WISKUNDE VOOR DUMMIES

Zijn jouw leerlingen er weer klaar voor?

Vereenvoudigen van breuken

Oplossen van vergelijkingen

Uit (x + 3)(2 – x) = 0 volgt dat x + 3 = 0  of 2 – x = 0
dus volgt uit (x + 3)(2 – x) = 4 dat x + 3 = 4 of 2 – x = 4
en bijgevolg is x = 1 of x = -2. 
Correcte uitkomst!

Los op: (5 – 3x)(7 – 2x) = (11 – 6x)(3 – x)
Oplossing.   5 – 3x + 7 – 2x  =  11 – 6x + 3 – x
12 – 5x = 14 – 7x
2x = 2
x = 1.
Correcte uitkomst!

Bekijk ook eens het onderstaande Youtube-filmpje!

23-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 39

Bekijk de onderstaande sommen:

5³ + 6³ + 7³ = 684
10³ + 11³ + 12³ = 4 059
31³ + 32³ + 33³ = 98 496
...

Blijkbaar is de som van de derdemachten van 3 opeenvolgende gehele getallen
steeds deelbaar door 9 (want de som van de cijfers van de uitkomst is deelbaar door 9).
Toon aan dat dit in het algemeen waar is!

     UITVINDING 39

De beschrijving van deze kinderwagen verscheen in The Scientific American.
Via een vernuftig principe bleef het bakje waarin het kind lag steeds horizontaal staan.
Het regen- en zonnescherm kon men verschuiven.
De schijf vooraan was in feite geen wiel
maar diende om de kinderwagen in evenwicht te houden als hij stil stond.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 39_oplossing.pdf (126.6 KB)   

Je kent ongetwijfeld de figuren die men bekomt door koordjes te spannen
rond nageltjes die op geregelde afstanden op een plankje zijn aangebracht.

Het gaat hier om string art, een techniek uitgevonden op het einde van de 19de eeuw
door Mary Everest Boole, een Engelse wiskundige
en vrouw van George Boole die we kennen van de boole-algebra.
Mary gebruikte deze techniek van curve stitching (borduren van krommen)
om kinderen al op jonge leeftijd spelenderwijs de wiskunde te laten ontdekken.

In een workshop op het voorbije T3-symposium in Oostende
liet collega Didier Deses ons deze techniek ontdekken
via een programma voor de grafische rekenmachine TI-84 Plus Color.

Het resultaat zie je hieronder
en het bijhorende programma zit in bijlage.

In dat programma zijn de rode stippen de nageltjes en de draden hebben een blauwe kleur.

String art

Bijlagen:
Cardioïde via string art met TI-84.pdf (188.3 KB)   

Zoals ik al eerder vermeldde op mijn blog is de cardioïde of hartlijn mijn favoriete kromme.

De cardioïde is blijkbaar een zogenaamde kaustiek of kaustische kromme.
De naam is afgeleid van het Griekse woord voor 'branden'
en de term verwijst naar het feit dat de kromme ontstaat door reflectie of breking van het licht.
Men kan dus spreken van een brandkromme, naar analogie van het brandpunt bij een parabool.

Wanneer de kromme ontstaat door reflectie van het licht op een vlak oppervlak spreekt men van een katakaustiek
en wanneer dit gebeurt door breking van het licht gebruikt men de term diakaustiek.
De lichtstralen zijn dus raaklijnen aan de gevormde kromme,
die dan zelf de omhullende is van die verzameling rechten.

Hieronder zie je hoe een cardioïde zichtbaar wordt op de bodem van een pan
en met een beetje geluk zie je die 's morgens ooit eens in jouw kop koffie opduiken! 



Lees dit verband ook eens de tekst 'Wat ziet in wiskundige als hij diep in het glas kijkt?'
op http://weetlogs.scilogs.be/index.php?op=printView&articleId=176&blogId=11 .

Op de website http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml
kom je nog heel wat meer te weten over de cardioïde.

Lees ook eens de bijlage.

Bijlagen:
De cardioïde in een kopje koffie.pdf (207.1 KB)   

Vlaamse leerkrachten wijzen onderwijshervorming massaal af

Bron: Knack - woensdag 21 augustus 2013

Top 10 problemen in het onderwijs volgens leerkrachten

Knack ondervroeg 1004 leerkrachten over de problemen van het Vlaamse onderwijs.

1. Te veel administratie
2. Hervormingszucht van de overheid
3. Toegenomen aantal leerlingen met zorgnoden
4. Beslissingen die gecontesteerd worden door ouders
5. Dalende waardering door de samenleving
6. Te beperkte middelen voor gebouwen en onderhoud
7. Te beperkte werkingsmiddelen
8. Gebrek aan inspraak bij de veranderingen
9. Toename van anderstalige kinderen
10. Te grote klassen

Top 10 problemen in het onderwijs volgens ouders

Knack ondervroeg 561 ouders over de problemen van het Vlaamse onderwijs.

1.Toename van anderstalige kinderen
2. Hervormingszucht van de overheid
3. Te grote klassen 
4. Te beperkte werkingsmiddelen
5. Te beperkte middelen voor gebouwen en onderhoud 
6. Toegenomen mondigheid van de leerlingen 
7. Dalende kwaliteit van het onderwijs 
8. Dalende waardering door de samenleving 
9. Watervalsysteem 
10. Dalende bereidheid van leerkrachten om het verschil te maken

20-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 40

Bekijk het onderstaande schema

1
5   9   13
17   21   25   29   33
37   41   45   49   53   57   61
...

Toon aan dat de som van de getallen op elke horizontale rij
de derde macht is van een oneven getal.

     UITVINDING 40

Deze elektrische machine had als doel automatisch postzegels te kleven op brieven.
Voor heel wat bedienden in grote firma's was dit een vervelend werkje.
De machine kon 220 brieven per minuut verwerken.
Door één van de lampen te laten branden kon men de snelheid regelen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 40_oplossing.pdf (171.1 KB)   

DE RECHTE VAN PYTHAGORAS

Ziehier een eenvoudig meetkundevraagstukje.

Teken een vierkant ABCD waarvan de zijden lengte 5 hebben.
Teken dan vier gelijke rechthoekige driehoeken
(ΔABP, ΔBCR, ΔCDS en ΔDAQ)
waarvan de zijden 3, 4 en 5 als lengte hebben
zoals op de onderstaande figuur.
Toon aan dat de punten P, Q, R en S op één rechte lijn liggen.

Zo moeilijk kan dit toch niet zijn?



Oplossing in bijlage

Bijlagen:
De rechte van Pythagoras - oplossing.pdf (241.7 KB)   

In deze vakantietijd overvallen we je met vijf ontspannende lucifersprobleempjes.

KAN JE DE ONDERSTAANDE 4 VERGELIJKINGEN DOEN KLOPPEN
DOOR TELKENS JUIST EEN LUCIFER TE VERPLAATSEN?



EN KAN JE DE ONDERSTAANDE VERGELIJKING LATEN KLOPPEN
DOOR GEEN ENKELE LUCIFER AAN TE RAKEN?

OPLOSSINGEN IN BIJLAGE.

Bijlagen:
OPLOSSING van de 5 lucifersproblemen.pdf (28.1 KB)   

 Lo Shu en Pythagoras

Op de bovenstaande afbeelding zie je een kubus van Rubik
waarbij op elk zijvlak het gekende magisch vierkant met 3 x 3 vakjes staat afgebeeld.
Dit zogenaamd Lo Shu vierkant heeft de magische eigenschap
dat de som van de 3 getallen in elke rij, in elke kolom
en op de twee diagonalen telkens 15 is.

We maken hiervan gebruik om een magische driehoek op te stellen
waarbij Pythagorese drietallen verschijnen
(positieve gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c²).


* Bekijk de getallen in de vakjes met dezelfde kleur.
Zo is bv. 24² + 32² = 40² en 21² + 28² = 35².
* Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij.
Zo is bv. (24 + 3)² + (32 + 4)² = (40 + 5)²
en (12 + 6)² + (16 + 8)² = (20 + 10)².
* Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom.
Zo is bv. (24 + 9)² + (32 + 12)² = (40 + 15)²
en (21 + 6)² + (28 + 8)² = (35 + 10)².
* Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij.
Zo is bv. (9 + 15 + 21)² + (12 + 20 + 28)² = (15 + 25 + 35)².
* Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom.
Zo is bv.(18 + 21 + 6)² + (24 + 28 + 8)² = (30 + 35 + 10)².
* Ga zelf eens na of dit ook geldt voor  twee of drie getallen op een diagonaal.

* Tel tenslotte eens alle getallen samen in de drie vierkanten.
Noem de sommen a en b (voor de twee kleine vierkanten) en c (voor het grote vierkant).
Is a² + b² = c²?

Zie je ook het verband met het Lo Shu vierkant?

 

08-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

BREUKENSYMFONIE

 
Zonder commentaar ...

07-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

L' école est finie

Au petit matin devant un crème
Nous pourrons parler de notre vie
Laissons au tableau tous nos problèmes
Mais oui, mais oui l´école est finie.

In 1963 - precies 50 jaar geleden -
scoorde de piepjonge Franse zangeres Sheila
een monsterhit met 'L'école est finie'.
Luister je nog even mee...



Ondanks de tropische buitentemperatuur van 34°C
schotelen we je toch een wiskundeprobleempje voor.

 Non scholae sed vitae discimus
We leren niet voor school maar voor het leven
Seneca

 

01-08-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Ook voor Jan Becaus is het vandaag officieel de laatste werkdag.
Laten we ervan genieten!

Een echte vriend: iemand waarop je kunt rekenen dat hij steeds op jou rekent"

"Ware vrienden herkent men niet aan hun medelijden
maar aan hun oprechte vreugde om een anders geluk"

"Vriendschap vermenigvuldigt ons geluk en deelt ons ongeluk"

"De enige manier om een vriend te hebben, is er een te zijn" 

Boodschap in de wandelgangen van de Brugse DPB-dienst
waar ik 11 gelukkige jaren als vakbegeleider en pedagogisch adviseur wiskunde mocht werken.

31-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wist je dat Pete Best aanvankelijk de drummer was van The Beatles? 
Hij trad samen met John Lennon, Paul McCartney en George Harrison op
tot hij op vraag van producer George Martin zijn ontslag kreeg
omdat deze niet tevreden was over Bests drumwerk
op Love Me Do, de eerste single van The Beatles.
Zo kan men in feite zeggen dat Ringo Starr (Richard Starkey) de vijfde Beatles was.

Meteen vond ik in dit feit inspiratie voor een rekenraadsel met 4 en met 5.

REKENRAADSEL MET 4
 
Kan je vier positieve gehele getallen vinden
waarvan hun som gelijk is aan hun product?

Oplossing. 
1 + 1 + a + b = ab is equivalent met (a  – 1)(b  –  1) = 3.
Dan blijkt a = 4 en b = 2 een oplossing op te leveren:
1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4 = 8.


REKENRAADSEL MET 5
    
Kan je nu zelf vijf positieve gehele getallen vinden
waarvan hun som gelijk is aan hun product?

Hopelijk blijft het geen geheim voor jou dat er hiervoor meer dan één oplossing is.

Geniet ondertussen nog even van een Beatlesong
uit hun debuutalbum Please Please Me
dat exact 50 jaar geleden werd uitgebracht.

30-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In bijlage vind je het bewijs van stelling van Pythagoras
(Elementen van Euclides, Boek I, stelling 47)
in de Griekse versie met Engelse vertaling.

Bron: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/elements.pdf

We voegen hier graag nog een vraagstukje aan toe
dat je met behulp van de stelling van Pythagoras kunt oplossen.

HET PROBLEEM VAN DE BIJ EN DE HONING

Een cilindervormige glazen bokaal heeft een omtrek van 60 cm.
Langs de buitenkant zit een bij (B) op 10 cm van de bodem.
Langs de binnenkant bevindt zicht recht boven de bij een druppel honing (H) op 10 cm van de bovenrand.
Bepaal de kortste weg voor de bij om bij de honingdruppel te komen. Hoe lang is dat traject? 

Oplossing in bijlage.

Een postzegel uit Suriname
waarop de stelling van Pythagoras staat afgebeeld.

Bijlagen:
HET PROBLEEM VAN DE BIJ EN DE HONING - oplossing.pdf (72.8 KB)   
STELLING VAN PYTHAGORAS - Griekse tekst.pdf (355 KB)   

De reeksontwikkelingen van Taylor en Maclaurin (kende je ook hun voornaam?)
behoren tot de merkwaardigste resultaten uit de wiskunde.

Zelf heb ik ze expliciet kunnen gebruiken in mijn doctoraatsthesis
"Riemannse meetkunde van buisvormige omgevingen" (1981).

In feite zijn de reeksen van Maclaurin een bijzonder geval van de reeksen van Taylor.
En het was ook James Gregory, bij wie Maclaurin als assistent werkte,
die als eerste de zogenaamde Maclaurinreeksen voor de goniometrische functies op papier zette.
Maclaurin was wel de eerste om ze te publiceren en daarom kregen ze ook zijn naam.

De onderstaande reeksontwikkeling behoort tot mijn persoonlijke favorieten
omdat de coëfficiënten hierin precies de driehoeksgetallen zijn.
De reeks convergeert voor -1 < x < 1.

In het volgende filmpje vind je inspiratie om zelf deze reeksontwikkeling
op drie verschillende manieren op te stellen.

30-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERHOEK

In de wiskundeboeken van het secundair onderwijs
staat uitvoerig beschreven hoe je het zwaartepunt van een driehoek bepaalt
maar over het zwaartepunt van een vierhoek vind je meestal geen informatie.

Het kan nochtans de aanleiding zijn voor een kleine onderzoeksopdracht.
Hieronder vermelden we vijf werkwijzen.
Bij de eerste methode kan je door de leerlingen een werkopdracht met behulp van GeoGebra laten uitvoeren.
Je vindt een werkblad in bijlage.

 METHODE 1

Bepaal het zwaartepunt Z₁ van ΔBCD, Z₂ van ΔACD, Z₃ van ΔABD en Z₄ van ΔABC.
Bepaal het snijpunt Z van AZ₁ en DZ₄. Dit is het zwaartepunt van de vierhoek ABCD.
Merk op dat de vier rechten AZ₁, BZ₂, CZ₃ en DZ₄ door het punt Z gaan.

 METHODE 2
 
Op de onderstaande figuur zijn M en N zijn resp. de middens van de diagonalen [AC] en [BD].
Z is dan het midden van [MN].

 METHODE 3

De punten E, F, G en H zijn de middens van de vier zijden van de vierhoek ABCD.
Dan is Z het midden van [EG] en van [FH] (zie figuur bij methode 1).

 METHODE 4

 Via deze uitdrukking kan men het zwaartepunt construeren aan de hand van vectoren.

 METHODE 5

Teken de vierhoek over op een stuk karton.
Neem dan een naald en plaats die onder de vierhoek tot hij in evenwicht blijft.
De punt van de naald bevindt zich dan op de plaats van het punt Z.

Bijlagen:
WERKOPDRACHT MET GEOGEBRA - zwaartepunt van een vierhoek.pdf (89.8 KB)   

Wie heeft zich als docent nooit geërgerd aan dergelijke elementaire rekenfouten?
Voor heel wat leerlingen is het rekenen met vierkantswortels blijkbaar een harde noot om te kraken.

Een leuk vraagje dat hierbij aansluit is het volgende:
bestaan er strikt positieve gehele getallen a, b en c waarvoor √a + √b = √c ?

Antwoord. Zeker!
Ziehier enkele voorbeelden, waarbij ik telkens een merkwaardige vaststelling vermeld:
√3 + √12 = √27  en  3 x 12 = 36 = 6²
√3 + √27 = √48 en 3 x 27 = 81 = 9²
√5 + √20 = √45 en 5 x 20 = 100 = 10²
√18 + √32 = √98 en 18 x 32 = 576 = 24².
Blijkbaar is in het algemeen ab steeds het kwadraat van een natuurlijk getal.
Weet je ook  waarom?

Bijlagen:
Bewijs eigenschap som vierkanstwortels.pdf (151.4 KB)   

Wist je dat er oneindig veel rechthoekige driehoeken bestaan
waarvan de lengte van de drie zijden een geheel getal is
en waarvan de lengte van de schuine zijde gelijk is
aan de lengte van één van de rechthoekszijden vermeerderd met 1 ?

BEWIJS.
We illustreren de bewijsmethode aan de hand van twee voorbeelden.
We vertrekken steeds van het kwadraat van een oneven geheel getal
en schrijven dit kwadraat als de som van twee opeenvolgende gehele getallen.
Hoe het dan verder moet, zie je op de voorbeelden.

5² = 25 = 13 + 12 = (13 + 12)(13 – 12) = 13² – 12²  en dus is 5² + 12² = 13²

11² = 121 = 61 + 60 = (61 + 60)(61 – 60) = 61² – 60² en dus is 11² + 60² = 61².

Algemeen is (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)².

Wie zelf nog op een originele manier enkele Pythagorese drietallen wil bepalen verwijzen we naar de bijlage; Doen!

Bijlagen:
Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

Dat 60 een bijzonder getal is, wisten de Babyloniërs al.
Ze rekenden in een talstelsel met basis 60.
De reden hiervoor is wellicht dat 60 het kleinste getal is dat deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
Bovendien is 60 het kleinste getal met 12 delers.
Het feit dat 1 uur ingedeeld is in 60 minuten en 1 minuut in 60 seconden
en dat we rekenen met zestigdelige graden hebben we hieraan te danken.

60 heeft echter ook iets speciaals te maken met priemgetallen.

60 is op 6 verschillende manieren de som van twee priemgetallen:
7 + 53
13 + 47
17 + 43
19 + 41
23 + 37
29 + 31 (een priemtweeling!).

60 = (11 + 13) + (17 + 19)
dit is de som van 4 opeenvolgende priemgetallen en twee priemtweelingen.

Een 60 heeft ook iets te maken met  Pythagorese drietallen:
29 + 31 = 60
1/29 + 1/31 = 60/899 en 60² + 899² = 901²

60 ligt tussen 59 en 61
1/59 + 1/61 = 120/3599 en 120² + 3599² = 3601².

  De veralgemening van deze eigenschap kan je ontdekken in de bijlage.



En kan je door de cijfers 1, 9, 5 en 3 van mijn geboortejaar precies één keer te gebruiken
en met behulp van de hoofdbewerkingen + en x het getal 60 vormen?

Bijlagen:
Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

JACQUES TITS: een onderschatte Belgische wiskundige

Tits werd in 1930 in Ukkel geboren.
Hij was een wereldautoriteit op het studiegebied van de groepentheorie.
Hij doceerde o.a. aan de VUB en in 1974 nam hij het Franse burgerschap aan
om te gaan doceren aan het prestigieuze Collège de France in Parijs.

In heel veel domeinen spelen groepen een belangrijke rol:
studie van symmetrieën (kunst, kristallen, moleculen ...)
studie van topologische ruimten, materiaalleer,
differentiaalvergelijkingen (Lie-groepen),
oplossen van vergelijkingen (Galoistheorie) ...

We vermelden hier twee eenvoudige groepen
die in heel veel wiskundecursussen in het hoger onderwijs
een vaste plaats gekregen hebben.

DE VIERGROEP VAN KLEIN

Op deze postzegels staat de Cayleytabel
van de zogenaamde Vierergruppe (viergroep)  van Klein afgebeeld.
De groep is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein.
Het is een commutatieve (abelse) groep met 4 elementen.
Meer informatie op http://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein .

DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

De symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek bevat 6 elementen:
drie rotaties (over 0° of identieke transformatie, over 120° en over 240°)
en drie spiegelingen (rond de drie zwaartelijnen).
Deze groep is niet-commutatief.
Hoe kan je dit opmaken uit de Cayleytabel?

Zoek dat eens op!

23-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens