Een gelijkzijdige driehoek zou ook kunnen,
maar dan zit je met het nadeel dat er weinig ruimte is
om door een driehoekig gat heen te komen.

Het frame rond de ronde riooldeksels is dan wel meestal een vierkant.
De reden hiervoor is dat men gemakkelijker straatstenen
rond een vierkant kan leggen dan rond een cirkel.

Een rond deksel (dat meestal redelijk zwaar is)
heeft bovendien het voordeel
dat het gemakkelijk kan verplaatst worden
door het vooruit te rollen!

Bovendien ligt een rond deksel steeds direct goed,
terwijl er bijvoorbeeld voor een vierkant deksel
slechts vier goede posities zijn
waarbij het deksel de put zou afsluiten.

05-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In de wiskunde is het vaak zo dat voor een bepaalde stelling
door de ontdekker ervan eerst een vrij ingewikkeld bewijs wordt gevonden
en dat iemand dan jaren later met een erg eenvoudig bewijs voor de dag komt.

Een mooi voorbeeld hiervan is de stelling van Viviani:

In 2005 publiceerde Ken-ichiroh Kawasaki hiervoor een bewijs zonder woorden.

Hiermee toonde hij meteen ook aan dat de som van de afstanden van dat punt tot de drie zijden gelijk is aan de hoogte van de gelijkzijdige driehoek.

Referentie: Ken-ichiroh Kawasaki, Proof Without Words: Viviani's Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (June 2005), 213.

04-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE STELLING VAN JOHNSON

Sommige stellingen zijn verrassend door hun eenvoud en zijn daardoor vaak niet zo gemakkelijk te bewijzen.

De Amerikaanse meetkundige Roger Arthur Johnson (1890 - 1954) ontdekte zo een stelling.

Als drie even grote cirkels door eenzelfde punt gaan,
dan liggen de drie andere snijpunten van de paren cirkels op eenzelfde cirkel
die even groot is als de drie gegeven cirkels.

Op de bovenstaande figuur staan drie even grote cirkels met als middelpunt resp. P, Q en R en ze gaan alle drie door het punt O.

De punten A, B en C zijn de andere snijpunten van de paren cirkels.

A, B en C blijken op een cirkel te liggen (met middelpunt D) die even groot is als de drie gegeven cirkels!

Een bewijs van deze stelling zit in bijlage.

Bijlagen:
STELLING VAN JOHNSON - bewijs.pdf (98 KB)   

STELLING VAN MORLEY (ontdekt door Frank Morley - 1899)

"De snijpunten van de aanliggende trisectrices van de hoeken van een willekeurige driehoek vormen een gelijkzijdige driehoek".

Op de bovenstaande figuur zie je dat de snijpunten van  aanliggende binnentrisectrices van Δ ABC de gelijkzijdige driehoek PQR bepalen.

Een bewijs zit in bijlage, maar mits wat speurwerk vind je vast een zeker nog andere haalbare bewijzen op het internet.

Op de onderstaande animatie zie je dat dit resultaat blijkbaar ook geldig blijft voor de buitentrisectrices.

  Bron: http://blog.zacharyabel.com/tag/morleys-theorem/

Bijlagen:
Morley's theorem - proof.pdf (59 KB)   

Archimedes van Syracuse (287 v.Chr.– 212 v.Chr.) was erin geslaagd een formule op te stellen
voor de inhoud en de oppervlakte van een bol en een cilinder.
In zijn werk 'Over de bol en de cilinder' bewees hij o.a. een merkwaardige stelling
over de verhouding van de oppervlakte en de inhoud van een cilinder
en een bol die perfect past in die cilinder zoals op de onderstaande figuur.

De inhoud van de bol met straal r is (4/3)πr³ en de oppervlakte van die bol  4πr².
De inhoud van de afgebeelde cilinder met hoogte 2r is 2πr³ 
en de totale zijdelingse oppervlakte van de cilinder is 6πr²
(twee cirkels met straal r en een rechthoek met afmetingen 2πr en 2r).

Hieruit volgt:

Naar het schijnt beschouwde Archimedes dit resultaat als zijn beste wiskundige prestatie
en liet hij daarom de figuur van de bol in de cilinder op zijn graftombe beitelen.

Hieronder vermelden we nog een merkwaardig resultaat.
Beschouw een kegel, een bol en een cilinder met dezelfde breedte en dezelfde hoogte.
Dan verhouden hun inhouden zich als 1 : 2 : 3.
Dit betekent dat de inhoud van de cilinder precies gelijk is
aan de som van de inhouden van de kegel en de bol.

Kan je dit bewijzen?

 

03-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het geheim van de Italiaanse euro.

Op het Italiaanse euromuntstuk staat de man van Vitruvius afgebeeld.
Deze beroemde tekening van Leonardo da Vinci
was een voorstelling van 'de ideale mens'
volgens de beschrijving van de Romeinse architect Vitruvius (1ste eeuw v. Chr.)

De Vitruviusman staat afgebeeld in een vierkant en in een cirkel.
Wie aandachtig toekijkt,
ziet dat de cirkel onderaan raakt aan de zijde van het vierkant
maar de twee bovenste hoeken van het vierkant springen net iets buiten de cirkel uit.

Da Vinci had hiervoor blijkbaar een goede reden.

Dat lees je in de bijlage
en zo ken je meteen ook het geheim van de Italiaanse euro!

Bijlagen:
Phi en het geheim van de Italiaanse euro.pdf (232.5 KB)   

Op www.ikhebeenvraag.be kan je een vraag stellen aan een wetenschapper.

In het archief vond ik de volgende leuke wiskundevraag die verband houdt met 12.



Kies een willekeurig priemgetal p groter dan 3.
Bereken het getal p² – 1.
Wat blijkt nu? Dit getal is steeds deelbaar door 12.
Hoe verklaar je dit?

Voorbeelden. 
p = 7. Dan is p² – 1 = 48 = 12 x 4.
p = 13. Dan is p² – 1 = 168 = 12 x 14.
p = 67. Dan is p² – 1 = 4488 = 12 x 374. 

Verklaring.

p² – 1 = (p – 1)(p + 1). 

Aangezien er bij drie opeenvolgende natuurlijke getallen  p – 1, p en p + 1 steeds een getal zit dat deelbaar is door 3

en het priemgetal p niet deelbaar is door 3, moet ofwel p – 1, ofwel p + 1 deelbaar zijn door 3.

Omdat elk priemgetal groter dan 2 oneven is, zullen p – 1 en p + 1 allebei even zijn en bijgevolg is p² – 1 ook deelbaar door 4.

Besluit: p² – 1 is deelbaar door 3 en door 4 en dus ook door 12.

Doordenkertje. Waarom zijn al die getallen ook deelbaar door 24?

02-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens