Lothar Collatz (1910-1990) was Duitse wiskundige
die een heel eenvoudig probleem de wereld instuurde,
dat tot op heden onopgelost is.

Dat probleem luidt als volgt:

Kies een willekeurig positief geheel getal. Als dit getal even is, deel je het door twee. Als het oneven is vermenigvuldig je het getal met drie en tel je er één bij.

Op die manier ontstaat een rij getallen. Collatz sprak het vermoeden uit dat deze rij altijd zal eindigen op 1.

Voorbeelden.
Met startwaarde 13 krijg je het volgende rijtje:  13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Met startwaarde 7 krijg je een iets langere rij: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Een dergelijk vermoeden in de wiskunde wordt een conjectuur genoemd.

Met het onderstaande programma kan je op jouw grafische rekenmachine (TI-83/84) nagaan dat de Collatz-rij steeds op 1 eindigt, onafhankelijk van het startgetal. De rij zelf kan je na het uitvoeren van het programma bekijken in lijst L₁.

PROGRAM:COLLATZ
:ClrHome
:ClrList L₁
:1→I
:Disp "GEEF GETAL: "
:Input G
:G→L₁(I)
:Repeat G=1
:I+1→I
:If int(G/2) = G/2
:Then
:G/2→G
:Disp G
:G→L₁(I)
:Else
:3G+1→G
:Disp G
:G→L₁(I)
:End
:End

Een andere beroemd onopgelost probleem is de Goldbach-conjectuur die stelt dat elk even natuurlijk getal groter dan 2 minstens op één manier kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.  

Zo is bijvoorbeeld
10 = 3 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59
...

Door gebruik te maken van computerprogramma's heeft men voor heel grote getallen de conjecturen van Collatz en van Goldbach gecontroleerd

en tot op heden heeft men in beide gevallen nog geen getal kunnen vinden waarvoor het vermoeden niet juist is.

Maar een algemeen bewijs voor de geldigheid van de vermoedens is nog niet gevonden.

Wie één van beide problemen oplost,
kan meteen voor de rest van zijn leven
op zijn lauweren rusten ...

26-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wat is het verband tussen Wernher Von Braun (ontwerper van de Duitse V2-raketten en vader van de ruimtevaart),
de Boeing 707, de Empire State Building, de Golden-Gatebrug en Einstein?

Antwoord: de rekenliniaal.

*********************************************************************************************************

Wie voor 1970 ingewikkeld rekenwerk moest uitvoeren,
waarin producten, quotiënten en wortelvormen moesten berekend worden,
deed dit meestal met een rekenliniaal.

Dit instrument mag je dus terecht als de voorloper van het rekentoestel beschouwen.

Vooral ingenieurs maakten fequent gebruik van een rekenliniaal en realisaties zoals de V2-raketten, de Boeing 707, de Golden-Gatebrug,

de Empire State building en zelfs transistorradio's zouden niet mogelijk geweest zonder het gebruik van een rekenliniaal.

Het is een gekend feit dat Einstein er vlot mee kon werken.

Een rekenliniaal bestaat in principe uit twee schuivende delen en het rekenen is gebaseerd op logaritmen, een uitvinding van de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617). 

Zo is bijvoorbeeld log a + log b = log ab, zodat men in feite twee getallen kan vermenigvuldigen door hun logaritme bij elkaar op te tellen.

Hieronder staat op een eenvoudig voorbeeld afgebeeld hoe men met een rekenliniaal kan aantonen dat 2 x 3 = 6 is.

Het was uiteraard wel de bedoeling  met een rekenliniaal ingewikkelder berekeningen dan 2 x 3 uit te voeren!

Op beide schuifdelen staan niet de getallen 1, 2, 3 ... afgebeeld, maar hun logaritmen. 
Het bovenste schuifdeel heeft men dus verschoven zodat log 1 (= 0) net boven log 3 komt.
Onder log 2 (op het bovenste schuifdeel) leest men dan precies log 6 af (op het onderste schuifdeel), want log 2 + log 3 = log 6.

Omdat dit instrument steunt op de eigenschappen van logaritmen, is het in feite niet direct geschikt
om sommen en verschillen van getallen te berekenen.

De vroegste versie van een rekenliniaal met schuivende delen is in 1621 uitgevonden door de Engelse wiskundige en priester William Oughtred.

Pas rond 1870 werd het toestel 'populair' toen het Franse leger het gebruikte om projectiebanen te berekenen
tijdens de oorlog die ze toen voerden tegen de Pruisen.

Meer hierover lees je o.a. op http://rekenlat.barneveld.com/rekenliniaal.htm .

Op http://www.sagmilling.com/tools/sliderule/ kan je zelf eens experimenteren met een rekenliniaal.

20-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens