19-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ORDE EN CHAOS

Chaos is het woord dat we bedacht hebben voor een orde die we niet begrijpen.
Henry Miller, Amerikaans schrijver

De beste manier om chaos te veroorzaken is alles te regelen.
Karel Boullart, Belgische filosoof

Elk denken is een poging om een weinig orde te brengen in de chaos die ons aanhoudend bedreigt.
Leopold Flam, Belgische filosoof

Wie de chaos beschrijft, stelt orde op zaken.
Bergman, Nederlands schrijver

Om de soms (schijnbaar) chaotische wereld om ons heen te beschrijven,
maken wiskundigen onder andere gebruik van tabellen, grafieken, diagrammen, formules en functies.

Hieronder staat een getijdentabel met de uren waarop er de komende dagen hoog- en laagwaterstand is Oostende.

Getijden		laagwater	hoogwater	laagwater	hoogwater
vrijdag 17 februari 2012		2:59	9:02	15:41	21:51
zaterdag 18 februari 2012		4:33	10:31	17:11	23:10
zondag 19 februari 2012		5:46	11:39	18:11	23:59

Wiskundig bekeken kan men deze waarden uitzetten op de grafiek van een sinusfunctie.

De vorm van de sinusfunctie hangt dan uiteraard af van de hoogste en laagste waarde van de waterstand en van de periode (ongeveer twee keer hoog- en laagwaterstand per dag).

Zo hebben grafieken en tabellen meteen ook vaak een voorspellende waarde.

Maar ja, hoever liggen orde en chaos soms uit elkaar?
Denk maar aan de extreme situatie waarin plots een tsunami kan opduiken ...

Het onderstaande filmpje van de Harvard University vormt een passende illustratie bij deze rubriek.

17-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Evangelista Torricelli was een Italiaans wis- en natuurkundige, die leefde van 1608 - 1647.
Hij was assistent van Galilei en volgde hem op als mathematicus van de groothertog van Toscane.
Het meest bekend is Torricelli omwille van de uitvinding van de barometer voor het meten van de luchtdruk.

In de wiskunde is een bijzonder punt in een willekeurige driehoek naar hem genoemd.
Het punt van Torricelli is het punt, waarvoor de som van de afstanden
tot de drie hoekpunten van de gegeven driehoek minimaal is.

De Franse wiskundige Fermat had dit probleem aan hem voorgelegd.
Torricelli wist dit probleem op een ingenieuze manier op te lossen.
Hij ontdekte meteen ook dat dit punt enkele merkwaardige eigenschappen had.

Hieronder zie je hoe het punt T van Torricelli wordt geconstrueerd.

Torricelli had zelf al ontdekt dat men vanuit T elk paar hoekpunten van driehoek ABC dan onder een hoek van 120° ziet.

Constructie van het punt van Fermat/Torricelli

Construeer drie gelijkzijdige driehoeken naar buiten toe op de drie zijden van de gegeven driehoek ABC.

Trek een lijn door elk nieuw hoekpunt van de gelijkzijdige driehoeken en het overstaande hoekpunt van driehoek ABC.

Het snijpunt van de drie lijnen is het punt van Torricelli.

Je leest alles over het punt van Torricelli in het bijgevoegde document
dat in het tijdschrift Pythagoras is verschenen.

Bijlagen:
Punt van Torricelli.pdf (268.8 KB)   

van het gebied tussen de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = 1/x en de x-as tussen x = 1 en x = a (met a > 1).

De functie met als voorschrift y = ln x heeft  een mooie wiskundige eigenschap.

Neem een willekeurig punt A op de grafiek van de functie met als voorschrift f(x) = ln x.
Teken in dat punt de raaklijn aan de grafiek.
Bepaal het snijpunt B van die raaklijn met de verticale y-as.
Bepaal ook de loodrechte projectie C van A op de y-as.
Dan is de afstand van B tot C constant (onafhankelijk van het gekozen punt A op de grafiek) en gelijk aan1.

15-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

  WISKUNDIGE LOGICA OP SINT-VALENTIJN



OPTELSOMMEN

14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

       Op de kalender kan je rekenen (zelfs op Valentijnsdag) ...

Bijlagen:
Kalendervraagjes.pdf (115.2 KB)   
Rekenen met een kalender.pdf (218.2 KB)   

HET MOOISTE MEISJE VAN DE KLAS

Het mooiste meisje van de klas

Verschikt onwennig bij haar schouder

Een bandje van haar bustehouder;

Ze draagt dat rare ding maar pas.

De meester, achter brillenglas

Ziet toe, ontroerd, en denkt: Wat zou d’r

Gebeuren als zij tien jaar ouder

En ik eens tien jaar jonger was?

Ach, hij vergeet hoe hij verdorde

En hoe haar leven net begint.

In stilte wordt door hem bemind

De schone vrouw, die zij zal worden.

Dan praat ze wat, het lieve kind

En streng roept hij haar tot de orde.

Driek van Wissen, docent Nederlands

14-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Soms botst men in de wiskunde op een verrassend eenvoudige eigenschap of stelling.
In zijn boekje "Mijn Mooiste Mathe ..." laat Leon van den Broek ons meegenieten met enkele van die pareltjes.

Dit is één ervan:

Om een gelijkzijdige driehoek ABC tekent men een rechthoek ADEF zoals op de figuur. 
Op die manier onstaan de rechthoekige driehoeken CFA, ADB en BEC.
Dan is opp. Δ CFA + opp. Δ ADB = opp. Δ BEC.




Voor wie vertrouwd is met goniometrie
is het bewijs hiervan (zie bijlage)
een leuke uitdaging.

In zijn boek geeft Leon een mooi 'bewijs zonder woorden'.

Bijlagen:
Verrassende driehoeken.pdf (183.2 KB)   

EI-RAADSEL

Een boer met een kleine boerderij heeft een paar kippen.

Vroeg in de ochtend pakt een mandje en verzamelt hij alle eieren die zijn kippen hebben gelegd
en gaat naar de markt om deze te verkopen.

Het is een gekke dag op de markt; de eerste klant komt bij de boer en vraagt:

"Ik wil de helft van alle eieren die je hebt en een half ei."
Zo gevraagd… zo verkocht. De klant is immers koning.

Na een paar minuten komt de tweede klant en vraagt vreemd genoeg hetzelfde: 
de helft van alle eieren die hij heeft en een half ei.
Opnieuw is dit geen probleem.

Nou gekker kan het niet worden, maar ook de derde en laatste klant vraagt hetzelfde als zijn twee voorgangers.
De boer heeft alle eieren verkocht en heeft geen ei kapot hoeven te maken.

Hoe kan dat en met hoeveel eieren ging de boer naar de markt?

Bron: www.rdzl.nl

Antwoord in bijlage!

Bijlagen:
EI-raadsel opgelost.pdf (62.7 KB)   

Een gekend rekenprobleempje (dat je niet door op je vingers te tellen kunt oplossen) is het volgende:

"Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken of een minteken tussen deze cijfers.
Reken de aldus bekomen som uit.
Kan je ervoor zorgen dat die som precies 100 is?"

Wij vonden de volgende oplossingen:
123 –  45 –  67 + 89 = 100
123 + 4 –  5 + 67 –  89 = 100
123 + 45 –  67 + 8 –  9 = 100
1 + 2 + 34 – 5 + 67 –  8 + 9 = 100
123 –  4 –  5 –  6 – 7 + 8 –  9 = 100.

Misschien vind jij nog wel een andere oplossing?

Bij de vragen van de voorbije eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade zat een gelijkaardig vraagje.
Kan jij het oplossen?

"Schrijf de cijfers van 1 tot en met 9 in stijgende volgorde achter elkaar
en schrijf op een aantal plaatsen een plusteken tussen deze cijfers. 
Reken vervolgens de aldus bekomen som uit. Bijvoorbeeld: 12 + 34 + 5 + 6 + 789 = 846.
Op hoeveel manieren kunnen de plustekens geplaatst worden zodanig dat de uitkomst 99 is?

(A) 0     (B)  1     (C)  2     (D)  3     (E) 4

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Het juiste antwoord vind je in de bijlage!

Bijlagen:
VWO-vraag 2012.pdf (47.5 KB)