PARADOX VAN DE SAMENVALLENDE VERJAARDAGEN

Hoe groot schat je de kans dat er bij een toevallige samenkomst van 23 personen
minstens 2 personen zijn die op dezelfde dag verjaren?

Meestal denkt men dat die kans 23/365 is of ongeveer 6,3%.
Via elementaire kanswetten weten we echter dat de kans P
dat er bij n personen minstens 2 op  dezelfde dag verjaren gelijk is aan

Voor n = 23 komen we zo op een kans van 50,73%
en bij 30 personen is die kans zelfs al 70,63%.



EXPERIMENT

Vraag aan 10 personen om een getal van 1 tot en met 30 op te schrijven.
Je wedt dat er minstens twee zullen zijn die hetzelfde getal hebben gekozen.
Wellicht aanvaardt men die weddenschap
omdat men de kans op succes inschat op ongeveer 1 op 3.
In werkelijkheid is de kans P op succes hier gelijk aan

Je kunt dit zelf eens uittesten op een EXCEL-blad.
Via de instructie =GEHEEL(ASELECT()*(30-1)+1)
kiest de computer immers een willekeurig geheel getal van 1 tot 30.

Hieronder zie je resultaat van mijn experiment
waarbij ik de computer 10 keer 10 getallen van 1 tot 30 liet kiezen.

Tot mijn verbazing had ik 9 keer op 10 succes.
Het gebeurde drie keer dat er twee dezelfde koppels werden gekozen
en zelfs één keer (in de derde kolom) waren er drie dezelfde koppels.

Probeer jij het ook eens?

08-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE BRAZUCA EN WISKUNDE

Geef nu zelf toe: de BRAZUCA, de officiële wedstrijdbal voor het WK-voetbal in Brazilië heeft wel iets!
BRAZUCA is het Portugees voor 'Braziliaans' en verwijst naar de Braziliaanse levenswijze.

Ook vanuit wiskundig standpunt bekeken is de BRAZUCA een aantrekkelijk symmetrisch object.
Het is opgebouwd uit zes identieke stukken in de kleuren blauw, groen en oranje
en in de contactpunten ontstaan acht zwarte driehoeken
die geen boldriehoeken zijn omdat de zijden ervan niet op grote cirkels liggen. 

  

Wist je dat de Franse wiskundige Albert Girard (1595 - 1632)
 als eerste een formule publiceerde voor de oppervlakte van een boldriehoek?

Hij week omwille van de godsdienstoorlogen met zijn familie uit naar Leiden
en maakte er kennis met het werk van Simon Stevin.
In 1626 publiceerde hij een boek over driehoeksmeting
waarin hij als eerste de afkortingen sin, cos en tan gebruikte.
In dat boek vinden we ook zijn elegante formule voor de oppervlakte van een boldriehoek: 

α + β + γ = π + (opp. Δ ABC)/r²    (*)

waarbij α, β en γ de hoeken in radialen zijn van Δ ABC en r de straal van de bol.

Uit die formule kan je afleiden dat de som van de hoeken van een boldriehoek groter is dan 180°.
Bij de driehoeken op de Brazuca-voetbal is de som van de hoeken duidelijk kleiner dan 180°.
 
Een bewijs van de formule (*) vind je in de bijlage. Met dank aan Martin Kindt.

Bijlagen:
Oppervlakte boldriehoek - Martin Kindt.pdf (182.2 KB)   

LOGISCH?

Men wikkelt blijkbaar meer en meer chocoladefiguurtjes in zilverpapier
omdat door de CO₂-uitstoot chocolade nu ook vlugger gaat smelten.
Maar door de productie van zilverpapier verhoogt de CO₂-uitstoot ...

Meer en meer ouders brengen hun kinderen met de auto naar school.
Met al die auto's vinden ze het immers niet meer veilig
om hun kinderen te voet of met de fiets naar school te sturen ...



Vraag:  "Is het waar dat trouwen op een vrijdag ongeluk brengt?"
Antwoord: "Ik zou niet weten waarom de vrijdag een uitzondering zou zijn."

De meeste auto-ongevallen gebeuren binnen een straal van 5 km van de eigen woonplaats.
Waarom gaat niet iedereen dan 10 km verderop wonen? 
 

06-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

VLAAMSE WISKUNDE BLIJFT AAN DE EUROPESE TOP

De Vlaamse leerlingen presteren wat wiskunde betreft nog steeds uitstekend binnen Europa maar moeten in hun Aziatische leeftijdsgenoten hun meerdere erkennen. Vlaanderen komt uit op een negende plaats in de wereldwijde rangschikking van landen en regio’s. De top zeven is volledig Oost-Aziatisch, met Shanghai op één, gevolgd door Singapore, Hong Kong en Korea.

Dat blijkt uit de resultaten van Pisa 2012, een driejaarlijkse vergelijking van de prestaties van 15-jarige leerlingen op vlak van wiskunde, lezen en wetenschap in 65 landen. Deze keer stond wiskunde daarin centraal.

De Vlaamse leerling moet met een score van 531 in Europa alleen zijn leeftijdsgenoten uit de dwergstaat Liechtenstein laten voorgaan. Vlaanderen deelt zijn positie met Zwitserland.

Vlaanderen gaat achteruit

Bij de laatste editie van Pisa die in het teken van wiskunde stond, die van 2003, stond Vlaanderen helemaal bovenaan en liet het de beste Oeso-landen, Finland en Korea, achter zich. De gemiddelde Vlaamse 15-jarige scoorde toen 553 punten. In vergelijking met tien jaar geleden moeten we dus 22 punten inleveren.

Het blijkt ook dat we minder leerlingen hebben in de best presterende groep: 8,7 procent tegen 12,4 procent in 2003.

Zes testvragen

Scoor jij voor wiskunde even goed als de gemiddelde 15-jarige leerling?
Doe dan even de test in bijlage!

Bron: Het Nieuwsblad 04-12-2013

Het PISA-rapport zit in bijlage.

Bijlagen:
PISA-rapport 2012.pdf (3.9 MB)   
Pisa-test wiskunde.pdf (161.8 KB)   

HOE WIN JE ALTIJD BIJ 'VIER OP EEN RIJ'?

Nu de lange winteravonden voor de deur staan,
en de Sint deze nacht over de daken zal waaien,
komen de gezelschapspelletjes binnenkort weer boven.

Wiskundigen hebben recent het spelletje 'VIER OP EEN RIJ' opgelost,
dat wil zeggen dat ze een tactiek gevonden hebben waarmee je altijd wint.
De enige voorwaarde om zeker te winnen is  dat je zelf eerst aan zet bent
en dat je natuurlijk het spel op de goede manier verder speelt
zodat jouw tegenstander nooit vier van zijn schijven op een rij krijgt.

Het bovenstaande filmpje vertelt je hoe je zeker wint.



SUCCES! 

05-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EINSTEINRAADSELTJES 

Professor Robbert Dijkgraaf gaf op 29 november 2013
voor het VARA-programma DWDD University (DWDD = De Wereld Draait Door)
een gastcollega over het beroemdste genie aller tijden: Albert Einstein.
Einstein is een icoon van onze tijd. Hij bedenkt de relativiteitstheorieën en E = mc².
Zijn naam alleen al is een metafoor voor grote intelligentie.
Robbert Dijkgraaf laat zien dat Einstein niet alleen intelligent is,
maar ook een grootheid als het gaat om verbeelding en creativiteit.
 
Qua opzet vergelijkbaar met zijn vorige colleges (De Oerknal en Het Allerkleinste)
neemt Dijkgraaf ons aan de hand van historische beelden,
spectaculaire animaties, en een ‘maquette van ruimte en tijd’
mee op een reis door het leven en de gedachtewereld van Einstein.


Einstein test nog graag even jouw wiskundig inzicht aan de hand van twee raadsels.

MEETKUNDERAADSEL
De onderstaande rechthoek is opgedeeld in 4 gebieden.
Bij het gele en het blauwe gebied staat de oppervlakte ervan vermeld.
Wat is de oppervlakte van het oranje gebied?

GETALLENRAADSEL
Kan je de onderstaande som berekenen zonder rekentoestel?
19² – 18² + 17² – 16² +  ... + 5² – 4² + 3² – 2² + 1²

Oplossingen in bijlage.  

Bijlagen:
Oplossing Einsteinraadseltjes.pdf (171 KB)   

POPEYE-PARADOX

Popeye heeft een bootje in elkaar geknutseld.
Hij staat op een 3 meter hoge oever en zijn bootje drijft 4 meter van de oever verwijderd. 
 Hij trekt nu het bootje naar de kant toe door het touw dat eraan is vastgemaakt één meter in te trekken.
Paradoxaal genoeg zal het bootje dan meer dan één meter naderen tot de kant!

Kan je dat verklaren?

 

ANTWOORD IN BIJLAGE

Bijlagen:
Popeye-paradox verklaard.pdf (196.9 KB)