Een wiskundige formule voor geluk: de werkelijkheid gedeeld door verwachtingen.

Wiskundige formules hebben vaak een magische uitstraling althans voor wie ze begrijpt.

Hieronder stel ik een zelfbedachte formule voor, die ik om diverse redenen merkwaardig vind:
ze bevat de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking.
De getallen 0, 1, π, e en i komen erin voor.
De wiskundige functies sin en ln (sinus en logarithmus naturalis) worden toegepast.
Beide functies verwijzen nog naar de tijd dat het Latijn de taal van de wetenschappers was.
Het getal 666 (het bijbelse getal van het beest) duikt hierin op.
Over de merkwaardige eigenschappen van dit getal
lees je meer op mijn blog via de zoekopdracht getallen in de bijbel.

Om een duistere reden kan je de geldigheid van deze formule
niet controleren met een grafisch rekentoestel zoals de TI-84.
Met de TI-Nspire en door gewoon een beetje na te denken lukt het dan weer wel!

    

En ken je deze formule om het volume van een pizza te berekenen?

09-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

RECHTHOEK, DRIEHOEK en PHI

In de onderstaande opgave komt het getal φ (gulden snede) op een verrassende manier te voorschijn.

In een rechthoek ABCD wordt de driehoek BFE getekend waarbij E op [AD] ligt  en F op [CD]
en zo dat ΔABE, ΔBCF en ΔFDE dezelfde oppervlakte hebben.
Als |CF| = a en |FD| = b, toon dan aan dat b/a = φ.

Stappenplan.

1. Toon aan dat uit het gegeven en met de notaties op de figuur geldt dat
(a + b)d = a(c + d) = bc.
2. Toon aan dat dit de volgende twee vergelijkingen oplevert:
bd = ac  en bc = a(c + d).
3. Substitueer c = bd/a in de tweede vergelijking en toon aan dat
b² = ab + a².
4. Maak hiervan een vierkantsvergelijking in b/a en los op.

Merk op: dan is ook c/d = φ.



Collega Marco Swaen uit Amsterdam
bezorgde onlangs een originele oplossing (in bijlage).

Bijlagen:
Bewijs van Marco.pdf (82 KB)   

'GRIEKSE' ONEINDIGE SOM

Hieronder zie je twee 'bewijzen zonder woorden' voor de formule die onder de figuren staat vermeld.
Een 'Griekse manier' van bewijzen.
WISKUNDE ZIE JE!

GEZIEN?

03-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE FIBONACCIDRIEHOEK

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
De beroemde rij van Fibonacci komt op een verrassende manier te voorschijn
in de zogenaamde Fibonaccidriehoek die hieronder staat afgebeeld.

Het rooster bestaat uit gelijkzijdige driehoekjes waarvan de zijden lengte 1 hebben.

De lengte van de zijden van de gele ruiten zijn de opeenvolgende getallen uit de rij van Fiboancci.
Bij elk gelijkbenig trapezium (in het rood op de linkse figuur) zijn de lengtes van de kleine basis,
van de twee opstaande zijden en van de grote basis drie opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.

             
       

Elk gelijkbenig trapezium is de som van een parallellogram en een gelijkzijdige driehoek.
Men ziet direct dat de lengte van de grote basis van elk trapezium
de som is van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en bijgevolg zelf een Fibonaccigetal is.

f_n + f_n+1 = f_n+2 .
 

Bron: http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci_Triangle/Fibonacci_Triangle.htm

                                      

03-06-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens