Wie houdt van wiskundige spelletjes, houdt ongetwijfeld ook van het getal 21.

Wist je dat bij het spel BLOKUS elke speler 21 spelblokjes krijgt?



Bij het casinospel BLACKJACK is het de bedoeling dichter bij 21 te komen dan de bank.

Een dobbelsteen heeft 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ogen.



Er zijn 21 manieren om koorden te tekenen tussen 5 punten op een cirkel
zodat de koorden elkaar niet snijden.
Hierbij rekenen wiskundigen ook de 'triviale manier' (geen koorde tekenen).
Daarom is 21 een Motzkingetal.



21 komt voor in de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...
en in de rij van Padovan: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 .... 

We nodigen je tenslotte uit voor een wiskundige rekenspelletje.
Neem er alvast een rekenmachientje bij!

1. Kies een willekeurig geheel getal (voorbeeld 217)
2. Vermenigvuldig dit getal met 21 (217 x 21 = 4 557)
3. Laat het laatste cijfer van dit getal weg (je bekomt nu 455)
4. Vermenigvuldig het bekomen getal met 11 (455 x 11 = 5 005)
5. Trek hiervan het weggelaten cijfer (bij stap 3) af (5 005 - 7 = 4 998)
DE UITKOMST IS DAN ALTIJD DEELBAAR DOOR 21 (4998 : 21 = 238).

Droom je ook nog even weg
bij het Andante uit het pianoconcerto Nr. 21 van Wolfgang Amadeus Mozart
(muziek uit de film Elvira Madigan)?

08-07-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het plastisch getal, aangeduid met de Griekse letter ψ (psi),  hoort thuis in de verhoudingenleer binnen de architectuur,
die werd ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991).
Je kunt dit getal aanzien als het driedimensionale equivalent van het gulden getal φ (phi, het getal van de gulden snede).
 Het getal ψ voldoet aan de wiskundige vergelijking

 

Zoals het gulden getal de limiet is van de verhouding
van twee opeenvolgende termen in de rij van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8 ...),
zo is het plastisch getal de limiet van de verhouding
van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 ...).

Deze rij getallen P₀ , P₁, P₂, P₃ , P₄, ..., P_n, ...
is bepaald door P₀ = P₁ = P₂ = 1 en  P_n+3 = P_n + P_n+1.
Deze rij is genoemd naar de architect Richard Padovan.

Je kunt deze getallen beschouwen als de lengten van zijden van gelijkzijdige driehoeken
die zo een spiraal bepalen (zie onderstaande figuur).

Een balkvormige doos met lengte l, breedte b en hoogte h waarbij 
l : b = h : l = (b + l) : h
kan je volgens deze theorie beschouwen als 'de doos met de ideale afmetingen'
zoals blijkt uit het rekenwerk in de bijlage,
want dan is l = ψb en h = ψl = ψ²b.

De waarde  voor ψ (= 1,3247...) werd hier afgerond op 4/3
en de waarde voor ψ² (= 1,7548...) op 7/4.

 
Wiskunde verzacht de zomer

Bijlagen:
Het plastisch getal.pdf (445.6 KB)   

WISKUNDE EN FYSICA

Galileo Galilei verrichtte rond 1600 baanbrekend werk op het gebied van de kinematica.
Hij wilde weten hoe voorwerpen vallen.
Maar een steen of een metalen kogel valt zó snel dat je dit met het blote oog nauwelijks kunt volgen
en in die korte tijd zeker geen valtijd kunt opmeten.

Om die val te vertragen werkte hij met een soort valgeul, een licht hellend vlak waarin hij een ronde kogel omlaag liet rollen.
Hij bouwde een goot, ongeveer vier meter lang, die hij min of meer schuin kon zetten om die kogel te laten rollen.

Over die goot bracht hij kleine belletjes aan die rinkelden als ze een tik kregen van de voorbij rollende bal.
Hij verschoof die onderling tot het rinkelen heel regelmatig was: de bal deed er dan even veel tijd over om van elke bel tot de volgende te rollen.

Hij vond dat de opeenvolgende afstanden tussen de bellen veelvouden waren van de eerste afstand (die tussen bel 1 en bel 2 dus)
en wel zo dat ze zich verhielden als 3, 5, 7, 9 .. d.w.z. zoals de oneven getallen dus.
Dat bewees dat de bal, gemeten vanaf de oorsprong (bel 1), afstanden aflegden die waren zoals

1
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
enz...  dus zoals de kwadraten van de tijden.

Je kan een eigentijdse replica van de valgeul van Galilei zien op de site van
het museum voor de geschiedenis van de wetenschappen te Firenze.

   
De valgeul van Galilei  © Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze
Met dank aan Prof. Frans Cerulus, emeritus gewoon hoogleraar aan de KU Leuven.

Zo zie je maar dat het soms jaren duurt vooraleer belangrijke wetenschappelijke vondsten
die met behulp van wiskundige formules werden voorspeld ook daadwerkelijk experimenteel kunnen aangetoond worden.
En vandaag 4 juli 2012 is het weer zo ver. Het bestaan van het zogaamde higgsboson is bevestigd! 

De Belgische professoren François Englert en Robert Brout (Université Libre de Bruxelles)
hadden het bestaan ervan reeds in 1964 voorspeld.
Het deeltje werd echter vernoemd naar Peter Higgs, die enkele weken na Englert en Brout een soortgelijke theorie puliceerde.

Ongetwijfeld breekt voor de fysica nu een nieuw tijdperk aan. Lees meer hierover op http://nl.wikipedia.org/wiki/Higgs-boson.

Een foto die het CERN op 4 juli 2012 vrijgaf en die het bestaan van het Higgs-deeltje moet bewijzen.

Tijdens de botsing tussen twee protonen komt het ontdekte deeltje vrij,
maar valt dan onmiddellijk uiteen in twee fotonen of lichtkernen.

04-07-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 Plimpton 322 (Columbia University)

Deze Babylonische kleitablet van rond 1800 v. Chr. werd in 1921 in Irak gevonden 
en heeft het nummer 322 in de catalogus van George A. Plimpton,
die ze schonk aan de Columbia University.

De tablet bevat een aantal merkwaardige getallenreeksen in spijkerschrift.

Op lijn 5 staat bijvoorbeeld 1:05 en 1:37.
Omdat het hier om het zestigdelig talstelsel van de Babyloniërs gaat,
lezen we dit als 1 x 60 + 5 = 65  en 1 x 60 + 37 = 97.
Nu is 97² – 65² = 5184 en dat is zelf weer een kwadraatgetal, nl. 72².

Op lijn 3 staat 1:16:41 en 1:50:49.
Als we dit omzetten naar ons tiendelig talstelsel vinden we
1 x 60² + 16 x 60 + 41 = 4601 en 1 x 60² + 50 x 60 + 49 = 6649.
Nu is 6649² – 4601² = 23 040 000 = 4800².

Op de tablet staan dus blijkbaar kopppels natuurlijke getallen (c,a) zodat a² – c² = b²
waarbij b ook weer een natuurlijk getal is.
Drietallen natuurlijke getallen (b, c, a) met a² = b² + c²
noemt men Pythagoreïsche drietallen
omdat ze als lengten kunnen dienenvoor de drie zijden van een rechthoekige driehoek.

Dit is meteen het bewijs dat de Babyloniërs de stelling van Pythagoras kenden
lang voordat deze Griekse wiskundige leefde (rond 500 v. Chr.).



Formule voor Pythagoreïsche drietallen:
a = u² + v², b = 2uv, c = u² – v²
(met u en v twee positieve gehele getallen)
 dan is (u² –  v²)² + (2uv)² = (u² + v²)²

Meer details over de getallenreeksen op de Plimpton 322 vind je in de bijlage.

Bijlagen:
Plimpton 322.pdf (90 KB)   

Deze kromme kan men op verschillende manieren construeren:

(1) als een voetpuntskromme (door een vast punt op een cirkel loodrecht te projecteren op een veranderlijke raaklijn aan deze cirkel);

(2) als een bijzondere epicycloïde (waarbij men de baan volgt van een vast punt op een cirkel met straal a
die rolt zonder glijden over een vaste cirkel met dezelfde straal);

(3) als omhullende van een familie cirkels. Vertrek hiervoor van een cirkel met middelpunt O en kies een vast punt B op deze cirkel. 
Beschouw nu alle cirkels met middelpunt A op deze cirkels die door B gaan. De omhullende van deze familie cirkels is de cardioïde.

In de drie bijlagen vind je de technische uitwerking van de drie verschillende manieren om een cardioïde als een meetkundige plaats te bekomen.

We stellen hierbij diverse soorten vergelijkingen op van de cardioïde: parametervergelijkingen, poolvergelijking en cartesiaanse vergelijking.

Later op mijn blog verschijnen trouwens nog drie bijdragen over de cardioïde.

Bijlagen:
Cardioïde versie 1 (voetpuntskromme).pdf (238.5 KB)   
Cardioïde versie 2 (epicycloïde).pdf (203.6 KB)   
CARDIOÏDE versie 3 (omhullende).pdf (300.4 KB)