BELGIË + WISKUNDE

Vandaag 21 juli 2013 komt bij Academia Press (Gent) het nieuwe boek van Dirk Huylebrouck uit: “België + wiskunde”.
Het boek toont aan dat het palmares van ons land op het gebied van de wiskunde
dit van het damestennis of de damesatletiek overstijgt,
zelfs toen Kim en Justine of Kim en Tia nog regeerden.
Tot de top van de belangrijkste wiskundigen horen zowaar vier Belgen:
 Ingrid Daubechies, Pierre Deligne, Jean Bourgain en Jacques Tits!
Het bekende beeldformaat ‘JPEG’ werd bijvoorbeeld gecreëerd op basis
van het werk van een Belgische, die de eerste vrouwelijke professor ooit was aan Princeton University
 en de eerste voorzitster van de ‘International Mathematical Union’: Ingrid Daubechies.
Bovendien bevinden zich in België de oudste vondsten van de wiskunde,
heet de landingsplaats van Neil Armstrong eigenlijk de ‘Mare Belgicum’,
bestaat er een Belgische stelling en zowaar ook een Belgische wiskundige markies, Gasparo Pagani.
 

21-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

JACOBSSTAF

De jacobsstaf is een meetinstrument uit de 14de eeuw.
Het is een stok van ongeveer 1 meter lang waarop een schaalverdeling is aangebracht.
Loodrecht hierop kan een tweede stok schuiven waarvan de lengte
precies gelijk is aan elk van de stukjes waarin de grote stok is onderverdeeld.

Wiskundig bekeken werkt de jacobsstaf met het principe van gelijkvormige driehoeken.
 
Met de jacobsstaf  kan men de hoogte van een gebouw bepalen
of de hoek die de zon maakt met de horizon.
Zo kon men zijn positie bepalen op zee en in die zin is het de voorloper van de sextant.

Met de jacobsstaf kan men de afstand bepalen tussen twee ontoegankelijke punten A en B,
die bijvoorbeeld aan de overkant van een rivier gelegen zijn
zoals je op de onderstaande oude gravure kunt zien.

Hiervoor moet men twee metingen uitvoeren waarbij men telkens
de stok tegen het gezicht houdt en erop let dat de uiteinden van het dwarsstokje
precies in de richting staan van de punten A en B.
Bij de meting in positie 2 verschuift men dan het dwarsstokje over één lengte-eenheid.

Als men dit uitvoert volgens het bovenstaande schema,
dan blijkt dat de afstand waarover men achteruit is moeten stappen
(van positie 1 naar positie 2) precies gelijk te zijn als de afstand tussen A en B.



     De wiskundige uitleg lees je in de bijlage.

Bijlagen:
PRINCIPE VAN DE JACOBSSTAF.pdf (180.1 KB)   

DE WET VAN SNELLIUS

De Wet van Snellius of brekingswet is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden 
bij de overgang van het ene medium naar het andere, bijvoorbeeld van lucht naar water. 

De breking komt er omdat het het licht zich in verschillende media met een verschillende fasesnelheid voortbeweegt.
De wet is genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snel van Royen (1580 - 1626)
die bekend werd onder zijn Latijnse naam Snellius.

Hij paste in feite de wet van Fermat toe die zegt dat
wanneer een lichtstraal van punt A naar punt B beweegt, 
ze dit traject aflegt in de kortste tijd.

De wet van Snellius legt een verband tussen de sinuswaarden
van de invalshoek en de brekingshoek van de lichtstraal
en de snelheid van de lichtstraal in de beide media.

Als de lichtstraal vanuit vacuum vertrekt is v₁ gelijk aan de lichtsnelheid c.
De waarde c/v₂ is dan de zogenaamde brekingsindex n van het tweede medium.

In mijn wiskundelessen gaf ik deze toepassing altijd in de wetenschapsklassen
waar het oplossen van extremumvraagstukken met afgeleiden op het leerplan staat.
Hoe de uitwerking via afgeleiden verloopt, lees je in de bijlage.

Jos Leys maakte een didactische film (in het Frans) over de lichtbreking.
Je kan die gratis bekijken op http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=328.
Warm aanbevolen!

Bijlagen:
Bewijs van de wet van Snellius.pdf (155.9 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

67

Mandela Day - Luc Janus

***************************************************************************************************************

18-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

KWADRATUUR VAN EEN REGELMATIGE TWAALFHOEK

De kwadratuur van een vlakke figuur houdt in
dat men een vierkant construeert (met passer en liniaal)
dat dezelfde oppervlakte heeft als die vlakke figuur.

Elders op mijn blog (zoekopdracht: kwadratuur)
lees je hoe dat kan voor een willekeurige (convexe) veelhoek.

Een buitenbeentje hierbij is de kwadratuur van een regelmatige 12-hoek.

Het is een leuke oefening van goniometrie
om aan te tonen dat de oppervlakte van een regelmatige 12-hoek
die ingeschreven is in een cirkel met straal r gelijk is aan 3r².

Een tweede oefening bestaat er dan in aan te tonen
dat de lengte van de aangeduide diagonaal [AB] gelijk is aan √3 r.
Dat betekent dat deze diagonaal precies de zijde is van het gezochte vierkant
dat de kwadratuur van de 12-hoek oplost!

En dat men een 12-hoek in 6 stukken kan verdelen
waarmee dan een vierkant kan gevormd worden,
zie je op de onderstaande figuur.
Bron: http://demonstrations.wolfram.com

Om van te snoepen!

18-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE MET VUILNISZAKKEN

Hieronder staat niet zo eenvoudig wiskundig probleem met een creatieve oplossing.

In onze straat staan er langs de kant waar wij wonen 20 huizen.
Ik bemerk dat er voor elk huis minstens één vuilniszak staat en in totaal staan er 29 zakken.
Kan je aantonen dat er in elk geval bij deze 20 huizen
een aaneensluitende rij moet zijn waar er in totaal precies 10 vuilniszakken staan?



OPLOSSING IN BIJLAGE.

Bijlagen:
WISKUNDE MET VUILNISZAKKEN - oplossing.pdf (50.5 KB)   

Op 21 juli 2013 wordt Filip (ou Philippe pour les Wallons) de zevende koning der Belgen.
Tijd om even te spelen met het volmaakte cijfer 6.

Kan je zelf de ontbrekende som vinden (6 vormen met 3 keer het cijfer 6)?

We maakten hierbij enkele keren gebruik van het faculteitsteken (!).
Dit wiskundig symbool werd in 1808 ingevoerd door de Franse wiskundige Christian Kramp.

Per definitie is voor elk natuurlijk getal n het getal n! (lees: n-faculteit) gelijk aan
het product van de getallen van 1 tot en met n:
n! = n.(n – 1).(n – 2). ... . 2.1.
Zo is bijvoorbeeld 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Men stelt per definitie 0! = 1. Hiervoor is er uiteraard een verklaring.
Het aantal manieren om een groep van k personen te kiezen uit een groep van n is



Voor k = n  is er 1 selectie mogelijk, nl. de gehele groep kiezen!
Dan staat er in de noemer van de formule n!(n – n)! = n!0! = n! (want 0! = 1)
wat precies gelijk is aan de teller.

En ken je deze zes bij naam?

16-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE CIRKEL VAN CARLYLE

Thomas Carlyle (1795 - 1881) bracht op een creatieve manier
een cirkel in verband met de oplossingen van een willekeurige vierkantsvergelijking.

Stel dat x₁ en x₂ de twee reële oplossingen zijn ax² + bx + c = 0.
We noemen s de som en p het product van de oplossingen: s = x₁+ x₂  en p = x₁. x₂ .
In het vierde jaar van het middelbaar onderwijs leert men dan
dat x₁ en x₂ meteen ook de oplossingen zijn van de vergelijking x² –  sx + p = 0.

Carlyle ontdekte dat de cirkel die in een rechthoekig assenstelsel
als middellijn [AB] heeft met A(0,1) en B(s,p)
de x-as snijdt in de punten met als abscis x₁ en x₂.

Op het onderstaande voorbeeld is s = 6 en p = 8.

Kan je aantonen dat de cirkel van Carlyle (in het algemeen) de volgende vergelijking heeft:
 x(x – s) + (y – 1)(y – p) = 0 ?

15-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Ziehier een mooi meetkundevraagstukje
dat je met behulp van de stelling van Pythagoras
heel eenvoudig kunt oplossen.

In een cirkel met middelpunt M en straal r
is een regelmatige twaalfhoek ingeschreven.
P is een willekeurig punt op de cirkelomtrek.
Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden
van P tot de 12 hoekpunten constant is (d.w.z. onafhankelijk van de ligging van P).

Tip.
Verbind P met twee overstaande hoekpunten (bijvoorbeeld A en G)
en pas dan de stelling van Pythagoras toe.

15-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het Liber Abaci van Leonardo van Pisa (beter bekend onder de naam Fibonacci)
is wellicht één van de meest invloedrijke wiskundeboeken die ooit werden gepubliceerd.
Het verscheen voor het eerst in 1202 en toonde het nut aan van het rekenen
in het decimaal talstelsel met de Arabische cijfers.

Laten we niet vergeten dat onder invloed van dit boek iedereen nu direct snapt
dat het getal 423 in het decimaal talselsel gelijk is als 4 x 10² + 2 x 10¹ + 3 x 10⁰.
In het vijftallig talstelsel zou 423 dan gelijk zijn aan
4 x 5² + 2 x 5¹ + 3 x 5⁰ of dus (decimaal) aan 108.

EEN EIGENSCHAP DIE GELDIG IS IN ELK TALSTELSEL

15-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

AUTOBIOGRAFISCHE GETALLEN

Dit kan een leuke IQ-vraag zijn: wat hebben de volgende getallen gemeen?

1210
2020
21200
3211000
42101000
521001000
6210001000

ANTWOORD.
Het zijn de enige getallen (in het decimaal talstelsel)
die zichzelf op de volgende manier omschrijven:
het eerste cijfer geeft aan hoeveel nullen er in het getal voorkomen,
het tweede cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 1 in het getal voorkomt,
het derde cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 2 in het getal voorkomt,
enzovoort.

Dergelijke getallen noemt men daarom autobiografisch.



Een vraagje dat hierop lijkt, duikt op in heel veel wiskundehandboeken in het hoofdstuk over rijen.
Vind de zesde term in deze rij: 0, 10, 1 011, 1 031, 102 113, ?

Tip. Het eerste getal lees je als één nul.

15-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens