"Dat niemand hier binnentrede
zonder kennis van de geometrie."

Dit opschrift stond boven de ingang van de Academie die Plato in 387 v. Chr. in Athene oprichtte.
Dit was in feite de eerste universiteit ter wereld.
De leerlingen kregen er onderricht in de filosofie en de wiskunde
die in die tijd voornamelijk meetkundig geïnspireerd was.
In feite bewezen de oude Grieken ook heel wat eigenschappen uit de getallenleer
op een louter meetkundige manier;

Hieronder vermelden we een voorbeeld met een typisch voorbeeld met een 'Grieks' bewijs.

De alternerende kwadratensommen (in het linkerlid) leveren blijkbaar de driehoeksgetallen op:

1² = 1
2² –  1² = 4 – 1 = 3
3² – 2² + 1² = 9 – 4 + 1 = 6
4² – 3² + 2² – 1² = 16 – 9 + 4 – 1 = 10
5² – 4² + 3² – 2² + 1² = 25 – 16 + 9 – 4 + 1 = 15
...

De getallen 1, 3, 6, 10, 15 ... zijn inderdaad de driehoeksgetallen

ALGEMENE FORMULE VOOR DE ALTERNERENDE KWADRATENSOM:

BEWIJS
 

Zie je het?

16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Onmogelijke figuren en getrukeerde foto's hebben een magische uitstraling.
Met behulp van computerprogramma's slaagt nu haast iedereen erin te 'fotoshoppen'.

In het Nederlands wiskundetijdschrift Pythagoras
verschenen regelmatig leuke knutselfiguren.

Hieronder staan twee gekende onmogelijke figuren afgebeeld.

De linkse figuur is gemaakt uit een rechthoekig stuk papier
dat ik met een schaar enkele keren heb ingeknipt.
Kan je die namaken?

De rechtse vlakke figuur bestaat uit twee verschillende vierkanten
die enkele keren zijn ingeknipt en dan in elkaar geschoven.
Merk op dat er geen losse stukjes bij zijn.
Probeer die maar eens na te maken!



Oplossingen vind je o.a. in het boek De Pythagoras Code
(Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2011).

 

16-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (598 – 668) was een Indiase wiskundige en astronoom.
Hij wordt gezien als de uitvinder van het getal nul.
Hij hield zich o.a. bezig met het oplossen van vergelijkingen van de eerste en tweede graad
en gebruikte hiervoor algebraïsch rekenwerk.
Hij paste ook als eerste algebra toe om problemen uit de astronomie op te lossen.
Bron: wikipedia.

Hij is vooral bekend voor het bewijs van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek:

waarbij s gelijk is aan de halve omtrek van de koordenvierhoek, d.w.z.

 De formule van Brahmagupta veralgemeent de formule van Heron voor de oppervlakte van een driehoek.
Zie hiervoor: http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Heron.

Brahmagupta bewees nog een andere merkwaardige stelling voor een koordenvierhoek.

In bijlage zit een bewijs van deze stelling
en van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek.
Hopelijk val je van de elegantie hiervan niet achterover!

Bijlagen:
De stelling van Brahmagupta.pdf (127.3 KB)   
Formule van Brahmagupta voor de oppervlakte K van een koordenvierhoek.pdf (214.3 KB)   

Doordat de Griekse wiskundigen eeuwen geleden zochten naar een oplossing
voor de kwadratuur van de cirkel, zochten ze meteen ook op een aantal aanverwante problemen.

In mijn eigen schooltijd leerden we bijvoorbeeld nog hoe je een vierkant construeert
(met passer en liniaal) dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven veelhoek.

STAP 1.
Construeer een (n-1)-hoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven n-hoek.
We illusteren dit aan de hand van de constructie van een driehoek CDE
die dezelfde oppervlakte heeft als de gegeven vierhoek ABCD.
Kan je uitleggen hoe deze constructie verloopt en waarom ze correct is?

Door deze stap n-3 keer na elkaar toe te passen kan je dan
 een n-hoek omvormen tot een driehoek met dezelfde oppervlakte.

STAP 2
Construeer een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven driehoek.
Hieronder heeft het vierkant PQRS dezelfde oppervlakte als de driehoek ABC.
Kan je verklaren waarom deze constructie correct is?

13-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wie er 35 euro voor over heeft, krijgt van in het pretpark Walibi een Speedy Pass, waarmee hij elke wachtrij mag voorbijlopen.
Wouter Rogiest van de UGent rekende uit welke invloed de speedy pass heeft op de wachttijd voor de gewone bezoeker.

Met de hulp van de wachtlijntheorie berekende hij dat de wachttijd voor de gewone bezoeker zou verdubbelen als de helft van de bezoekers van Walibi een speedy pass zou nemen.

Ziehier de formules waarmee je de gemiddelde wachtiijd aan een attractie kunt berekenen:



De eerste formule levert de gemiddelde wachttijd van een willekeurige klant, in een systeem dat werkt zonder pasje, W₀.

De tweede en derde formule gelden in een systeem met pasje, en leveren de gemiddelde wachttijd van een klant mét (W₁) en een klant zonder pasje (W₂). In de formules komen drie variabelen voor.

· a, 0<a<1, de fractie van bezoekers met een pasje, bijv. 0,10 als 1 op de 10 een pasje heeft.
· r, 0≤r<1, de bezettingsgraad van de attractie, bijv. 0,95 voor een attractie die 95% van de tijd gebruikt wordt.
· S, S>0, de vaste bedieningstijd per klant, bijv. 6 seconden, voor een attractie die om de drie minuten 30 bezoekers bedient.

Op de onderstaande grafiek kan je zien hoe de wachttijd van de gewone bezoeker toeneemt naarmate er meer bezoekers over een pasje beschikken.
 


Indien minder dan 10 procent van de bezoekers een speedy pass heeft, dan blijft de extra wachttijd voor de bezoekers zonder speedy pass echter beperkt.

Problematisch zou het wel worden als bezoekers met een speedy pass een bepaalde attractie verschillende keren na mekaar doen.

Walibi liet eerder al verstaan dat het maximum 500 speedy passen per dag zou verkopen, dus wellicht blijft de hinder eerder beperkt.

Bron: http://eoswetenschap.eu

13-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heel wat studenten blijken problemen te hebben met partiële integratie.
Zeker wanneer deze techniek enkele keren na elkaar moet toegepast worden.
Er bestaat echter een eenvoudig rekenschema waarmee je deze problemen omzeilt.

De methode kan toegepast worden in twee gevallen:
1) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = sin ax of f(x) = cos ax;
2) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = e^ax.
Hierbij is a een reëel getal.

WERKWIJZE
1. Maak twee kolommen.
   In de linkse kolom leid je de veeltermfunctie verschillende keren na elkaar af tot je 0 bekomt.
   In de rechtse kolom integreer je de andere functie evenveel keer na elkaar.
2. Trek diagonaalsgewijze pijlen (zie onderstaande voorbeelden).
    Hiermee weet je welke term uit de linkse en de rechtse kolom je met elkaar moet vermenigvuldigen:
    de eerste uit de linkse met de tweede uit de rechtse enzovoort.
3. Zet bij die pijlen afwisselend een plusteken en een minteken.
   Een plusteken geeft aan dat je het teken van het gemaakte product behoudt.
   Een minteken geeft aan dat je het teken verandert.
4. Tel de bekomen producten samen.

Twee eenvoudige voorbeelden illustreren deze werkwijze.

12-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Zopas kocht ik dit boek van Herman Boel aan.
De titel alleen al (666 is het bijbelse getal van het beest) daagde me uit.
Ik wou wel eens willen weten of er ook leugens bij waren die verwijzen naar getallen.
En ja hoor!

Zo blijkt het aantal poten van een duizendpoot te variëren tussen 20 en 382.
Het aantal paar poten van een duizendpoot is blijkbaar steeds oneven.

We hebben geen twee neusgaten, maar vier waarvan er twee uitwendig zichtbaar zijn.
De andere twee zitten in onze neus!

Men zegt wel eens dat een hondenjaar of een kattenjaar telt voor zeven mensenjaren.
Ook dit is niet juist. 
Kleinere honden leven doorgaans langer dan grote honden
en gemiddeld gezien leeft een kat langer dan een hond.
De onderstaande tabel geeft correctere informatie over de leeftijd van katten.

Bron: Dierenkliniek Vrieselaar

En wil je weten waarom de kans op kop en munt niet gelijk is bij het opgooien van een muntstuk?
Koop dan vlug dit leuke boek aan!

10-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens