NIEUWE (?) EIGENSCHAP VAN ZEVEN EN DERTIEN


Niet enkel in sprookjes komt het cijfer 7 af en toe voor
maar ook in de wiskunde blijkt het aantrekkelijke eigenschappen te bezitten.

We vermelden hier een nieuwe (?) eigenschap
waarvoor we in bijlage ook een bewijs geven.

Zoek een getal van 6 cijfers dat deelbaar is door 7.
We beweren dat elk getal dat je bekomt
via een cyclische permutatie van de cijfers van dat getal
ook weer deelbaar is door 7.

Voorbeeld. 
364 175 = 7 x 52 025.



Via cyclische permutatie bekom je dan
641 753 = 7 x 91 679
417 536 = 7 x 59 648
175 364 = 7 x 25 052
753 641 = 7 x 107 663
536 417 = 7 x 76 631.

Uit het bewijs (zie bijlage) volgt dat deze eigenschap ook geldig is voor het priemgetal 13.
Zo is 635 921 = 13 x 48 917.
Controleer nu zelf eens dat de getallen
359 216, 592 163, 921 635, 216 359 en 163 592
ook weer deelbaar zijn door 13. 

Test nu zelf eens of de eigenschap geldig is
voor een getal van 3 cijfers dat deelbaar is door 37.

Bijlagen:
EIGENSCHAP VAN 7.pdf (166.2 KB)   

MIJN UURWERKPARADOX



Om ongeveer 5 voor 12 en 5 na 12
maken de grote en de kleine wijzer van een uurwerk een hoek van 30°.
Hoeveel keer maken de twee wijzers dan elke dag
tussen middernacht en 12 uur 's middags een hoek van 30°?

Een simpele redenering is de volgende.
Ongeveer om 00.05 uur is er voor de eerste keer een hoek van 30° tussen beide wijzers.
Daarna is er rond elk uur telkens 2 keer een hoek van 30°
(ongeveer om 00.55 uur en ongeveer om 1.05 uur,
ongeveer om 2.05 uur en ongeveer om 2.15 uur enzovoort ...).
Ongeveer om 11.55 uur is er voor de laatste keer een hoek van 30°.
Dit geeft in totaal 1 + (11 x 2) + 1 = 24 keer.

Waar zit de fout in deze redenering?

28-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Bestaat er een verband tussen de getallen pi en phi?



In de bijlage bewijzen we de volgende formule:





Verrassend toch ?
Pi is immers geen oplossing van een vierkantsvergelijking met gehele coëfficiënten
(pi is een transcendent irrationaal getal) terwijl phi dat wel is (phi is een algebraïsch irrationaal getal).



PI en PHI: om van te genieten!

Bijlagen:
Een merkwaardig verband tussen pi en phi.pdf (164.2 KB)   

Archimedes' Laboratorium is een boeiende en uitdagende website
die elke maand een wiskundig probleem lanceert.
Zie: http://www.archimedes-lab.org/ bij de rubriek 'Monthly Puzzle'.

We troffen er een ogenschijnlijk eenvoudige puzzel aan 
die ook een simpele en creatieve oplossing heeft.

PUZZEL 131
G is een willekeurige punt binnen een gelijkzijdige driehoek ABC.
Projecteer G loodrecht op de drie zijden en verbind G met de drie hoekpunten.
Dan ontstaan zes driehoeken (figuur 1).
Toon aan dat de som van de oppervlakten k + m + o
gelijk is aan de som van de oppervlakten l + n + p.

  Figuur 1

BEWIJS.
Trek door G een evenwijdige met de drie zijden van driehoek ABC.
De driehoek wordt dan verdeeld in drie parallellograms en drie gelijkzijdige driehoeken.
De lijnstukken die G met de hoekpunten A, B en C verbinden
verdelen deze parallellograms en deze gelijkzijdige driehoeken
telkens in twee delen met dezelfde oppervlakte.
Dan is
k + m + o = (x + a) + (y + b) + (z + c)
= (a + y) + (b + z) + (c + x) = l + n + p.

Q.E.D.

Figuur 2

24-04-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

KETTINGBREUKEN

Een kettingbreuk is één van die zonderlinge vondsten waarover men zich als wiskundige kan verbazen.

Een kettingbreuk is in feite een breuk in een breuk in een breuk in een breuk...
Er verschijnt telkens een breuk met teller 1
en in de noemer een geheel getal vermeerderd met een breuk met als teller 1
en dit herhaalt zich steeds weer.

Elk irrationaal getal is te schrijven als een oneindig lange kettingbreuk.

Zo ziet de kettingbreuk voor het getal π er uit:

En er bestaan ook nog een andere voorstellingen
waarin de kwadraatgetallen op een verrassende manier opduiken:

En dit is de kettingbreuk voor het getal φ (gulden snede):

In 2010 promoveerde Ionica Smeets (één van de wiskundemeisjes) aan de Universiteit van Leiden
via een doctoraatsthesis 'On continued fraction algorithms'.
Je vindt de tekst in bijlage.
Op p. 109-111 lees je hoe je zelf de kettingbreuk voor pi
(of een ander iarrtionaal getal) kunt vinden.
Meteen een leuke oefening voor in de wiskundeles!

Bijlagen:
Thesis Ionica Smeets - Kettingbreuken.pdf (5.5 MB)