Kan je het volgende probleempje oplossen?

Tijdens een luchtshow vliegen 9 vliegtuigjes netjes op één rij in formatie achter elkaar.
De echtgenote van piloot F. Picket vroeg hem op welke positie hij vloog.
Picket antwoordde met het volgende raadsel:
"Het product van het aantal vliegtuigen voor mij en het aantal achter mij
is 3 kleiner dan het zou geweest zijn als ik 3 plaatsen meer naar achteren had gevlogen."

Op welke positie vloog F. Picket?



BOMMEN EN KANSREKENEN

Farid nam vaak het vliegtuig en was altijd bang dat er een bom aan boord zou zijn.
Zijn vriend Hassan, een wiskundige uit Jemen stelde hem gerust.
Hij had immers berekend dat die kans maar 1 op 10 miljoen was.
 En de kans dat er 2 bommen aan boord zouden zijn van eenzelfde vliegtuig
was volgens zijn berekeningen maar 1 op 10 miljard of zo goed als nul.

Sedertdien neemt Farid altijd zelf een bom mee aan boord.

12-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Zonet heb ik de nieuwste thriller INFERNO van Dan Brown gelezen.
In het boek komt de problematiek van de bevolkingsexplosie en van het voedselprobleem aan bod.

Op de onderstaande grafiek kan je zien dat de bevolkingstoename in de laatste eeuw vrij dramatisch is (1 billion = 1 miljard)
en de cijfers liegen er niet om:

1804 jaar: 1 miljard
123 jaar later: 2 miljard
33 jaar later: 3 miljard
15 jaar later: 4 miljard
12 jaar later: 5 miljard
12 jaar later: 6 miljard
12 jaar later: 7 miljard



Ik vroeg me dan ook af hoeveel mensen er in totaal al op aarde geleefd hebben.
Een antwoord vond ik op www.scientias.nl:

Er zijn veel factoren die het moeilijk maken om de mensheid van begin af aan te tellen.
Daardoor is het moeilijk om precies te bepalen hoeveel mensen er ooit op aarde hebben gelopen.
Maar als we in acht nemen dat de mens rond 50 000 voor Christus al bestond,
dan hebben er in totaal zo’n 107 miljard mensen voet gezet op de planeet.
Momenteel leven er zo’n 7 miljard – dat is 6,5 procent van het totale aantal mensen dat ooit heeft geleefd.



PARADOX VAN HET AANTAL VOOROUDERS

Je hebt twee ouders, die elk weer twee voorouders hebben, die op hun beurt elk twee voorouders hadden ….
Als we rekenen dat er per eeuw drie generaties hebben geleefd, dan komen we zo voor de voorbije 20 eeuwen op 60 generaties.
Dit betekent dat je bij het begin van onze jaartelling 2⁶⁰ of ongeveer 10¹⁸ voorouders had.

10¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 miljoen x 1 miljoen x 1 miljoen = 1 triljoen.

Maar dit is beduidend meer dan het aantal mensen dat er ooit op onze aardbol leefde.
Hier klopt iets niet ... en hopelijk ben je het roerend met me eens!

11-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Lucie speelt een rekenspelletje met haar broer Janus.
Zij zegt het volgende:
"Denk aan een getal van 1 tot en met 60.
Geef me de resten bij deling door 3, 4 en 5
en ik zal je zeggen welk getal je in gedachten hebt genomen."

Janus neemt het getal 26 in gedachten
en zegt dus dat de resten respectievelijk 2, 2 en 1 zijn.

Dan neemt Lucie een rekenmachientje.
Als de resten a, b en c zijn, dan berekent zij hiermee G = 40a + 45b + 36c.
Aangezien hier a = 2, b = 2 en c = 1 bekomt zij zo het getal G = 206.
Van dit getal berekent zij de rest r bij deling door 60
en vindt zo dat r = 26 (want 206 = 60 x 3 + 26).
Dit is meteen het getal dat haar broer Janus had gekozen!

Maar kan je ook verklaren waarom dit procédé altijd het gezochte getal oplevert?

Antwoord in bijlage.
 

Bijlagen:
REKENRAADSEL.pdf (48.1 KB)   

 

PROBLEEM 19

In een vierkant ABCD met zijde z construeert men twee even grote cirkels C₁ en C₂
die respectievelijk raken aan de zijden [AD] en [BC]
en die elkaar raken in het middelpunt M van het vierkant.
Een derde cirkel C₃ raakt aan de zijde [AB] en raakt ook aan de twee andere cirkels.
Bepaal de straal van de cirkel C₃ in functie van de zijde z van het vierkant.

UITVINDING 19

Om de honing los te krijgen uit de raten plaatste men die traditioneel in de zon
onder een glazen wand zodat de honing door de zonnewarmte kon lossmelten uit de raten.
Hierdoor verloor de honing echter veel van zijn aroma.
Vandaar dat men een soort mechanische centrifuge bedacht
waarbij men de raten via een hendel kon laten ronddraaien.
Hierdoor verliep het gehele procédé vlugger
en was de honing blijkbaar van een veel betere kwaliteit.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 19_oplossing.pdf (130.7 KB)   

DE PARADOX VAN DE BOLZONE

Als kind was ik gefascineerd door de zogenaamde Jastrow-illusie.
Het blauwe stukje karton op afbeelding links lijkt kleiner te zijn dan het gele stukje,
maar wanneer men ze van plaats verwisselt blijkt het blauwe het grootste te zijn!


       

Dit herinnert me er aan dat ik als toepassing op de integraalrekening 
aan mijn leerlingen de volgende opgave meegaf.

Welke van de drie onderstaande figuren heeft de grootste oppervlakte:
een bolkap met hoogte h op een bol met straal r,
een bolzone met hoogte h op een bol met straal r,
of een strook met hoogte h op de cilinder die omgeschreven is aan een bol met straal r?

Weet jij het?

 

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Paradox van de bolzone verklaard.pdf (212.9 KB)   

EEN PARADOXAAL GETAL

Bestaat er een getal G dat kleiner is dan zichzelf?
Blijkbaar wel.
We maken hierbij gebruik van het feit
dat breuken kleiner worden als men de noemers vergroot.



Wat is hier fout?

07-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE BANK EN DE ZEEMEERMIN
Een paradoxaal verhaaltje.

Bron: Pythagoras, jaargang 12 1972/1973

Een bank beschikt over oneindig veel euro's.
De directeur heeft naast de bank een vijver met daarin een zeemeermin.
 Hij gooit elk uur twee euromuntstukken in de vijver en de zeemeermin gooit er na een half uur één van terug.
Hoeveel euromuntstukken houdt de bankdirecteur uiteindelijk over?

Versie 1.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en de zeemeermin gooit 2 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en de zeemermin gooit munt 4 terug.
Uiteindelijk hebben ze er elk evenveel
want de directeur houdt de even nummers over en de zeemeermin de oneven nummers!

Versie 2.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 1 en 3 in het water en krijgt 1 terug.
Hij gooit dan munt 1 en 4 in het water en krijgt 1 terug.
Uiteindelijk houdt de zeemeermin alle euromunten op één na!

Versie 3.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en krijgt 2 terug.
Hij gooit munt 5 en 6 in het water en krijgt munt 3 terug.
Na 10 keer heeft de zeemeermin de munten 1 tot en met 10 teruggegooid.
En na 1000 keer is ze de munten 1 tot en met 1000 terug kwijt.
Uiteindelijk geraakt ze alle munten kwijt
(ook munt 75 953 want die gooit ze bij de 75 953^ste  beurt terug)!

 

06-01-2014 om 20:51 geschreven door Luc Gheysens  

TWEE FOUTIEVE BEWIJZEN

Hieronder geven we het bewijs van twee gekende stellingen.
Deze bewijzen vind je echter niet terug in de handboeken.
Weet jij soms wat er mis mee is?

STELLING 1.
De som van de hoeken van een willekeurige driehoek is 180°.

Fout in de redenering. Men gaat er hier van uit dat de som van de hoeken bij elke driehoek gelijk, is...

 STELLING 2 (Pythagoras)
Bij een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde
gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden.

Fout in de redenering: de formule sin² β + cos² β = 1 is zelf een gevolg van de stelling van Pythagoras. 

06-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens