GELDRAADSELTJE 1

Jimmy haalde vijf opeenvolgende weken een bedrag uit zijn spaarvarken.

De eerste week haalde hij er de helft uit, dan een derde, dan een kwart,

dan een vierde, daarna het vijfde deel en tenslotte het zesde deel van het resterende bedrag.

Er zit nu nog 50 euro in het spaarvarken.

Hoeveel geld zat er oorspronkelijk in het spaarvarken van Jimmy?

OPLOSSING

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

GELDRAADSELTJE 2

Irma komt aan het loket en vraagt de bankbediende twee biljetten van 50 euro en een aantal biljetten van 10 euro.

De bankbediende is echter verstrooid en wisselt het aantal biljetten van beide soorten om.

Pas wanneer Irma thuis is, telt ze het bedrag na en ze blijkt dubbel zo veel gekregen te hebben dan ze vroeg.

Welk bedrag had Irma gevraagd?

OPLOSSING

Noem a het gevraagde aantal biljetten van 10 euro.

Uit 50a + 20 = 2(100 + 10a) volgt dat a = 6. Irma vroeg dus 160 euro.

25-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE MYSTERIEUZE RING

Beschouw twee concentrische cirkels, waarbij de kleinste cirkel als oppervlakte π  heeft.

Een koorde [AB] van de grote cirkel en een koorde [CD] van de kleine cirkel snijden elkaar loodrecht in D.

Stel |AD| = a, |BD| = b en |CD| = c.

Als a² + b² + c² = 6, dan is de oppervlakte van de ring tussen beide cirkels eveneens gelijk aan π .

Bewijs dit!

Merk op dat bij twee gegeven concentrische cirkels het getal a² + b² + c² constant is en dus niet afhangt van de ligging van het punt D.

Hoe bewijs je dit op? Even rustig nadenken of vlug de bijlage lezen!

Bijlagen:
DE MYSTERIEUZE RING OPGELOST.pdf (180.9 KB)   

DE VERSCHRIKKELIJKE SNEEUWMAN

De wiskundeleraar vraagt elk jaar rond deze tijd aan de leerlingen om een sneeuwman te tekenen die aan enkele voorwaarden voldoet.

De sneeuwman zelf bestaat uit drie aan elkaar rakende cirkels van toenemende grootte.

Ze moeten een gemeenschappelijke raaklijnen hebben en de afstanden tussen de raakpunten moeten gelijk zijn aan √2 en √8 (zie voorbeeld hieronder).

Een schrandere leerling merkte op dat de oppervlakte van de middelste cirkel dan gelijk is aan π.

Kan je dat bewijzen?

DE VERSCHRIKKELIJKE SNEEUWMAN

De wiskundeleraar vraagt elk jaar rond deze tijd aan de leerlingen om een sneeuwman te tekenen die aan enkele voorwaarden voldoet.

De sneeuwman zelf bestaat uit drie aan elkaar rakende cirkels van toenemende grootte.

Ze moeten een gemeenschappelijke raaklijnen hebben en de afstanden tussen de raakpunten moeten gelijk zijn aan √2 en √8 (zie voorbeeld hieronder).

Een schrandere leerling merkte op dat de oppervlakte van de middelste cirkel dan gelijk is aan π.

Kan je dat bewijzen?

Wie snel het hoofd verliest bij het rekenwerk kan beter direct de bijlage raadplegen!

Maar wellicht vind jij nog een eenvoudiger bewijs met behulp van gelijkvormige driehoeken?

Snowmen - Luc Janus

Bijlagen:
HET PROBLEEM VAN DE SNEEUWMAN OPGELOST.pdf (184.4 KB)   

EEN PI-KANT VIERKANT

Oplossing: zie bijlage

Bijlagen:
EEN PI-KANT VIERKANT OPGELOST.pdf (189.6 KB)   

West-Vlaamse student staat goed aangeschreven

Bron: Belga

©THINKSTOCK

De slaagcijfers van studenten uit West-Vlaanderen in het hoger onderwijs zijn beter dan die van studenten uit andere provincies.
Dat heeft de krant De Standaard onlangs bericht.
40 procent van hen slaagt erin zijn bachelor in de voorziene drie jaar af te ronden, gemiddeld is dat 34 procent.
De prestaties van de andere provincies liggen dichter bij dat gemiddelde.

Onderzoekers en waarnemers schrijven die verschillen onder meer toe aan een meer geïnformeerde studiekeuze.
Dat is ook af te lezen uit het feit dat West-Vlamingen in verhouding meer voor de hogeschool dan voor de universiteit kiezen.
Ook de vaststelling dat er meer discipline heerst in de klassen van het West-Vlaams secundair onderwijs wordt een verklaring genoemd.

High five!

**********************************************************************************************************

In een vroegere bijdrage op mijn blog kon je al lezen waarom de ingeschreven cirkel van een 3-4-5-driehoek

 (een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 3, 4 en 5 hebben) als oppervlakte π heeft.

Maar kan je nu ook verklaren waarom de drie aangeschreven cirkels in dat geval als oppervlakte 4π, 9π en 36π hebben?

De oplossing is wellicht niet zo voor de hand liggend, maar de bijlage zet je zeker op de goede weg!

Bijlagen:
FORMULE VOOR DE STRAAL VAN EEN AANGESCHREVEN CIRKEL.pdf (169.5 KB)   

NUM'ART

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

**************************************************************************************************

 1= xy

Hyperbolic - Luc Janus

De vergelijking xy = 1 stelt in de vlakke (Euclidische) meetkunde een hyperbool voor.

Wiskundigen bedachten echter ook andere soorten meetkunde.

De schijf van Poincaré (google-opdracht voor wie hier meer wil over weten)
geeft bijvoorbeeld aanleiding tot een hyperbolische meetkunde.

**************************************************************************************************

 Een eenbladige hyperboloïde is een regeloppervlak.

Dit is een oppervlak waarbij door elk punt minstens één rechte (beschrijvende) gaat die volledig op het oppervlak ligt.

Op de onderstaande animatie kan je dit duidelijk zien.

Collega Jos Leys maakte me attent op het onderstaande filmpje. 
Het toont een experimentele opstelling in het Science Museum in Valencia
waarbij een rechte staaf blijkbaar probleemloos door een kromme opening gaat.
Zie je direct het verband met de hyperboloïde?

*************************************************************************************************

En mocht je nog niet helemaal overtuigd zijn ...

20-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE MAANILLUSIE

Sedert de oudheid hebben wetenschappers zoals Archimedes, Ptolemaeus, Leonardo Da Vinci en Descartes geprobeerd
een verklaring te vinden voor het feit dat de maan schijnbaar veel groter is wanneer ze dicht bij de horizon staat.
Verschillende foto's ‘bewijzen’ het bestaan van zo een 'supermaan'.

Volgens een recente theorie zou de illusie kunnen verklaard worden via convergence micropsia.
Met deze Engelse term duiden wetenschappers aan dat onze hersenen ons wijs maken
dat wanneer de maan dicht bij de horizon staat, ze ver van ons af staat en vrij groot is.
Wanneer ze echter hoog aan de hemel staat, 'zien' onze hersenen ze kleiner omdat ze denken dat ze dichterbij staat.
De onderstaande figuur verduidelijkt dit:
de witte cirkeltjes stellen de maan voor zoals ze werkelijk is
en de zwarte cirkeltjes hoe onze hersenen ze 'zien'.

    

Het volgende Youtubefilmpje behandelt dit merkwaardig fenomeen, waarover het laatste woord nog niet gezegd is.

**************************************************************************************************

Kan je nu ook het onderstaande 'maantjesprobleem' oplossen?

Twee cirkels raken elkaar uitwendig in een punt E.

[AB] en [CD] zijn middellijnen van deze twee cirkels die loodrecht staan op de rechte door hun middelpunten.

Een derde cirkel met middelpunt M gaat door de punten A, B, C en D.

Toon aan dat de oppervlakte van  de twee 'groene maantjes' gelijk is aan de oppervlakte van de twee 'blauwe maandelen'.

Oplossing in bijlage!

Bijlagen:
OPLOSSING VAN HET MAANTJESPROBLEEM.pdf (184.9 KB)