In de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade dook in 1996 de volgende vraag op:

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Wie een beetje vertrouwd is met grafen en netwerken, weet dat het juiste antwoord op deze vraag D is.
Men moet er blijkbaar voor zorgen dat er in de tussenpunten hoeken van 120° ontstaan.
In de bijlage lossen we het probleem op de klassieke manier op met behulp van afgeleiden.

Voor drie punten wordt het antwoord gevonden door het zogenaamde punt van Torricelli te bepalen.
Hierover vind je elders op mijn blog meer informatie (typ als zoekopdracht 'Torricelli' in).

Voor n punten werd het probleem op een wiskundige manier aangepakt door de Zwitser Jakob Steiner (1796 - 1863).
Men heeft echter ontdekt dat men dat even goed (en soms sneller) kan door gebruik te maken van zeepvliezen.
De tweede bijlage bij deze rubriek is van de hand van collega Stijn Symens en verduidelijkt hoe men dat doet.

Het oplossen van dergelijke problemen heeft uiteraard ook zijn praktisch nut.
Hoe kan men bijvoorbeeld op de meest efficiënte manier 29 Amerikaanse steden (via kabels) met elkaar verbinden?
Op de onderstaande kaart staat een dergelijk kabelnetwerk afgebeeld. Dit werd met heel krachtige computers bepaald.
Bron: The Shortest-Network Problem, M. W. Bern & R. L. Graham, Scientific American, januari 1989. 

Bijlagen:
EEN NETWERK MET DE KORTSTE LENGTE.pdf (164.9 KB)   
Extremumproblemen met zeepvliezen (Stijn Symens).pdf (6.5 MB)   

Deze morgen kon ik bij een geurige kop koffie van de bovenstaande cartoon genieten in Het Nieuwsblad.

Meteen dacht ik terug aan onze wiskundeleraar die ons met heel veel enthousiasme in het eerste jaar van de middelbare school
het algoritme van Euclides aanleerde om de grootste gemene deler van twee (natuurlijke) getallen te bepalen.
Over wat we hiermee in de rest van ons leven zouden kunnen aanvangen, stelden we ons geen vragen.
Aan het plezier van de 'zuivere wiskunde'  hadden we al genoeg!

In Stelling VII,2 in de Elementen van Euclides vinden we dit algoritme terug.
Het is erop gebaseerd dat de grootste gemene deler (ggd) van twee natuurlijke getallen
ook de ggd is van het kleinste getal en de rest die men bekomt bij deling van het grootste door het kleinste.
Zo is de ggd van 525 en 400 ook de ggd van 400 en 125 (want 525 : 400 geeft als quotiënt 1 en als rest 125).
We herhalen dit algoritme: de ggd van 400 en 125 is gelijk aan de ggd van 125 en 25 (want 400 : 125 geeft als quotiënt 3 en rest 25).
We vinden tenslotte dat de ggd van 125 en 25 gelijk is aan 25.
Besluit: de ggd van 525 en 400 is 25.

Schematisch kan men dit algoritme als volgt voorstellen:

Nu blijkt dit algoritme een belangrijke rol te spelen in het zogenaamde RSA-algoritme in de cryptografie,
dat o.a. wordt gebruikt om elektronisch geldverkeer op een veilige manier te laten verlopen.
Het is ook nuttig om zogenaamde Diofantische vergelijkingen op te lossen.
Dit zijn vergelijkingen met gehele coëfficiënten, waarbij men zoekt naar gehele oplossingen. 
Via het algoritme van Euclides vindt men bv. als oplossing van 525x + 400y = 25 dat x = -3 en y = 4.
In het algemeen kan men via dit algoritme aantonen dat er gehele oplossingen x en y bestaan
voor elke vergelijking van de vorm ax + by = c, waarbij c de ggd is van a en b.

De term Diofantische vergelijkingen verwijst dan weer naar Diophantos van Alexandrië, die leefde rond 250 n. Chr.
en vooral bekend is door zijn boek Arithmetica over vergelijkingen.
We weten weinig over deze Griekse wiskundige. Metrodorus schreef in de 6de eeuw een raadselboek bijeen
waarin we het volgende beroemde vraagstukje vinden over de leeftijd van Diophantos:

" Diophantos' jeugd duurde een zesde van zijn leven.
Dan begon zijn baard gedurende een twaalfde van zijn leven te groeien.
Hij huwde een zevende van zijn leven later.
Zijn zoon werd vijf jaar daarna geboren en leefde de helft van Diophantos' leeftijd.
Diophantos stierf vier jaar na zijn zoon. Hoe oud was Diophantos als hij overleed?"

Kan jij dit raadsel oplossen?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Diophantos.pdf (112.5 KB)   

PRIEMGETALLEN ZIJN RARE BEESTJES



In de verzameling van de natuurlijke getallen kruipen priemgetallen schijnbaar ongeordend als vreemde beestjes in het rond.

Dat priemgetallen fundamentele bouwstenen zijn van de getallenleer wisten de oude Grieken al.
In de wiskundeles leerden we dat elk natuurlijk getal (groter dan 1)
ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen.

Hieronder vermelden we vijf merkwaardige vondsten over priemgetallen.

RARITEIT 1.
Als p een priemgetal is, dan is het product 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (p-1) vermeerderd met 1 deelbaar door p. 
Zo is bijvoorbeeld voor p = 5 het getal 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25 deelbaar door 5 en voor p = 7 is 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 721 duidelijk deelbaar door 7.
Dit is de stelling van Wilson, genoemd naar de student John Wilson die ze in 1770 vermeldde.
De stelling werd pas in 1773 door Lagrange bewezen.

RARITEIT 2.

Dat 17, 13 en 7  priemgetallen zijn, is geen toeval.

Stel dat een cicadensoort een cyclus van twaalf jaar heeft.
Deze beestjes hebben dan te vrezen van hordes natuurlijke vijanden, nl. de dieren die elk jaar uitzwermen,

maar ook dieren met cycli van 2, 3, 4, 6 of 12 jaar kunnen hun cycli zo afstemmen
dat zij die cicaden met een cyclus van twaalf jaar zullen tegenkomen. 
Bron: www.kennislink.nl .

RARITEIT 3.
Euclides had al bewezen dat er geen grootste priemgetal bestaat, m.a.w. dat er oneindig veel priemgetallen bestaan.
Rond 1800 vermoedden Legendre en Gauss dat het aantal priemgetallen kleiner dan n, wat we aanduiden met π(n),
ongeveer gelijk is aan n gedeeld door ln n (hierbij is ln de functie die de natuurlijke logaritmen aanduidt).
In formulevorm betekent dit :

Deze stelling werd in 1896 onafhankelijk door de Fransman Jacques Hadamard en de Belgische wiskundige Charles-Jean de la Vallée Poussin bewezen.

RARITEIT 4.
Twee opeenvolgende oneven getallen die beide priemgetallen zijn, noemt met een priemtweeling.
Voorbeelden: 5 en 7, 17 en 19, 101 en 103.
Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan, maar dat heeft men nog niet kunnen bewijzen.
Priemtweelingen inspireerden Paolo Giordano voor het schrijven van zijn bestseller De eenzaamheid van de priemgetallen.

RARITEIT 5.
Het Ishangobeentje is wellicht 20 000 jaar oud en is hiermee de oudste gekende vondst die verband houdt met wiskunde.
Het beentje is ongeveer 10 cm lang werd in 1960 gevonden door de Belg Jean de Heinzelin nabij Ishango in Belgisch Congo
en wordt bewaard in het Museum voor Natuurwetenschappen (Elsene).
Het beentje bevat een aantal inkervingen waaruit een zekere regelmaat naar voor komt.
Men weet niet waartoe het beentje diende. Was het een maankalender of een rekentabel?

In elk geval is het verwonderlijk dat een aantal van die inkervingen priemgetallen voorstellen (11 + 13 + 17 + 19 = 60).
Toeval?

 

21-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

1 miljard = 1 000 000 000
Heb je er wel een idee van hoeveel één miljard is?

Stel dat er per seconde één euro zou bijkomen in de Belgische staatskas.
Hoe lang zal het dan duren vooraleer er 1 miljard zou bijgekomen zijn?

Voor een wiskundige is dit een mooie uitdaging voor schattend rekenen.
In een uur zijn er 3 600 seconden en in een dag zijn er 24 uren.
3 600 x 24 is iets minder dan 3 600 x 25 = (3 600 : 4) x 100 = 90 000.
In een jaar zijn er 365 of 366 dagen. We nemen afgeronde getallen:  300 x 100 000 = 30 000 000.
1 miljard gedeeld door 30 miljoen geeft iets meer dan 30.

Via exact rekenwerk (neem even een rekentoestelletje erbij) vind je
dat het meer dan 31 jaar zou duren
vooraleer Elio Di Ripo het gezochte bedrag
van één miljard in de staatskas zal aantreffen ...

20-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens