Claudius Ptolemaeus van Alexandrië (87 - 150 na Chr.)
was een begaafde sterrenkundige, wiskundige, geograaf en muziektheoreticus.

Met zijn epicykeltheorie verklaarde hij o.a. waarom de planeten
soms een schijnbare retrograde (achteruitgaande) beweging maakten aan het firmament.
Volgens deze theorie volgen de planeten cirkelvormige banen
waarbij het middelpunt van de cirkel zelf beweegt op een grotere cirkel (de deferent).
In feite waren de planetenbanen volgens deze theorie dus epicycloïden.

Ptolemaeus berekende ook een degelijke benadering voor pi, nl. 377/120 ≈ 3,1416...

Voor de wiskundigen blijft hij echter vooral bekend door een merkwaardige stelling (lees de bijlage!)

Hieronder staat een mooie opgave die een toepassing is op de stelling van Ptolemaeus.

Kan je dit bewijzen?

Bijlagen:
Stelling van Ptolemaeus - klassiek bewijs (Dick Klingens).pdf (171.1 KB)   

CURIOSUM MATHEMATICUM

Af en toe duikt er in de wiskunde een eenvoudige eigenschap van getallen op.
In 1939 ontdekte Dov Juzuk de volgende verrassende eigenschap.

Schrijf de natuurlijke getallen in volgorde onder elkaar op
in groepjes van 1, 2, 3, 4 ... getallen en te beginnen met het getal 1.
Schrap dan de rijen met een even volgnummer.
Dan blijkt de som van de getallen in de eerste n resterende rijen telkens gelijk te zijn aan n⁴.

 Voor wie hierdoor wat in de war is: een bewijs door volledige inductie zit in bijlage.

Bijlagen:
Curiosum Mathematicum - bewijs.pdf (196.4 KB)   

Op de voorbije finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (editie 2013)
kregen de deelnemers een mooie oefening uit de vlakke meetkunde voorgeschoteld.

Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen 1, 2 en 3 en een gelijkzijdige driehoek
zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van deze driehoek ligt.
Bereken de lengte van de zijden van deze driehoek.

© Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

UITDAGING. Los deze opgave op met behulp van het computerprogramma GeoGebra.


www.geogebra.org

In de bijlage vind je een verrassende oplossing voor het probleem
die gebruik maakt van de omgekeerde stelling van Ptolemaeus.

Bijlagen:
Oplossing VWO-finalevraag 2013.pdf (277.6 KB)   

WISKUNDE BIJ DE GOUDSMID

Een goudsmid heeft een ketting gemaakt die bestaat uit 
18 karaat gouden ringetjes met verschillende afmetingen.
Er zijn ringetjes van drie verschillende formaten in verwerkt.
De goudsmid beweert dat de drie soorten ringetjes dezelfde hoeveelheid goud bevatten
(d.w.z. dezelfde oppervlakte hebben) omdat de koorden [AB], [CD] en [EF] dezelfde lengte hebben.

Heeft de goudsmid gelijk?

Tip. De stelling van Pythagoras toepassen.
Antwoord in bijlage

Bijlagen:
WISKUNDE BIJ DE GOUDSMID - oplossing.pdf (59.2 KB)