB)   

SOMMEN VAN KWADRAATGETALLEN

Kwadraatgetallen blijven verrassen.



Wist je dat

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 25² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
55² + 56² + 57² + 58² +59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²

?



Maar kan je ook in het algemeen bewijzen
dat er voor elke positieve gehele waarde n (n > 1)
n opeenvolgende kwadraatgetallen bestaan
waarvan de som gelijk is aan de som
van de daarop volgende n – 1   kwadraatgetallen?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Sommen van kwadraatgetallen.doc (58 KB)   

TWEEPALENPROBLEEM

Na mijn lezing over paradoxen op de Nederlandse Nationale Wiskundedagen (31-01-2014)
herinnerde een collega mij aan het volgende theoretisch vraagstukje.

Twee palen met een hoogte van 20 meter staan verticaal
en 800 meter van elkaar verwijderd op een horizontale bodem.
Tussen de palen zal men kabels spannen op een hoogte van 20 meter.
De verantwoordelijke technicus besluit kabels te spannen
met een lengte van 801 meter zodat ze een beetje zullen doorhangen.

Kan jij berekenen hoe hoog het middenste (= laagste) punt van de kabels boven de grond zal hangen,
m.a.w. hoeveel zullen de kabels dan in het midden doorhangen?

Hint. Bereken eens de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek
waarvan de rechthoekszijden respectievelijk 400 m en 20 m lang zijn.



"Verrast zijn is het begin van begrijpen"

04-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens