Bijlagen:
PROGRAMMEREN OP EEN GRAFISCHE REKENMACHINE.doc (66.5 KB)   

Via de werkopdracht in bijlage kan je heel wat leren over hoe men in de voorbije eeuwen getallen noteerde en hoe men hiermee probeerde op een systematische manier te rekenen.

Volgende onderwerpen komen aan bod:
- het Ishangobeentje
- het vigesimaal talstelsel bij de Maya's
- het hexagesimaal talstelsel bij de Babyloniërs en de Sumeriërs
- de hiëroglyfennotatie bij de Egyptenaren
- de acrofonische getallen bij de Oude Grieken
- de Romeinse cijfers en chronogrammen
- het binair talstelsel
- rekenen met een abacus
- een Arabisch rekenschema
- het verband tussen googol en Google.

De vedische wiskunde (wat?) leert je om op een eenvoudige manier getallen te kwadrateren 
Bekijk hiervoor het volgende filmpje.

Bijlagen:
Werkopdracht over talstelsels en telsystemen.doc (207 KB)   

Wie herkent niet de hoed van Napoleon?

Maar wist je dat er in de wiskunde ook een ‘Stelling van Napoleon’ bestaat?

In de opdracht in bijlage maak je kennis met 6 minder gekende stellingen.

Koppel elke stelling aan de juiste naam.

Kan je (op het internet) een bewijs vinden voor deze stellingen?

Bijlagen:
De hoed van Napoleon.doc (991 KB)   

William van Ockham ca. 1285-1349

Pluralitas non est ponenda sine necessitate

(vrij vertaald : “Kies steeds de eenvoudigste oplossing” )

Dit principe staat bekend als ‘Het scheermes van Ockham’ 

en kan ook toegepast worden op het bewijs

van wiskundige eigenschappen of stellingen.

Voor heel wat problemen uit de meetkunde, algebra en goniometrie

bestaat er ‘een oplossing op zicht’,

waarbij men de oplossing ‘ziet’ op een figuur.

OPGAVE

In de bijlage staat een lijstje met 12 eigenschappen/stellingen

en 12 figuren die in feite  ‘bewijzen zonder woorden’ zijn.

Koppel de LETTER die bij deze bewijzen staat

aan het CIJFER van de overeenkomstige eigenschap/stelling.

Kan je ook telkens een verklaring geven? 

Bijlagen:
Het scheermes van Ockham.doc (1.1 MB)   

Bijlagen:
DavidCopperfield.ppt (192 KB)   

Dit was de eerste wiskundepuzzel die ik als kind (in het eerste leerjaar) in handen kreeg en kon oplossen .
Deze puzzel was een uitdaging door zijn eenvoud.
Wereldwijd zijn honderden versies ervan opgedoken.

Je kunt de puzzel online proberen op te lossen op http://mypuzzle.org/sliding .

De geschiedenis van de 15-puzzel.  

Het was heel lang onduidelijk wie de eerste schuifpuzzel heeft uitgevonden of gemaakt. Wel leek lange tijd vast te staan dat in 1878 Sam Loyd, Amerika's grootste puzzel-expert, de "hele wereld gek maakte" met zijn "nieuw ontdekte" 14-15-puzzel. Dit was een variant op de "Puzzel van 15" die al minstens 8 jaar eerder werd gemaakt en verkocht door de Embossing Company uit New York. Die bestond uit 15 genummerde vierkante blokjes die men in een vierkant raam dat groot genoeg was voor 16 blokjes heen en weer kon schuiven.

Het was niet zo verbazingwekkend dat de hele wereld "gek" werd gemaakt door Sam Loyd's variant op de puzzel van 15. Het probleem dat hij stelde was namelijk onmogelijk op te lossen. Wanneer men deze 14-15 puzzel kocht, bevond het lege vakje zich rechts onderaan, en de blokjes waren in volgorde genummerd van links naar rechts en van boven naar beneden. Alleen de 14 en de 15 waren verwisseld. Men moest de puzzel helemaal op volgorde zien te krijgen, en de lege plaats moest rechtsonder blijven. Voor de oplossing werd een prijs van 1000 dollar uitgeloofd, maar die werd nooit opgeëist. Een schuifpuzzel is namelijk alleen oplosbaar als het aantal verwisselingen dat nodig is om de puzzel kloppend te maken even is. De 14-15 puzzel genoot een wereldwijde belangstelling die alleen te vergelijken is met de Kubus van Rubik die de wereld 100 jaar later overspoelde.

Citaat uit  Cyclopedia of Puzzles van Sam Loyd:

"De oudere inwoners van Puzzelland zullen zich herinneren hoe ik in het begin van de jaren 70 de hele wereld gek heb gemaakt met een klein doosje met bewegende blokjes, dat later bekend werd onder de naam "14-15-puzzel". De vijftien blokjes lagen in hun normale volgorde geordend in het doosje, alleen de 14 en 15 waren verwisseld, zoals u in de figuur hiernaast kunt zien. De puzzel bestond eruit dat de blokjes een voor een verplaatst moesten worden om ze uiteindelijk weer allemaal in hun oorspronkelijke positie te brengen behalve dan dat de "fout" bij de 14 en 15 ongedaan gemaakt moest zijn. De prijs van $ 1000, die was uitgeloofd voor de eerste correcte oplossing voor dit probleem is nooit opgeëist."

Enkele enthousiaste studenten van het Junior College van Utrecht hebben de verklaring waarom de puzzel niet oplosbaar is op papier gezet:
http://www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/puzzels.html

In 2006 hebben Jerry Slocum en Dic Sonneveld een boek gepubliceerd met als titel The 15 Puzzle. Hierin lezen we o.a.: "Sam Loyd heeft de 15 puzzel niet uitgevonden en heeft ook niets te maken met het populariseren van deze puzzel. De puzzelgekte die ontstond rond de 15-puzzel begon in januari 1880 in Amerika en in april in Europa. De gekte eindigde in juli 1880 en Sam Loyd’s eerste artikel over de 15-puzzel werd pas 16 jaar later gepubliceerd, nl. in januari 1896. Loyd beweerde voor het eerst in 1891 dat hij de puzzel had uitgevonden en hij hield deze leugen vol tot aan zijn dood 20 jaar later. De echte uitvinder was Noyes Chapman, een postbeambte uit New York, die al een patent aanvroeg in maart 1880."

23-06-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wist je dat je met een balans alle gewichten van 1 kg tot en met 40 kg kunt afwegen als je beschikt over gewichtjes van 1 kg, 3 kg, 9 kg en 27 kg?

Zo kan je 33 kg afwegen door hierbij het gewicht van 3 kg te plaatsen en op de andere schaal van de balans de gewichten van 27 kg en 9 kg te plaatsen.

Voor 20 kg ga je als volgt te werk: plaats hierbij de gewichten van 9 kg en 1 kg  en zet op de andere schaal de overige twee gewichten van 27 kg en 3 kg.

Op dit principe is de goocheltoer met de onderstaande vier kaartjes gebaseerd. Je vindt deze kaartjes afdrukklaar in bijlage.

Vraag aan een toeschouwer om een getal van 1 tot en met 40 in gedachten te nemen.

Vraag hem dan telkens op welk van de vier kaartjes het getal staat en of dit in Arabische of in Romeinse cijfers is.

Na het vierde kaartje kan je precies zeggen welk getal hij gekozen heeft.

Verklaring.

Ken aan het eerste kaartje het sleutelgetal 1 toe,
aan het tweede kaartje het getal 3,
aan het derde het getal 9 en aan het vierde het getal 27.

Als de toeschouwers zegt dat zijn getal in Arabische cijfers op een kaartje staat,
reken je het corresponderende sleutelgetal positief aan.
Als het in Romeinse cijfers staat, reken je het negatief aan.
De som van de getallen die je zo bekomt, is meteen gelijk aan het gekozen getal.

Voorbeelden.
Het getal 33 staat op het derde en vierde kaartje in Romeinse cijfers.
Dit geeft 9 + 27 = 36.
Op het tweede kaartje staat het in Romeinse cijfers en dit levert -3 op.
36 - 3 = 33.
Het getal 20 staat op het tweede en vierde kaartje in Romeinse cijfers.
Dit geeft 3 + 27 = 30.
Op beide andere kaartjes staat het in Romeinse cijfers, wat -1 - 9 = -10 oplevert.
30 - 10 = 20.

*************************************************************************************************

Met dank aan collega Job van de Groep, wiskundedocent en amateurgoochelaar,
die in 2007 te gast was op de Dag van de Wiskunde in Kortrijk.

Hij verzamelde een aantal wiskundige goocheltrucs voor in de les
in zijn boekje 'Gegoochel met getallen'. ISBN 90 11 09944 3

Bijlagen:
Arabische_en_Romeinse_cijfers.doc (97 KB)   

Als ik geen wiskundige was geworden, dan was ik nu zeker een goochelaar!

Met dank aan :

Principe van het laatste spelletje: als je van een getal van twee cijfers de som van de beide cijfers aftrekt, bekom je altijd een veelvoud van negen.
Immers: 10a + b - (a + b) = 9a.

23-06-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Edouard Zeckendorf (1901-1983)

Deze truc steunt op de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ... en de stelling van Edouard Zeckendorf.

Die stelling zegt dat elk natuurlijk getal op slechts één manier kan geschreven worden als een som van niet-opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.

Als het getal zelf een Fibonacci-getal is, dan bestaat de “som” maar uit één term: het getal zelf.

E. Zeckendorf was een Belgische amateur-wiskundige, geboren in Luik in 1901 en er overleden in 1983. Hij was dokter in het Belgisch leger.

Kaart 1   1, 4, 6, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 25, 27, 30, 33, 35, 38, 40, 43, 46, 48, 51,53,56, 59, 61,64, 67,69, 72, 74	Kaart 2   2, 7, 10, 15, 20, 23, 28, 31, 36, 41,44, 49, 54, 57, 62, 65, 70, 75	Kaart 3   3, 4, 11, 12, 16,17, 24, 25, 32, 33, 37, 38, 45, 46, 50, 51, 58, 59, 66, 67, 71, 72
Kaart 4   5, 6, 7, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 39,40, 41, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 73, 74,75	Kaart 5   8, 9, 10, 11, 12, 29, 30, 31, 32, 33, 42, 43, 44, 45, 46,63, 64, 65, 66, 67	Kaart 6   13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 68, 69, 70,71,72, 73, 74, 75
Kaart 7   21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	Kaart 8   34, 35, 36, 37, 38,39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54	Kaart 9   55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69,70, 71, 72, 73,74,75

Bijlagen:
Fibonaccikaartjes.doc (22.5 KB)   

Principe: elk positief geheel getal is op een unieke manier te schrijven als een som van machten van 2 (binaire schrijfwijze).

Zo is de binaire schrijfwijze van 43 : 101011.

Bijlagen:
Binaire getallenkaartjes.doc (22.5 KB)   

Voorwoord 

Een paradox: één deel waarheid op twee delen geestigheid.
Rémy Montalée

Het vervelende van nadenken is dat je zo vaak bij paradoxen uitkomt.

Connie Palmen

De paradoxen van gisteren zijn de waarheden van morgen.

E.R. de Labonlaye

Een paradox is een staart die zijn eigen slang opeet.

Johan Goudsbloem

Het Griekse woord ‘paradoxos’ betekent letterlijk ‘tegen de verwachting ingaande, ongelooflijk, zonderling’. Misschien ligt het geheim van het onderwijs in wiskunde en wetenschappen wel in het feit dat men zich jarenlang over heel wat zaken kan verwonderen zonder dat men er direct een logische verklaring voor heeft. De leraren wiskunde en wetenschappen hebben dan in feite de ondankbare taak om beetje bij beetje die verwondering de kop in te drukken en de schijn te wekken dat er voor alles een logische verklaring is.

Deze tekst heeft daarom op de eerste plaats de bedoeling om weer verwondering op te wekken.  Rekenkronkels, redeneren op een foutieve meetkundige schets en vicieuze cirkels leiden vaak tot grappige en schijnbaar onverklaarbare resultaten. Logica, kansrekenen en statistiek zijn een nest vol paradoxen. Werken met grote getallen en spelen met het begrip oneindig leidt vaak tot bevindingen die ingaan tegen onze intuïtie. Ook wie meer vertrouwd is met getallenleer, meetkunde, berekenen van oppervlakte en lengte, differentiaal- en integraalrekenen … staat soms voor een oplossing die op het eerste gezicht in strijd is met het gezond verstand. De complexe getallen die men in de realiteit niet verwacht, kunnen een bron van ergernis vormen voor wie enkel met de reële getallen vertrouwd is omdat voor deze ‘imaginaire getallen’ heel wat rekenregels blijkbaar niet meer opgaan. In de wetenschappen stonden en staan onderzoekers vaak voor een raadsel en in vele gevallen was er een geniale of een toevallige vondst nodig om tot een wetenschappelijke doorbraak te komen. Ervaring leert immers dat wat we schijnbaar waarnemen, niet altijd strookt met de realiteit.

Vanuit deze visie kwamen we uiteindelijk tot elf hoofdstukjes, die meestal beginnen met een korte historische toelichting en waarin je kan proeven van een ruim assortiment ‘merkwaardige vaststellingen’. We hebben er weloverwogen voor gekozen niet altijd een sluitende verklaring te geven voor wat er misloopt in de redenering of het bewijs. Op die manier blijft de verwondering hopelijk intact en kan dit boekje het uitgangspunt vormen voor een zinvolle gedachtewisseling met vriend of collega. Hiermee doorbreken we meteen de evidentie van wat we dagelijks in onze leefwereld ervaren en krijgen we een bevestiging van wat de Vlaamse schrijver en dichter Karel Jonckheere opmerkte: “Als de naakte waarheid zich verveelt, verkleedt ze zich in een paradox”.

Hier past een welgemeend woord van dank aan collega’s Frans Vandendriessche (mijn leraar wiskunde in 1965) en Walter De Volder (erebegeleider van DPB-Brugge en inspirerend voorbeeld) voor hun kritische bemerkingen en vooral aan Ronny Verhelle (eredirecteur van het Sint-Jozefinstituut en De Pleinschool in Kortrijk), die alle teksten met een fijne taalkundige pen heeft bijgeschaafd en via heel wat suggesties voor een duidelijke meerwaarde heeft gezorgd.

Dr. Luc Gheysens 

Bijlagen:
Bibliografie.pdf (6.5 KB)   

De Griekse filosoof Zeno (ca. 490-430 v. Chr.) bedacht een aantal paradoxen  om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende is ongetwijfeld de paradox van Achilles en de schildpad. 

“Achilles houdt een loopwedstrijd tegen een schildpad. Bij de start heeft de schildpad 100 meter voorsprong en we nemen aan dat Achilles slechts 20 keer sneller loopt dan de schildpad. Als Achilles dus het startpunt van de schildpad bereikt, heeft deze zelf weer 5 meter afgelegd. Achilles legt nu deze 5 meter af, maar in die tijd heeft de schildpad weer    5/20 = 0,25 meter afgelegd. Achilles legt zo achtereenvolgens 100, 5, 5/20, 5/400, … meter af en aan deze rij komt nooit een einde, m.a.w. Achilles slaagt er nooit in de schildpad in te halen.”

Minder gekend is ongetwijfeld de paradox van het Hilberthotel, een denkbeeldig hotel met oneindig veel kamers die allemaal bezet zijn.

Op een dag komt een nieuwe gast bij de receptie aan en vraagt of er nog een plaatsje vrij is. De hotelmanager ziet hierin geen probleem. Hij verplaatst de persoon uit kamer 1 naar kamer 2, de persoon uit kamer 2 naar kamer 3, enzovoort. Op die manier komt kamer 1 vrij voor de nieuwe gast.

Maar wat doet de hotelmanager als er op een dag oneindig veel nieuwe gasten zich komen aanmelden. Weet hij ze dan ook allemaal weer een kamer te geven? En wat als er oneindig veel bussen met oneindig veel gasten arriveren?

De oplossing hiervan en van een aantal aanverwante problemen lees je in bijlage 2.

Bijlagen:
PARADOXEN_2_ SPELEN_MET_ONEINDIG.pdf (59.5 KB)   

“Er bestaan drie soorten leugens: leugens om bestwil, opzettelijke leugens en statistieken.”
(Benjamin Disraeli, Engels auteur en bekend politicus, 1850).

De Franse wis- en natuurkundige en filosoof Blaise Pascal (1623-1662) legde omstreeks 1650 samen met Pierre de Fermat (1601-1665) de grondslagen voor de waarschijnlijkheids-rekening. Pascal ontdekte algauw dat het berekenen van winstkansen niet zo eenvoudig was en ongetwijfeld zal hij wel op een aantal schijnbare tegenstrijdigheden zijn gebotst.

Zo legde de goklustige edelman Chevalier de Méré (1607-1684) in 1654 het volgende probleem voor aan zijn vriend Pascal. Als je met één dobbelsteen gooit, zijn er 6 mogelijke uitkomsten en met twee dobbelstenen zijn er 6 x 6 = 36 mogelijke resultaten. Uit ervaring blijkt dat wedden op minstens 1 keer 6 werpen met één dobbelsteen in 4 worpen voordelig is (meer dan 50% kans), terwijl wedden op minstens 1 keer een dubbele 6 gooien in 24 worpen met twee dobbelstenen nadelig is (minder dan 50% kans). Nochtans is 4/6 gelijk aan 24/36. Hoe kan dat?

Pascal vond hiervoor een correcte wiskundige verklaring door de kansen op de juiste manier te berekenen. Als je 4 keer werpt met één dobbelsteen is de kans op minstens 1 keer 6 gelijk aan 
1 – (5/6)⁴ » 51,77%.  Maar als je 24 keer dobbelt met twee stenen is de kans op minstens één keer een dubbele 6 gelijk aan 1 – (35/36)²⁴ » 49,14%.

Wie ietwat vertrouwd is met kansberekening en met statistiek, zal beseffen dat je binnen deze tak van de wiskunde vaak met haast onverklaarbare anomalieën af te rekenen hebt.

Ken je het driedeurenprobleem?
Al gehoord van de paradox van Simpson, die je zal doen twijfelen aan de correctheid van veel statistieken?
Wist je dat er dobbelstenen bestaan waarmee je altijd kan winnen?

Dit en nog veel meer lees je in bijdrage 5.

Bijlagen:
PARADOXEN_5_ KANSREKENEN_EN_STATISTIEK.pdf (1.9 MB)   

Het niet stellen van voorwaarden, een onoplettendheid in het rekenwerk, het verkeerd toepassen van een rekenregel, een foutieve redenering … leiden soms tot grappige en onmogelijke resultaten. Zo zal elke leraar bij het verbeterwerk al wel eens moeite hebben gehad om de fout in een bewijs of een rekenwerk te ontdekken.

Kan jij direct zeggen waar de fout zit in het volgende verhaaltje?

Drie studenten hebben in een bar elk voor 10 euro drank verbruikt. Ze betalen elk 10 euro aan de kelner. De gastvriendelijke patroon zegt aan de kelner: ”Het zijn nieuwe klanten. Geef hen maar 5 euro terug.” De kelner besluit echter aan elke student 1 euro terug te geven en stopt zo 2 euro in zijn eigen zak. 

Bijlagen:
PARADOXEN_1_ REKENKRONKELS.pdf (114.8 KB)   

Volgens een wiskundige: “Pi is het getal dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter.”

Volgens een natuurkundige: “Pi is 3,1415927 ± 0,00000005”.

Het symbool π (de eerste letter van het Griekse woord περίμετρος voor omtrek) werd in 1706 voor het eerst gebruikt door de Engelsman William Jones. Het wordt ook de constante van Archimedes (287-212 v.C.) genoemd, omdat deze Griekse wiskundige een ingenieuze manier vond om pi te berekenen met behulp van in- en omgeschreven regelmatige veelhoeken bij een cirkel. Men spreekt ook van het Ludolfiaans getal, waarmee men verwijst naar Ludolf van Ceulen (1540-1610) - een Nederlandse wiskundige die rond 1600 de eerste 35 decimalen van pi berekende.

Bijlagen:
PROBLEMEN MET PI.pdf (252.5 KB)   

Omstreeks 1500 werden in Italië wedstrijden georganiseerd voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen. Niccolo Fontana (ca. 1500-1557) , bijgenaamd Tartaglia (letterlijk ‘de stotteraar’) ontdekte een formule die een oplossing leverde voor de derdegraadsvergelijking 
x³ = ax + b.

Girolamo Cardano (1501-1576) publiceerde als eerste deze formule in zijn Ars Magna (1545) en daarom spreken we nu over de formule van Cardano. Deze wiskundige, medicus, filosoof en astroloog was één van de meest kleurrijke figuren uit de 16^de eeuw. Omdat hij een horoscoop van het leven van Christus publiceerde, werd hij een tijdlang gevangen gezet wegens ketterij. Het verhaal gaat dat hij de juiste datum van zijn overlijden voorspelde. In 1576 pleegde hij zelfmoord …

Het was echter een tijdgenoot Rafael Bombelli (1526-1572) die door het toepassen van de formule van Tartaglia op de vergelijking x³ = 15x + 4 als bij toeval de complexe getallen introduceerde.

De complexe getallen zouden echter pas tot volle bloei komen vanaf de 18^de eeuw met figuren als Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss en Abraham de Moivre. 

Als je bij het rekenen met complexe getallen de rekenregels voor reële getallen toepast, of rekenregels voor complexe getallen verkeerd toepast, bots je op een aantal merkwaardige vaststellingen, zoals blijkt uit de berekeningen in bijlage 4.

Bijlagen:
PARADOXEN_ DE COMPLEXE WERELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN.pdf (140 KB)   

Omstreeks 300 v. Chr. tekende Euclides in 13 boeken 465 stellingen op. Deze ‘Elementen van Euclides’ gelden als één van de meest invloedrijke werken uit de wiskunde en eeuwenlang zouden deze boeken ook het standaardwerk vormen voor het onderwijs. De eerste niet zo adequate gedrukte versie van de Elementen dateert van 1482 (een vertaling uit het Arabisch; de eerste vertaling uit het Grieks volgde in 1505). In tegenstelling tot wat men soms denkt, bevatten deze boeken niet enkel stellingen over meetkunde maar ook over getallenleer en (meetkundige) algebra.

Bijlagen:
PARADOXEN_6__EUCLIDES_OP_DE_HELLING.pdf (306.7 KB)   

Het is merkwaardig om vast te stellen hoe moeilijk we grote getallen kunnen inschatten. Veronderstel dat iemand je vraagt om alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 1 miljoen op papier neer te schrijven, ermee rekening houdend dat je één cijfer per seconde kunt opschrijven en dat je bereid bent om 8 uur per dag hieraan te werken. In hoeveel tijd denk je dit klusje te kunnen klaren? Een dag, een paar dagen, een week… ?

Om deze vraag te beantwoorden berekenen we eerst hoeveel cijfers je in totaal zult moeten opschrijven:

Van 1 tot en met 9:                                         9 x 1    =                             9 cijfers

van 10 tot en met 99:                                     90 x 2    =                         180 cijfers

van 100 tot en met 999:                                900 x 3    =                      2 700 cijfers

van 1 000 tot en met 9 999:                        9 000 x 4    =                    36 000 cijfers

van 10 000 tot en met 99 999:                   90 000 x 5    =                  450 000 cijfers

van 100 000 tot en met 999 999:              900 000 x 6    =               5 400 000 cijfers

voor 1 000 000                                                 1 x 7    =                            7 cijfers

                                                           -----------------------------------------------------------

                                                              totaal           =               5 888 896 cijfers

In 8 uur gaan er 8 x 60 x 60 = 28 800 seconden, zodat aan een werkritme van 8 uur per dag het schrijfwerk 5 888 896 : 28 800 of ongeveer 205 dagen zou duren!

Heb je er bijvoorbeeld een idee van hoeveel voorouders je hebt en in hoeveel verschillende standen men een kubus van Rubik kan draaien? Weet je waar de naam GOOGLE vandaan komt?

Dit alles en nog veel meer lees je in bijlage 7.
 

Bijlagen:
PARADOXEN_7_ GROTE_ GETALLEN.pdf (170.4 KB)