Wie heeft zich als docent nooit geërgerd aan dergelijke elementaire rekenfouten?
Voor heel wat leerlingen is het rekenen met vierkantswortels blijkbaar een harde noot om te kraken.

Een leuk vraagje dat hierbij aansluit is het volgende:
bestaan er strikt positieve gehele getallen a, b en c waarvoor √a + √b = √c ?

Antwoord. Zeker!
Ziehier enkele voorbeelden, waarbij ik telkens een merkwaardige vaststelling vermeld:
√3 + √12 = √27  en  3 x 12 = 36 = 6²
√3 + √27 = √48 en 3 x 27 = 81 = 9²
√5 + √20 = √45 en 5 x 20 = 100 = 10²
√18 + √32 = √98 en 18 x 32 = 576 = 24².
Blijkbaar is in het algemeen ab steeds het kwadraat van een natuurlijk getal.
Weet je ook  waarom?

Bijlagen:
Bewijs eigenschap som vierkanstwortels.pdf (151.4 KB)   

Wist je dat er oneindig veel rechthoekige driehoeken bestaan
waarvan de lengte van de drie zijden een geheel getal is
en waarvan de lengte van de schuine zijde gelijk is
aan de lengte van één van de rechthoekszijden vermeerderd met 1 ?

BEWIJS.
We illustreren de bewijsmethode aan de hand van twee voorbeelden.
We vertrekken steeds van het kwadraat van een oneven geheel getal
en schrijven dit kwadraat als de som van twee opeenvolgende gehele getallen.
Hoe het dan verder moet, zie je op de voorbeelden.

5² = 25 = 13 + 12 = (13 + 12)(13 – 12) = 13² – 12²  en dus is 5² + 12² = 13²

11² = 121 = 61 + 60 = (61 + 60)(61 – 60) = 61² – 60² en dus is 11² + 60² = 61².

Algemeen is (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)².

Wie zelf nog op een originele manier enkele Pythagorese drietallen wil bepalen verwijzen we naar de bijlage; Doen!

Bijlagen:
Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

Dat 60 een bijzonder getal is, wisten de Babyloniërs al.
Ze rekenden in een talstelsel met basis 60.
De reden hiervoor is wellicht dat 60 het kleinste getal is dat deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
Bovendien is 60 het kleinste getal met 12 delers.
Het feit dat 1 uur ingedeeld is in 60 minuten en 1 minuut in 60 seconden
en dat we rekenen met zestigdelige graden hebben we hieraan te danken.

60 heeft echter ook iets speciaals te maken met priemgetallen.

60 is op 6 verschillende manieren de som van twee priemgetallen:
7 + 53
13 + 47
17 + 43
19 + 41
23 + 37
29 + 31 (een priemtweeling!).

60 = (11 + 13) + (17 + 19)
dit is de som van 4 opeenvolgende priemgetallen en twee priemtweelingen.

Een 60 heeft ook iets te maken met  Pythagorese drietallen:
29 + 31 = 60
1/29 + 1/31 = 60/899 en 60² + 899² = 901²

60 ligt tussen 59 en 61
1/59 + 1/61 = 120/3599 en 120² + 3599² = 3601².

  De veralgemening van deze eigenschap kan je ontdekken in de bijlage.



En kan je door de cijfers 1, 9, 5 en 3 van mijn geboortejaar precies één keer te gebruiken
en met behulp van de hoofdbewerkingen + en x het getal 60 vormen?

Bijlagen:
Bewijs eigenschap Pythagorese drietallen.pdf (154 KB)   

JACQUES TITS: een onderschatte Belgische wiskundige

Tits werd in 1930 in Ukkel geboren.
Hij was een wereldautoriteit op het studiegebied van de groepentheorie.
Hij doceerde o.a. aan de VUB en in 1974 nam hij het Franse burgerschap aan
om te gaan doceren aan het prestigieuze Collège de France in Parijs.

In heel veel domeinen spelen groepen een belangrijke rol:
studie van symmetrieën (kunst, kristallen, moleculen ...)
studie van topologische ruimten, materiaalleer,
differentiaalvergelijkingen (Lie-groepen),
oplossen van vergelijkingen (Galoistheorie) ...

We vermelden hier twee eenvoudige groepen
die in heel veel wiskundecursussen in het hoger onderwijs
een vaste plaats gekregen hebben.

DE VIERGROEP VAN KLEIN

Op deze postzegels staat de Cayleytabel
van de zogenaamde Vierergruppe (viergroep)  van Klein afgebeeld.
De groep is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein.
Het is een commutatieve (abelse) groep met 4 elementen.
Meer informatie op http://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein .

DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

De symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek bevat 6 elementen:
drie rotaties (over 0° of identieke transformatie, over 120° en over 240°)
en drie spiegelingen (rond de drie zwaartelijnen).
Deze groep is niet-commutatief.
Hoe kan je dit opmaken uit de Cayleytabel?

Zoek dat eens op!

23-07-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Gasparo Pagani: een vergeten Belgische wiskundige.

 Gasparo Pagani (1795 - 1855) was een Italiaanse politieke vluchteling
en eminente wiskundige die professor was aan de universiteiten van Leuven en Luik.

Hij bedacht de triëder uit de differentiaalmeetkunde die nu in de literatuur genoemd wordt
naar de Franse wiskundigen Jean Frenet en Joseph Serret.
Pagani ligt begraven in het Oost-Vlaamse dorpje Woubrechtegem.

De triëder of het Frenet-Serret frame is een drietal vectoren
dat in elk punt van een continue differentieerbare ruimtekromme gedefinieerd is en bestaat uit
T: de eenheidsvector die raakt aan de kromme
N:  de normaal 
B: de binormaal.



De formules van Frenet-Serret (lees: van Pagani)
leggen en verband tussen de afgeleide vectoren van T, N en B en deze vectoren zelf.
Hierin duiken de kromming κ en de torsie τ van de kromme op:

                                                                     

In de Engelstalige bijlage vind je de afleiding van deze formules
en de berekening voor een driedimensionale schroeflijn.

 

 De vectoren T (blauw), N (rood) en B (zwart) bij een schroeflijn.

Bijlagen:
Formules van Frenet-Serret voor een schroeflijn.pdf (61.2 KB)