EEN BEWIJS ZONDER WOORDEN

Ziehier een bewijs zonder woorden
- in de Griekse stijl -
voor de formule voor de som van de derdemachten
van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:
 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4.

Gezien?

23-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Ziehier een tweede bewijs voor de formule voor de som van de derdemachten
van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:

 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4.

We maken hierbij gebruik van de volgende vaststelling:

1³ = 1
2³ = 3 + 5
3³ = 7 + 9 + 11
...
n³ = [(n –1)n +1 ] + ... + [n(n+1) – 1].

Bijgevolg is 1³  + 2³ + 3³ +... + n³  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + [n(n + 1) – 1].

Deze som van n termen uit het rechterlid kan je dan direct berekenen
met behulp van de formule voor de n-de partieelsom van een rekenkundige rij en zo vind je dat

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = ½ [1 + n(n + 1) – 1]n(n+1)/2
                                               = [n(n + 1)/2]²  = (1 + 2 + 3 + ... + n)².

Dit algebraïsch bewijs kan ook visueel voorgesteld worden
als een bewijs zonder woorden (in de 'Griekse' stijl).

GEZIEN?

22-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een merkwaardige eigenschap van veeltermfuncties van de derde graad

Stel dat f een derdegraadsfunctie is met als functievoorschrift
f(x) = k(x  – a)(x  – b)(x  – c)
met k ≠ 0 en a ≠ b ≠ c ≠ a.
De nulwaarden zijn a, b en c.
Neem het gemiddelde van twee nulwaarden:  (a+ b)/2.
Dan gaat de raaklijn in P ((a+b)/2, f((a + b)/2) aan de grafiek van f door het punt (c, 0).

Voorbeeld.

f(x) = (1/6)(x – 4)(x + 2)(x + 6).
De nulpunten van de functie f zijn A(-6, 0), B(-2, 0) en C(4, 0)
Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (-2 + 4)/2 = 1.
De raaklijn in het punt P(1, f(1)) = (1, -10,5) gaat dan door het derde nulpunt (-6,0).

Controle van de eigenschap via de App DESMOS.

Controleer nu zelf via eens (via berekening) :
1) de raaklijn in het punt (-4, f(-4)) gaat door het punt (4, 0)  (-4 is immers het gemiddelde van -6 en -2)
2) de raaklijn in het punt (-1, f(-1))) gaat door het punt (-2, 0) (-1 is immers het gemiddelde van -6 en 4). 
Met het rekenwerk voor het algemeen bewijs (zie bijlage) ben je voor een tijdje zoet!

21-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DRIEHOEKSGETALLEN EN KWADRAATGETALLEN

Elders op mijn blog kan je al heel wat informatie en eigenschappen vinden in verband met driehoeksgetallen.
Hieronder zie je de 'meetkundige' voorstelling van de eerste 7 driehoeksgetallen.

We voegen hier nu een eenvoudige gekende eigenschap aan toe.
Maak zelf eens de som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen
en je zult vaststellen dat dit steeds een kwadraatgetal oplevert.

Zo is bijvoorbeeld
6 + 10 = 16 = 4²
10 + 15 = 25 = 5².

Een 'Grieks' bewijs zonder woorden zie je op de onderstaande afbeeldingen.

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

21-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een regelmatige vlakvulling of betegeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken, vierhoeken ...). Deze komen in hun hoekpunten samen. De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken. We kunnen bewijzen dat er maar drie soorten regelmatige betegelingen mogelijk zijn: met driehoeken, vierkanten en zeshoeken.

  

Het bewijs hiervan vind je in de onderstaande bijlage.

Er bestaan echter ook heel wat niet-regelmatige vlakvullingen, waarbij verschillende soorten veelhoeken worden gebruikt. Je kunt hiermee zelf gaan experimenteren op http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/taprats/applet.html. Een gekend voorbeeld hiervan is de Penrose-betegeling waarin er twee soorten tegels voorkomen: de zogenaamde vlieger en pijl. Een Penrose-betegeling herhaalt zichzelf nooit en is dus niet-periodiek. Dat betekent dat je een Penrose-betegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Lees meer hierover op http://www.kennislink.nl/publicaties/penrose-betegelingen-in-middeleeuwse-islamitische-mozaieken .

         

In 1891 bewees de Russische kristallograaf E.S. Fedorov dat er precies 17 verschillende behangpatronen mogelijk zijn:

                                                  

In het artikel in bijlage over islamitische kunst legt Prof. Jan van de Craats uit hoe men tot die 17 patronen komt. In zijn classificatie op blz. 9 vertrekt hij van de kleinste rotatiehoek die in het patroon kan voorkomen.
Voor n = 1: geen rotatiehoek.
Voor n = 2: een hoek van 360°/2 = 180°.
Voor n = 3: een hoek van 360°/3 = 120°.
Voor n = 4: een hoek van 360°/4 = 90°.
Voor n = 6: een hoek van 360°/6 = 60°.

Deze patronen komen o.a. voor in het Alhambra in Granada en ze inpireerden de Nederlandse grafische kunstenaar M.C. Escher voor zijn beroemde vlakvullingen.

                                                                                

Bijlagen:
Regelmatige vlakvullingen.pdf (307.8 KB)   
Symmetrie in islamitische ornamentale kunst.pdf (8 MB)   

De DESMOS App is er.
Hoera!

Hieronder zie je enkele schermafdrukken waaruit je kunt opmaken
welke mogelijkheden deze App zoal biedt.

Studie van functies (van de eerste en de tweede graad).
Snijpunten van twee grafieken.

Invloed van parameters in een functievoorschrift via schuifbalken.

 Verband tussen de grafiek van een functie en van de afgeleide functie.

Raaklijn in een willekeurig punt aan een grafiek (dynamisch) en verband met de afgeleide.

Combinaties, variaties, permutaties,
grootste gemeenschappelijke deler, logaritmen ...

HIER KRIJG JE NIET SNEL GENOEG VAN!

19-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SOM VAN KWADRATEN

Ik heb me altijd al verbaasd over de formule voor de som van de kwadraten
van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:

De formule blijkt 'weinig symmetrisch' te zijn
en om 'een mysterieuze reden' moet er gedeeld worden door 6.

Hieronder zie 'een Grieks bewijs' zonder woorden voor deze formule.
We gaan er van uit dat je weet dat 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

De oppervlakte van de linkse figuur (met n = 4)  is dan gelijk aan
3(1² + 2² + ... + n²) en ook aan (2n+1)(1 + 2 + ... + n).
Hieruit volgt dan direct de gewenste formule!





Op http://www.proofwiki.org/wiki/Sum_of_Sequence_of_Squares
vind je vier algebraïsche bewijzen voor deze formule
waaronder ook het klassieke bewijs door volledige inductie.

In de bijlage presenteren we nog twee andere originele bewijzen.

Bijlagen:
Bewijs van de somformule van de kwadraten.pdf (182.5 KB)   

Een kleine berekening leert dat bij de Belgen DAGELIJKS ongeveer 3,3 miljoen euro in rook opgaat.

Alle Belgen bezitten samen goed 800 miljard euro.
In dat netto financieel vermogen zit alles: cash, spaarrekeningen, kasbonnen, aandelen, obligaties enzovoorts,
en alle schulden van de particulieren zijn ervan afgetrokken.
En het dikt aardig aan, een jaar geleden was het nog maar 750 miljard.
Van die 800 miljard staat nu 240 miljard op spaarboekjes. Nog nooit was dat zo veel.

Dat is opmerkelijk, want geld op een spaarboekje levert nauwelijks nog iets op.
Een klassieke spaarrekening bij een grote bank biedt je nu een rente van 0,70 procent (basisrente plus getrouwheidspremie).
Dat betekent dat je voor elke 10 000 euro die een jaar op een spaarrekening blijft staan maar 70 euro rente ontvangt.

Vandaag ligt de inflatie al boven 1 procent.
Dat is niet hoog, want de Europese Centrale Bank (ECB) streeft naar een inflatie van juist onder de 2 procent.
Een gemiddeld rendement op een spaarboekje van 0,70 procent en een inflatie van 1,20 procent wil wel zeggen
dat de spaarder reëel verarmt en niet weinig: als er 240 miljard op de spaarboekjes staat
en de reële spaarrente (rente min inflatie) min 0,5 procent bedraagt,
gaat jaarlijks 1,2 miljard euro aan koopkracht in rook op. 
Dat komt neer op ongeveer 3,3 miljoen euro per dag.

Bron: KNACK - 19 juni 2013 - EP

18-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

GONIOMETRISCHE FORMULES
VOOR DE DUBBELE HOEK

Vertrekkend van de som- en verschilformules
bewijst men in het secundair onderwijs
de gomiometrische formules voor de dubbele hoek:

sin 2α = 2 sinα cos α
cos 2α = cos²α  –  sin²α.

Hieronder presenteren we een 'bewijs zonder woorden' voor beide formules.
We gaan ervan uit dat je weet dat de oppervlakte van een willekeurige driehoek gelijk is aan
het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek:

Opp. Δ ABC = ½ bc sin α.

18-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

"Geef me een plaats om te staan en ik beweeg de aarde"
Archimedes (3de eeuw v. Chr.)

Met deze beroemde uitspraak verwijst Archimedes naar het hefboompricipe:
MACHT x MACHTARM = LAST x LASTARM.

Als Archimedes dus zou beschikken over een hefboom die lang genoeg is,
een steunpunt en de juiste plaats waar hij zou kunnen staan,
dan zou hij in principe de aarde kunnen optillen.

Het hefboomprincipe vindt zijn dagelijkse toepassing in heel wat gebruiksvoorwerpen:
een koevoet, een notenkraker, een suikertang, riemen van een roeiboot,
een kroonkurkwipper, een slagboom, een schaar, de voorarm,
een vorkheftruck, een knoflookpers, een nagelknipper, een trektang ...



Stel dat Bert 570 N weegt (ongeveer 58 kg) en Ernie 380 N (ongeveer 39 kg).
Ze zitten beiden op een wip en Bert bevindt zich op 90 cm van het steunpunt.
Hoe ver moet Ernie dan gaan zitten aan de andere kant van het steunpunt
opdat de wip in evenwicht zou blijven?


In bijlage zit een gebruiksklare werktekst voor een les over hefbomen.
Met dank aan collega Nele Vanderbusse.

Bijlagen:
Werktekst hefbomen.pdf (572.7 KB)