'Bewijs' kent in onze samenleving verschillende betekenissen

1. Je kunt bewijzen dat je Belg bent door je paspoort te tonen (als je tenminste geen vals paspoort hebt).
2. In de rechtspraak is het bewijs die informatie die aantoont dat de verdachte datgene heeft gedaan waarvan hij beschuldigd wordt.
3. Een wetenschappelijk bewijs bestaat uit waarnemingen (na onderzoek) die een hypothese of theorie bevestigen of ontkrachten.
4. Een wiskundig bewijs bestaat uit het aantonen dat een bepaalde bewering (stelling) waar is, uitgaande van bepaalde axioma’s.

Als je in de wiskunde een vermoeden kunt bewijzen heb je een stelling.

Kijk maar naar de onderstaande voorbeelden.

Vermoeden: De formule n² + n + 41 levert voor elk positief geheel getal n een priemgetal.
Bewijs: n = 1 invullen levert het priemgetal 43, n = 2 invullen levert het priemgetal 47, n = 3 invullen levert het priemgetal 53 …
Maar bij n = 41 levert de formule het getal 1763 en dat getal is deelbaar door 41 en 43 en dus geen priemgetal.
Je hebt een tegenvoorbeeld gevonden en bijgevolg is het vermoeden niet waar.

Vermoeden (laatste stelling van Fermat):
De vergelijking xⁿ + yⁿ = zⁿ heeft geen gehele oplossingen voor x, y en z als n een geheel getal is groter dan 2.

Pierre de Fermat krabbelde rond 1630 in de kantlijn van een boek dat hij een eenvoudig bewijs had gevonden voor deze stelling,
maar dat er te weinig plaats was om het volledig bewijs neer te schrijven.
Fermat overleed echter kort daarop en eeuwenlang zochten wiskundigen naar een sluitend bewijs
(of een tegenvoorbeeld om aan te tonen dat de stelling niet geldig is).
Pas in 1994 slaagde Andrew Wiles er in via geavanceerde wiskundige technieken dit vermeoden te bewijzen.
We mogen dus terecht spreken van de laatste stelling van Fermat.

Vermoeden (van Goldbach): Elk even getal groter dan 2 is op minstens één manier te schrijven als de som van twee priemgetallen.
Tot op vandaag is niemand erin geslaagd dit vermoeden te bewijzen en met computers vindt men ook geen tegenvoorbeeld.

Vermoeden: De som van de hoeken van een driehoek (d.w.z. van elke driehoek) is 180°.

Een klassiek bewijs bestaat er in door het hoekpunt A een rechte te tekenen die evenwijdig is met BC.
Door gebruik te maken van het feit dat verwisselende binnenhoeken gelijk zijn
en het feit dat de drie aangeduide hoeken in A samen een gestrekte hoek vormen,
volgt hieruit dat de som van de drie hoeken van driehoek ABC gelijk is aan 180°.

Vermoeden: Overstaande hoeken zijn gelijk.

In een filmpje van de Nederlandse schooltelevisie wordt dit vermoeden op een visuele manier wordt bewezen.

Het filmpje staat op http://www.schooltv.nl/video/filosofie-en-waarheid-waaraan-moet-een-wiskundige-waarheid-voldoen/#