ENTHOUSIAST VOOR WISKUNDE

Misschien breng je jouw leerlingen wat enthousiasme bij voor het vak wiskunde via enkele eenvoudige rekentrucs.
Hieronder staan er twee vermeld.
Bron: Eugene P. Northrop, Riddles in Mathematics, Penguin Books, 1944.

REKENTRUC 1
Doel: iemands leeftijd en geboortemaand raden.

Vraag iemand de volgende bewerkingen uit te voeren:
1) verdubbel jouw leeftijd
2) verhoog het resultaat met 5
3) vermenigvuldig de uitkomst met 50
4) tel hierbij het getal (van 1 tot 12) dat overeenkomt met jouw geboortemaand
5) trek hiervan 365 af (het aantal dagen van een jaar dat geen schrikkeljaar is)
6) geef me het eindresultaat.

Als je bij dit eindresultaat 115 optelt, bekom je een getal van 4 cijfers.
De eerste twee geven de leeftijd en de laatste twee geven de geboortemaand.
Weet je ook waarom dit klopt?



REKENTRUC 2
Doel: het aantal gegooide ogen raden van drie opeenvolgende worpen met een dobbelsteen.

Laat iemand 3 keer na elkaar gooien met een dobbelsteen.
Vraag om telkens het aantal gegooide ogen te noteren.
Laat de volgende bewerkingen uitvoeren:
1) verdubbel het aantal ogen van de eerste worp
2) tel hierbij 5 op
3) vermenigvuldig de uitkomst met 5
4) tel hierbij het aantal ogen op van de tweede worp
5) vermenigvuldig de uitkomst met 10
6) tel hierbij het aantal ogen van de derde worp
7) geef me de einduitkomst.

Trek hiervan 250 af en je bekomt een getal van 3 cijfers.
Deze cijfers geven precies het aantal ogen van elke worp!.
Kan je dit ook verklaren?

12-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hippocrates van Chios

Op de Dag van de Wiskunde (19 november 2011) aan de Kulak in Kortrijk 
gaven Riggy Van de Wiele en Jef De Langhe een erg gewaardeerde uiteenzetting
over de geschiedenis van de wiskunde aan de hand van GeoGebra. Je vindt de volledige tekst in bijlage.
In deze tekst staan ook de bewijzen van enkele merkwaardige stellingen
uit de vlakke meetkunde die je hieronder op mijn blog terugvindt.

In hun exposé hadden ze het ook over de kwadratuur van de cirkel.
In een poging om dit probleem op te lossen slaagde Hippocrates van Chios (470 - 410 v. Chr.) er in
te bewijzen dat de som van de oppervlakten van de twee gele maantjes
op de onderstaande figuur gelijk is aan de oppervlakte van de rode rechthoekige driehoek ABC.
Het kort bewijs maakt gebruik van de stelling van Pythagoras en staat onder de figuur vermeld.

 Als je dit bewijs gesnapt hebt, dan dagen we je uit de onderstaande meerkeuzevraag

uit de JWO-competitie van 2008 op te lossen.

Voor wie er niet direct aan uit geraakt, hebben we de oplossing in bijlage gestopt.

Bijlagen:
oplossing JWO-vraag maantjes van Hippocrates.pdf (154.5 KB)   
WW5 Geschiedenis van de wiskunde met geoGebra.pdf (3 MB)   

Hippocrates van Chios was een Griekse wiskundige die leefde rond 430 v. Chr.
Hij schreef een invloedrijk werk Stoicheia over meetkunde
en het is vrijwel zeker dat Euclides zich hierop baseerde voor zijn eigen meetkundeboeken (Elementen).

Op de onderstaande figuur staat een opgave die een variatie geeft 
op de eigenschap van de maantjes van Hippocrates.

Vanuit het hoekpunt A van een rechthoekige driehoek ABC
laat men de loodlijn neer op de zijde [AB].
H is het voetpunt van deze loodlijn.
Met de middens van de zijden [AB], [AC], [BC], [AH], [BH] en [CH]
tekent men vijf cirkels zoals op de figuur.
Toon aan dat de som van de oppervlakten van de vier maantjes A₁ + A₂ + A₃ + A₄
gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC.

Hint.  A₁ + A₃ = opp. Δ ABH .

Lukt het?

10-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De Engelse wiskundige John Wallis (1616-1703) gebruikte in zijn werk Arithmetica infinitorum (1656)
voor het eerst het symbool ∞ voor oneindigheid.

Dit symbool heeft de vorm van een lemniscaat (Grieks: λημνίσκος, band, lint). 
 Deze wiskundige kromme werd beschreven doorvoorgesteld door Jakob Bernoulli
 in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694)
en wordt daarom ook de lemniscaat van Bernoulli genoemd.

Zoals je op de bovenstaande figuur kunt zien
bestaat er een mooie constructiemethode (bijvoorbeeld met GeoGebra) voor deze kromme.
Vertrek van twee cirkels met als middelpunt (2,0) en (-2,0) met als straal 2√2.
Deze cirkels gaan dan ook door (0,2) en (0,-2).
Neem daarna een variabel punt op beide cirkels
zodat het lijnstuk dat die twee punten verbindt de constante lengte 4 heeft.
De meetkundige plaats van het midden van dat lijnstuk zal dan de lemniscaat bepalen.



De lemniscaat van Bernouilli is ook de meetkundige plaats van de punten P
waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste,
vooraf bepaalde punten F₁ = (-a,0) en F₂ = (a,0) gelijk is aan a²:

10-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Eeuwen geleden reeds waren de Griekse wiskundigen
en de volgelingen van Pythagoras in het bijzonder
in de ban van de gehele getallen.

 Zo onderzochten ze de eigenschappen van de zogenaamde veelhoeksgetallen (figuurlijke of figuratieve getallen).
De bekendste soorten zijn de driehoeksgetallen en de vierhoeksgetallen (kwadraten).
Hieronder staan naast deze twee soorten ook de vijf- en zeshoeksgetallen afgebeeld.
Uiteraard is er van elke soort een oneindig doorlopende rij getallen.

Maar wist je dat er een algemene formule bestaat voor het n-de p-hoeksgetal G(n,p)?

06-05-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens