In 1913 publiceerde Frederico Mariares opmerkelijke formules voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven en even getallen.

Hij legde meteen een verband met de driehoeksgetallen.

Hieronder staan de eerste vijf driehoeksgetallen afgebeeld.

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n oneven getallen:

Formule van Mariares voor de som van de kwadraten van de eerste n even getallen:

Merk op dat de som van de eerste n driehoeksgetallen ook gelijk is aan het n-de  viervlaksgetal (zie bijlage);

Het is een leuke uitdaging om de geldigheid van de twee formules van Mariares aan te tonen via een bewijs door volledige inductie.

Bijlagen:
C._Althoen_and_C._B._Lacampagne.pdf (128.7 KB)   

DE STELLING VAN MONSKY

 Fred Richman stelde in 1965 in het tijdschrift  the The American Mathematical Monthly de vraag

of het mogelijk is om een vierkant te verdelen in een oneven aantal driehoeken met dezelfde oppervlakte.

Hij vond het (samen met jou wellicht) nogal evident dat het mogelijk is dat te doen in een willekeurig even aantal driehoeken.

Hieronder zie je een oplossing die bijna correct is voor de verdeling in zeven even grote driehoeken.

Pas in 1970 zou  Paul Monsky erin slagen te bewijzen dat de verdeling van een vierkant in een oneven aantal even grote driehoeken onmogelijk is.

Paul Monsky is een Amerikaanse wiskundige en was professor aan de Brandeis University in Waltham (Massachusetts).

Verrassend toch dat de Griekse wiskundigen dit 2000 jaar geleden al niet wisten?

27-08-2015 om 14:36 geschreven door Luc Gheysens  

Triptych - Luc Janus

Af en toe krijg je wel zo een folder of een reclamebrochure in de bus:
een blad dat in drie gelijke delen is gevouwen.

Maar hoe zou jij het aan boord leggen om zelf een A4-blad
op die manier te vouwen zonder een meetlat te gebruiken?

Het antwoord zie je hieronder.

Vouw het blad ABCD (figuur links) eerst dubbel volgens MN en vouw het dan weer open.
Vouw het blad daarna volgens de diagonaal BD en vouw het weer open.
Vouw tenslotte het hoekpunt B naar voren zodat de vouw AN ontstaat.
Het snijpunt P van AN en BD bepaalt dan hoe je het blad in drieën moet vouwen (figuur rechts).
Merk op dat P op één derde van de rechterrand én op één derde van de bovenrand ligt.

Kan je dat analytisch aantonen?

Tip: kies het assenstelsel met D(0,0), C(b,0), B(b,l) en A(0,l)

26-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

******************************************************************************************************************************
144

Mahjong - Luc Janus

******************************************************************************************************************************

144 = 12² is samen met 1 = 1² het enige kwadraatgetal dat ook een Fibonaccigetal is.

Het spel Mahjong wordt gespeeld met 144 stenen.

Een gros is 144 of 12 dozijn.

De (binnen)hoeken van een regelmatige tienhoek zijn hoeken van 144°.

******************************************************************************************************************************

OPGAVE. Plaats op de plaats van de vraagtekens tussen de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 en 6  de tekens + (optelling), x (vermenigvuldiging) en/of haakjes en bekom zo 144 als uitkomst.

 ?   ?   ? ?   ?   = 

24-08-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens