Bij het maken van redeneringen kan je botsen op een zogenaamde vicieuze cirkel.
Hieronder staat een leuk voorbeeld dat we vonden op de website www.mobielvlaanderen.be :
 :

Ook in de wiskunde duiken dergelijke redeneringen geregeld op.
Hieronder zie je bijvoorbeeld een bewijs voor de fameuze stelling van Pythagoras
via de grondformule van de goniometrie, die zelf weer een gevolg is van de stelling van Pythagoras.

Deze redenering was de aanleiding om samen met college Koen De Naeghel
te zoeken naar een alternatief en nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras
door gebruik te maken van lineaire algebra.

Het bewijs vind je in bijlage in een Nederlandstalige en een Engelstalige versie.

Is dit een geldig bewijs of zit hierin een vicieuze cirkel verscholen?
Wie zegt het ons???

Bijlagen:
Pythagoras (Koen De Naeghel - Luc Gheysens) en.pdf (185.3 KB)   
Pythagoras (Koen De Naeghel - Luc Gheysens).pdf (186.9 KB)   

Waarom heeft de regenboog de vorm van een cirkelboog?

De regeldruppels weerkaatsen via een bepaalde breking het licht van de zon.

Opdat een regendruppeltje bijdraagt tot het feit dat u een regenboog ziet, moet de hoek tussen de zon en uzelf, gezien vanuit de druppel 42° zijn.

De druppels die daaraan voldoen liggen dan blijkbaar vanuit uw standpunt gezien in een cirkel aan de hemel.

Prof.dr. Paul Hellings, hoogleraar toegepaste wiskunde (groep T - Leuven) geeft u een meer gedetailleerde uitleg op http://www.ikhebeenvraag.be/vraag/26205 .

In feite ziet iedereen die naar een regenboog kijkt een 'persoonlijke regenboog'.

De regenboog lijkt zich daarom ook samen met de waarnemer te verplaatsen zodat ze dus 'een bewegende optische illusie' is.

Vanuit een vliegtuig of vanop een hoog torengebouw kunt u een regenboog als een volledige cirkel zien, zoals blijkt uit het onderstaande youtube-filmpje.

In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.

Bijlagen:
Illusie en werkelijkheid.pps (2.1 MB)   

De schijngestalten van de maan zijn welbekend:
 nieuwe maan, eerste kwartier,
volle maan, laatste kwartier
en terug nieuwe maan.

Een cyclus duurt 28 dagen.
Bij eerste en laatste kwartier is 25 % van de maan zichtbaar verlicht,
bij volle maan is dat 100 % en bij nieuwe maan 0 %.
Als we de cyclus laten starten bij nieuwe maan (dag 0),
dan kan een wiskundige zich de vraag stellen
hoeveel procent van de maan zichtbaar verlicht is
na 3,5 dagen, na 10,5 dagen, na 17,5 dagen en na 24,5 dagen
(zie onderstaande figuur).

Voor de oplossing maken we gebruik van een algemene sinusfunctie met als voorschrift

f(x) = 50 sin [(π/14)( x – 7)] + 50.

Jouw wiskundeleraar kan je ongetwijfeld uitleggen hoe ik aan dit voorschrift kom!

Dan levert f(3,5) = f(24,5) de waarde 14,64 % op
en f(10,5) = f(17,5) geeft 85,36 %.

Controleer zelf de waarden van f(0), f(7), f(14), f(21) en f(28).

Na hoeveel dagen is een kwart van de maan zichtbaar verlicht?

Voor de liefhebbers van integralen: bereken eens de bepaalde integraal
van de bovenstaande functie tussen de grenzen 0 en 28.
Verklaar het gevonden resultaat.

 

01-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

(S)LIMERICK

Een oudere vent uit Ploegsteert
had nooit graag wiskunde gestudeerd.
Hij kende toch in elk geval
een mooie eigenschap van ieder getal.
Was hij dan toch getallen-teerd?

STELLING.  Elk natuurlijk getal heeft een speciale eigenschap.

Bewijs uit het ongerijmde.
Stel dat V de verzameling is van de natuurlijke getallen zijn die geen speciale eigenschap hebben.
Als deze verzameling niet leeg is, dan zit hierin een kleinste natuurlijk getal.
Dit getal heeft dan de speciale eigenschap dat het het kleinste natuurlijk getal is zonder speciale eigenschap.
Dit is meteen een contradictie met het feit dat het in de verzameling V zit.
Q.E.D.

**************
Je kunt je bijvoorbeeld afvragen welke bijzondere eigenschap het getal 176 heeft.
Het antwoord zit in een magische vierkant, waarin we de digitale cijfertypes gebuiken.

In het magisch vierkant 1 is de som van de vier getallen
in elke horizontale rij, in elke verticale kolom en op de twee diagonalen gelijk aan 176.
Dit getal noemt men dan de magische constante van het vierkant.
Wanneer je nu dit vierkant op zijn kop zet (ondersteboven houdt) bekom je het magisch vierkant 4.
Merkwaardig genoeg is de magische constante opnieuw 176.
Door op het vierkant 1 een andere meetkundige transformatie uit te voeren (weet je ook welke?)
bekom je de magische vierkanten 3 en 4.
Wat is hier de magische constante? 

En als je toch nog twijfels hebt over het feit
dat elk natuurlijk getal een speciale eigenschap heeft,
kijk dan eens op een van de volgende websites:

http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html 

http://math.fau.edu/richman/Interesting/WebSite/Interesting.htm

http://www.archimedes-lab.org/numbers/Num1_69.html

http://mrob.com/pub/math/numbers.html

30-05-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Slechts twee Belgische wiskundigen hebben in België een standbeeld gekregen.

                                                                                                                                          

In Brugge staat het standbeeld van Simon Stevin.                    In Brussel staat  Adolphe Quetelet.     
Aan hem hebben we o.a. het woord 'wiskunde' te                        Hij is voornamelijk bekend voor          
danken. Hij verving immers 'mathematica' door                    het invoeren van de Body Mass Index, die 
het Nederlandse woord 'wiskonst'.                                     ook wel de Quetelet-index wordt genoemd.

Slechts twee Belgische wiskundigen wonnen ooit de prestigieuze Fields-medaille.
Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, kan men deze onderscheiding als de tegenhanger ervan beschouwen.
Kwatongen beweren dat er geen Nobelprijs voor wiskunde is
omdat de vrouw van Alfred Nobel een affaire had met de Zweedse wiskundige Gosta Mittag-Leffler.
Dat het hier om een roddel gaat valt niet te betwijfelen: Alfred Nobel is immers nooit getrouwd geweest...
De Fields-medaille is genoemd naar een Canadese wiskundige en ze wordt om de vier jaar uitgereikt
aan wiskundigen die niet ouder zijn dan 40 jaar en een bijzondere verdienste hebben op het vlak van de wiskunde.

Pierre Deligne (geboren in Brussel in 1944) ontving de Fields-medaille in 1978.



Jean Bourgain (geboren in Oostende in 1954) ontving de Fields-medaille in 1994.

Beide professoren werkten aan de bijzonder hoog aangeschreven
School of Mathematics van het Institute for Advanced Study in Princeton.

Wanneer krijgen zij een standbeeld?

30-05-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade editie 2011-2012
dook een verrassend vraagstukje op
waarbij er op het eerste gezicht te weinig gegevens zijn
om het te kunnen oplossen:

In de etalage van een juwelier ligt een collectie ringen
die alle uit zowel goud als zilver bestaan, telkens in een andere samenstelling.
De ringen zijn even zwaar.
De mooiste ring, volgens mijn persoonlijke smaak,
bevat één vijfde van de totale massa aan goud in de collectie
en één zevende van de totale massa aan zilver.
Hoeveel ringen liggen er in de etalage?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw




De oplossing vind je in de bijlage.

Bijlagen:
Oplossing VWO-vraag over ringen.pdf (48.7 KB)