Je kent ongetwijfeld de figuren die men bekomt door koordjes te spannen rond nageltjes die op geregelde afstanden op een plankje zijn aangebracht.
Het gaat hier om string art, een techniek uitgevonden op het einde van de 19de eeuw door Mary Everest Boole, een Engelse wiskundige en vrouw van George Boole die we kennen van de boole-algebra. Mary gebruikte deze techniek van curve stitching (borduren van krommen) om kinderen al op jonge leeftijd spelenderwijs de wiskunde te laten ontdekken.
In een workshop op het voorbije T3-symposium in Oostende liet collega Didier Deses ons deze techniek ontdekken via een programma voor de grafische rekenmachine TI-84 Plus Color.
Het resultaat zie je hieronder en het bijhorende programma zit in bijlage.
In dat programma zijn de rode stippen de nageltjes en de draden hebben een blauwe kleur.
Zoals ik al eerder vermeldde op mijn blog is de cardioïde of hartlijn mijn favoriete kromme.
De cardioïde is blijkbaar een zogenaamde kaustiek of kaustische kromme. De naam is afgeleid van het Griekse woord voor 'branden' en de term verwijst naar het feit dat de kromme ontstaat door reflectie of breking van het licht. Men kan dus spreken van een brandkromme, naar analogie van het brandpunt bij een parabool.
Wanneer de kromme ontstaat door reflectie van het licht op een vlak oppervlak spreekt men van een katakaustiek en wanneer dit gebeurt door breking van het licht gebruikt men de term diakaustiek. De lichtstralen zijn dus raaklijnen aan de gevormde kromme, die dan zelf de omhullende is van die verzameling rechten.
Hieronder zie je hoe een cardioïde zichtbaar wordt op de bodem van een pan en met een beetje geluk zie je die 's morgens ooit eens in jouw kop koffie opduiken!
Vlaamse leerkrachten wijzen onderwijshervorming massaal af
Bron: Knack - woensdag 21 augustus 2013
Top 10 problemen in het onderwijs volgens leerkrachten
Knack ondervroeg 1004 leerkrachten over de problemen van het Vlaamse onderwijs.
1. Te veel administratie 2. Hervormingszucht van de overheid 3. Toegenomen aantal leerlingen met zorgnoden 4. Beslissingen die gecontesteerd worden door ouders 5. Dalende waardering door de samenleving 6. Te beperkte middelen voor gebouwen en onderhoud 7. Te beperkte werkingsmiddelen 8. Gebrek aan inspraak bij de veranderingen 9. Toename van anderstalige kinderen 10. Te grote klassen
Top 10 problemen in het onderwijs volgens ouders
Knack ondervroeg 561 ouders over de problemen van het Vlaamse onderwijs.
1.Toename van anderstalige kinderen 2. Hervormingszucht van de overheid 3. Te grote klassen 4. Te beperkte werkingsmiddelen 5. Te beperkte middelen voor gebouwen en onderhoud 6. Toegenomen mondigheid van de leerlingen 7. Dalende kwaliteit van het onderwijs 8. Dalende waardering door de samenleving 9. Watervalsysteem 10. Dalende bereidheid van leerkrachten om het verschil te maken
Toon aan dat de som van de getallen op elke horizontale rij de derde macht is van een oneven getal.
UITVINDING 40
Deze elektrische machine had als doel automatisch postzegels te kleven op brieven. Voor heel wat bedienden in grote firma's was dit een vervelend werkje. De machine kon 220 brieven per minuut verwerken. Door één van de lampen te laten branden kon men de snelheid regelen.
Teken een vierkant ABCD waarvan de zijden lengte 5 hebben. Teken dan vier gelijke rechthoekige driehoeken (ΔABP, ΔBCR, ΔCDS en ΔDAQ) waarvan de zijden 3, 4 en 5 als lengte hebben zoals op de onderstaande figuur. Toon aan dat de punten P, Q, R en S op één rechte lijn liggen.
Op de bovenstaande afbeelding zie je een kubus van Rubik waarbij op elk zijvlak het gekende magisch vierkant met 3 x 3 vakjes staat afgebeeld. Dit zogenaamd Lo Shu vierkant heeft de magische eigenschap dat de som van de 3 getallen in elke rij, in elke kolom en op de twee diagonalen telkens 15 is.
We maken hiervan gebruik om een magische driehoek op te stellen waarbij Pythagorese drietallen verschijnen (positieve gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c²).
* Bekijk de getallen in de vakjes met dezelfde kleur. Zo is bv. 24² + 32² = 40² en 21² + 28² = 35². * Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij. Zo is bv. (24 + 3)² + (32 + 4)² = (40 + 5)² en (12 + 6)² + (16 + 8)² = (20 + 10)². * Bekijk twee getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom. Zo is bv. (24 + 9)² + (32 + 12)² = (40 + 15)² en (21 + 6)² + (28 + 8)² = (35 + 10)². * Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde rij. Zo is bv. (9 + 15 + 21)² + (12 + 20 + 28)² = (15 + 25 + 35)². * Bekijk de drie getallen in vakjes met dezelfde kleur uit eenzelfde kolom. Zo is bv.(18 + 21 + 6)² + (24 + 28 + 8)² = (30 + 35 + 10)². * Ga zelf eens na of dit ook geldt voor twee of drie getallen op een diagonaal.
* Tel tenslotte eens alle getallen samen in de drie vierkanten. Noem de sommen a en b (voor de twee kleine vierkanten) en c (voor het grote vierkant). Is a² + b² = c²?
Au petit matin devant un crème Nous pourrons parler de notre vie Laissons au tableau tous nos problèmes Mais oui, mais oui l´école est finie.
In 1963 - precies 50 jaar geleden - scoorde de piepjonge Franse zangeres Sheila een monsterhit met 'L'école est finie'. Luister je nog even mee...
Ondanks de tropische buitentemperatuur van 34°C schotelen we je toch een wiskundeprobleempje voor.
Je kan je verbazen over de eenvoud ervan. Maar zie je ook een oplossing?
ZOMERSE SANGAKU
ABCD is een willekeurige vierhoek en E, F, G en H zijn de middens van de vier zijden. Verbind A met F, B met G, C met H en D met E. De vierhoek wordt zo opgedeeld in 9 stukken. Toon aan dat de som van de vier 'groene' oppervlakten gelijk aan de 'rode' oppervlakte.
Op de bovenstaande figuur hebben we dit resultaat gecontroleerd met GeoGebra.
Schets van de oplossing. Benoem de 9 stukjes oppervlakte (a, b, c, ... , h, i). Verbind A met C. Waarom is opp. ΔABF + opp. ΔCDH gelijk aan opp. AFCH? Verbind B met D. Waarom is opp. ΔAED + opp. ΔBCG gelijk aan opp. EBGD? Combineer nu op de juiste manier deze resultaten.
Non scholae sed vitae discimus We leren niet voor school maar voor het leven Seneca
Ook voor Jan Becaus is het vandaag officieel de laatste werkdag. Laten we ervan genieten!
You and I can share the silence
Finding comfort together
The way old friends do
And after fights and words of violence
We make up with each other
The way old friends do
Times of joy and times of sorrow
We will always see it through
Oh I don't care what comes tomorrow
We can face it together
The way old friends do
Een echte vriend: iemand waarop je kunt rekenen dat hij steeds op jou rekent"
"Ware vrienden herkent men niet aan hun medelijden maar aan hun oprechte vreugde om een anders geluk"
"Vriendschap vermenigvuldigt ons geluk en deelt ons ongeluk"
"De enige manier om een vriend te hebben, is er een te zijn"
Boodschap in de wandelgangen van de Brugse DPB-dienst waar ik 11 gelukkige jaren als vakbegeleider en pedagogisch adviseur wiskunde mocht werken.
Wist je dat Pete Best aanvankelijk de drummer was van The Beatles? Hij trad samen met John Lennon, Paul McCartney en George Harrison op tot hij op vraag van producer George Martin zijn ontslag kreeg omdat deze niet tevreden was over Bests drumwerk op Love Me Do, de eerste single van The Beatles. Zo kan men in feite zeggen dat Ringo Starr (Richard Starkey) de vijfde Beatles was.
Meteen vond ik in dit feit inspiratie voor een rekenraadsel met 4 en met 5.
REKENRAADSEL MET 4 Kan je vier positieve gehele getallen vinden waarvan hun som gelijk is aan hun product?
Oplossing. 1 + 1 + a + b = ab is equivalent met (a 1)(b 1) = 3. Dan blijkt a = 4 en b = 2 een oplossing op te leveren: 1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4 = 8.
REKENRAADSEL MET 5 Kan je nu zelf vijf positieve gehele getallen vinden waarvan hun som gelijk is aan hun product?
Hopelijk blijft het geen geheim voor jou dat er hiervoor meer dan één oplossing is.
Geniet ondertussen nog even van een Beatlesong uit hun debuutalbum Please Please Me dat exact 50 jaar geleden werd uitgebracht.
We voegen hier graag nog een vraagstukje aan toe dat je met behulp van de stelling van Pythagoras kunt oplossen.
HET PROBLEEM VAN DE BIJ EN DE HONING
Een cilindervormige glazen bokaal heeft een omtrek van 60 cm. Langs de buitenkant zit een bij (B) op 10 cm van de bodem. Langs de binnenkant bevindt zicht recht boven de bij een druppel honing (H) op 10 cm van de bovenrand. Bepaal de kortste weg voor de bij om bij de honingdruppel te komen. Hoe lang is dat traject?
Oplossing in bijlage.
Een postzegel uit Suriname waarop de stelling van Pythagoras staat afgebeeld.
De reeksontwikkelingen van Taylor en Maclaurin (kende je ook hun voornaam?) behoren tot de merkwaardigste resultaten uit de wiskunde.
Zelf heb ik ze expliciet kunnen gebruiken in mijn doctoraatsthesis "Riemannse meetkunde van buisvormige omgevingen" (1981).
In feite zijn de reeksen van Maclaurin een bijzonder geval van de reeksen van Taylor. En het was ook James Gregory, bij wie Maclaurin als assistent werkte, die als eerste de zogenaamde Maclaurinreeksen voor de goniometrische functies op papier zette. Maclaurin was wel de eerste om ze te publiceren en daarom kregen ze ook zijn naam.
De onderstaande reeksontwikkeling behoort tot mijn persoonlijke favorieten omdat de coëfficiënten hierin precies de driehoeksgetallen zijn. De reeks convergeert voor -1 < x < 1.
In het volgende filmpje vind je inspiratie om zelf deze reeksontwikkeling op drie verschillende manieren op te stellen.
In de wiskundeboeken van het secundair onderwijs staat uitvoerig beschreven hoe je het zwaartepunt van een driehoek bepaalt maar over het zwaartepunt van een vierhoek vind je meestal geen informatie.
Het kan nochtans de aanleiding zijn voor een kleine onderzoeksopdracht. Hieronder vermelden we vijf werkwijzen. Bij de eerste methode kan je door de leerlingen een werkopdracht met behulp van GeoGebra laten uitvoeren. Je vindt een werkblad in bijlage.
METHODE 1
Bepaal het zwaartepunt Z1 van ΔBCD, Z2 van ΔACD, Z3 van ΔABD en Z4 van ΔABC. Bepaal het snijpunt Z van AZ1 en DZ4. Dit is het zwaartepunt van de vierhoek ABCD. Merk op dat de vier rechten AZ1, BZ2, CZ3 en DZ4 door het punt Z gaan.
METHODE 2
Op de onderstaande figuur zijn M en N zijn resp. de middens van de diagonalen [AC] en [BD]. Z is dan het midden van [MN].
METHODE 3
De punten E, F, G en H zijn de middens van de vier zijden van de vierhoek ABCD. Dan is Z het midden van [EG] en van [FH] (zie figuur bij methode 1).
METHODE 4
Via deze uitdrukking kan men het zwaartepunt construeren aan de hand van vectoren.
METHODE 5
Teken de vierhoek over op een stuk karton. Neem dan een naald en plaats die onder de vierhoek tot hij in evenwicht blijft. De punt van de naald bevindt zich dan op de plaats van het punt Z.
Wie heeft zich als docent nooit geërgerd aan dergelijke elementaire rekenfouten? Voor heel wat leerlingen is het rekenen met vierkantswortels blijkbaar een harde noot om te kraken.
Een leuk vraagje dat hierbij aansluit is het volgende: bestaan er strikt positieve gehele getallen a, b en c waarvoor √a + √b = √c ?
Antwoord. Zeker! Ziehier enkele voorbeelden, waarbij ik telkens een merkwaardige vaststelling vermeld: √3 + √12 = √27 en 3 x 12 = 36 = 62 √3 + √27 = √48 en 3 x 27 = 81 = 92 √5 + √20 = √45 en 5 x 20 = 100 = 102 √18 + √32 = √98 en 18 x 32 = 576 = 242. Blijkbaar is in het algemeen ab steeds het kwadraat van een natuurlijk getal. Weet je ook waarom?
Wist je dat er oneindig veel rechthoekige driehoeken bestaan waarvan de lengte van de drie zijden een geheel getal is en waarvan de lengte van de schuine zijde gelijk is aan de lengte van één van de rechthoekszijden vermeerderd met 1 ?
BEWIJS. We illustreren de bewijsmethode aan de hand van twee voorbeelden. We vertrekken steeds van het kwadraat van een oneven geheel getal en schrijven dit kwadraat als de som van twee opeenvolgende gehele getallen. Hoe het dan verder moet, zie je op de voorbeelden.
52 = 25 = 13 + 12 = (13 + 12)(13 12) = 132 122 en dus is 52 + 122 = 132
112 = 121 = 61 + 60 = (61 + 60)(61 60) = 612 602 en dus is 112 + 602 = 612.
Dat 60 een bijzonder getal is, wisten de Babyloniërs al. Ze rekenden in een talstelsel met basis 60. De reden hiervoor is wellicht dat 60 het kleinste getal is dat deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Bovendien is 60 het kleinste getal met 12 delers. Het feit dat 1 uur ingedeeld is in 60 minuten en 1 minuut in 60 seconden en dat we rekenen met zestigdelige graden hebben we hieraan te danken.
60 heeft echter ook iets speciaals te maken met priemgetallen.
60 is op 6 verschillende manieren de som van twee priemgetallen: 7 + 53 13 + 47 17 + 43 19 + 41 23 + 37 29 + 31 (een priemtweeling!).
60 = (11 + 13) + (17 + 19) dit is de som van 4 opeenvolgende priemgetallen en twee priemtweelingen.
60 is op 12 verschillende manieren het gemiddelde van twee priemgetallen: 7 en 113, 11 en 109, 13 en 107, 17 en 103, 19 en 101, 23 en 97, 31 en 89, 37 en 83, 41 en 79, 47 en 73, 53 en 67, 59 en 61 (een priemtweeling die 60 insluit).
Een 60 heeft ook iets te maken met Pythagorese drietallen: 29 + 31 = 60 1/29 + 1/31 = 60/899 en 60² + 899² = 901²
60 ligt tussen 59 en 61 1/59 + 1/61 = 120/3599 en 120² + 3599² = 3601².
De veralgemening van deze eigenschap kan je ontdekken in de bijlage.
En kan je door de cijfers 1, 9, 5 en 3 van mijn geboortejaar precies één keer te gebruiken en met behulp van de hoofdbewerkingen + en x het getal 60 vormen?
JACQUES TITS: een onderschatte Belgische wiskundige
Tits werd in 1930 in Ukkel geboren. Hij was een wereldautoriteit op het studiegebied van de groepentheorie. Hij doceerde o.a. aan de VUB en in 1974 nam hij het Franse burgerschap aan om te gaan doceren aan het prestigieuze Collège de France in Parijs.
In heel veel domeinen spelen groepen een belangrijke rol: studie van symmetrieën (kunst, kristallen, moleculen ...) studie van topologische ruimten, materiaalleer, differentiaalvergelijkingen (Lie-groepen), oplossen van vergelijkingen (Galoistheorie) ...
We vermelden hier twee eenvoudige groepen die in heel veel wiskundecursussen in het hoger onderwijs een vaste plaats gekregen hebben.
DE VIERGROEP VAN KLEIN
Op deze postzegels staat de Cayleytabel van de zogenaamde Vierergruppe (viergroep) van Klein afgebeeld. De groep is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein. Het is een commutatieve (abelse) groep met 4 elementen. Meer informatie op http://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein .
DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK
De symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek bevat 6 elementen: drie rotaties (over 0° of identieke transformatie, over 120° en over 240°) en drie spiegelingen (rond de drie zwaartelijnen). Deze groep is niet-commutatief. Hoe kan je dit opmaken uit de Cayleytabel?
Gasparo Pagani: een vergeten Belgische wiskundige.
Gasparo Pagani (1795 - 1855) was een Italiaanse politieke vluchteling en eminente wiskundige die professor was aan de universiteiten van Leuven en Luik.
Hij bedacht de triëder uit de differentiaalmeetkunde die nu in de literatuur genoemd wordt naar de Franse wiskundigen Jean Frenet en Joseph Serret. Pagani ligt begraven in het Oost-Vlaamse dorpje Woubrechtegem.
De triëder of het Frenet-Serret frame is een drietal vectoren dat in elk punt van een continue differentieerbare ruimtekromme gedefinieerd is en bestaat uit T: deeenheidsvector die raakt aan de kromme N: de normaal B: de binormaal.
De formules van Frenet-Serret (lees: van Pagani) leggen en verband tussen de afgeleide vectoren van T, N en B en deze vectoren zelf. Hierin duiken de kromming κ en de torsie τ van de kromme op:
In de Engelstalige bijlage vind je de afleiding van deze formules en de berekening voor een driedimensionale schroeflijn.
De vectoren T (blauw), N (rood) en B (zwart) bij een schroeflijn.
Vandaag 21 juli 2013 komt bij Academia Press (Gent) het nieuwe boek van Dirk Huylebrouck uit: België + wiskunde. Het boek toont aan dat het palmares van ons land op het gebied van de wiskunde dit van het damestennis of de damesatletiek overstijgt, zelfs toen Kim en Justine of Kim en Tia nog regeerden. Tot de top van de belangrijkste wiskundigen horen zowaar vier Belgen: Ingrid Daubechies, Pierre Deligne, Jean Bourgain en Jacques Tits! Het bekende beeldformaat JPEG werd bijvoorbeeld gecreëerd op basis van het werk van een Belgische, die de eerste vrouwelijke professor ooit was aan Princeton University en de eerste voorzitster van de International Mathematical Union: Ingrid Daubechies. Bovendien bevinden zich in België de oudste vondsten van de wiskunde, heet de landingsplaats van Neil Armstrong eigenlijk de Mare Belgicum, bestaat er een Belgische stelling en zowaar ook een Belgische wiskundige markies, Gasparo Pagani.
Als land van het
surrealisme vallen er ook enkele meer humoristische kanttekeningen te maken,
zoals over prins/koning Filip (die sprak over 1 miljard + 300 000 miljoen
Chinezen).
In elk geval kan men zich de vraag stellen of buitenlandse zendingen,
waar financiële experten, ingenieurs en investeerders de
hoogwaardigheidsbekleders vergezellen,
niet beter ook onze wiskundig prestaties als uithangbord zouden gebruiken.
Bij een wafel, praline of biertje hoort voortaan ook wiskunde, Belgische
wiskunde.
Miss België Noémie Happart, die ooit vierde werd in een wiskundeolympiade,
geeft alvast het goede voorbeeld op de cover van het boek.
Oplossing in bijlage
METHODE 1
De veralgemening van deze eigenschap kan je ontdekken in de bijlage.
