De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
blijft heel veel wiskundigen fascineren.

Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen.
Als we deze rij getallen voorstellen met F₀, F₁, F₂, ... , F_n , ...
dan kan men in het algemeen bewijzen dat

(F₀)² + (F₁)² + (F₂)² +  ... (F_n)² = F_n . F_n+1  
 (met F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2 enz ...)

Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5
en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8

Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook?
En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening
eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?

Ook direct gesnapt?

29-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Gaspard Monge (1746 - 1818)
was een eminente Franse wiskundige
die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.

Aan hem danken we  één van de mooiste stellingen
uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen.
Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.

Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal
en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels.
Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen.
Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.

In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.

Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs'
waarbij de cirkels bekeken worden
als de doorsnede van een vlak met drie bollen.

Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.

Bijlagen:
De cirkels van Monge.pdf (154.9 KB)   

Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden. 

Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze.
Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?

Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.

Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit deze top-12 die momenteel nog in leven is.
Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste eeuw.

Isaac Newton	Archimedes	Carl Friedrich Gauss	Leonhard Euler	Bernhard Riemann	Euclides
Henri Poincaré	J.-L. Lagrange	David Hilbert	G.W. Leibniz	Alex. Grothendieck	Pierre de Fermat

28-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Vierkanten blijken heel wat wiskundigen (en niet-wiskundigen) te fascineren.

Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies.
Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen.
Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit
dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.

Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely
gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.

Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.

1

De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4.
Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld
met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.

De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.

De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O
in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.

En waar zit 5?
Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE]
maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!

27-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een op vijf Belgische kinderen te dik

Van de Belgische kinderen tussen de 10 en de 12 jaar heeft 21 procent overgewicht.
Zo'n 6 procent heeft extreem overgewicht.
België scoort daarmee na Noorwegen het best van zeven onderzochte Europese landen.
Dat meldde het academisch ziekenhuis van de Vrije Universiteit Amsterdam.   
Bron: Het Nieuwsblad 26/04/2012

Om na te gaan of een volwassen persoon al dan niet overgewicht heeft, kan men de zogenaamde Body Mass Index (BMI) berekenen. De BMI werd geïntroduceerd in de 19de eeuw door de Belgische statisticus Adolphe Quetelet, en wordt daarom in Nederland en België ook vaak Queteletindex(QI) genoemd.

De BMI van een volwassen persoon wordt als volgt berekend (en om helemaal correct te zijn zou er in de teller van de formule moeten 'lichaamsmassa' staan):

Op http://www.voedingswaardetabel.nl/bereken/bmi/ staan er naast de afbeelding van Quetelet twee schuifknoppen, waar je door te klikken op het minteken (-) of het plusteken (+)  jouw lichaamsgewicht en jouw lichaamslengte kunt instellen.
Meteen ken je dan jouw BMI en weet je of je eventueel overgewicht hebt.
Een normale BMI-waarde ligt tussen 18 en 25.

Als je bij een constante BMI-waarde de lichaamsmassa (in kg)  uitdrukt in functie van de lichaamslengte (in m), bekom je een kwadratische functie met als grafiek een parabool. Hieronder staan er 4 dergelijke parabolen afgebeeld, nl. voor de BMI-waarden 18, 25, 30 en 40.
Bron: wikipedia.

 

In bijlage vind je twee eenvoudige problemen in verband met de BMI.

Bijlagen:
BMI.pdf (295.5 KB)   

Tijdens een klasbezoek in het derde jaar secundair onderwijs in een Brugse school
gebruikte de lerares een leuk ezelsbruggetje
om de leerlingen te helpen bij het oplossen van opgaven 
over recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden:
de OPQR-regel.

Omgekeerd evenredige grootheden > Product is constant 
Recht evenredige grootheden >  Quotiënt is constant

Even testen?

Een ploeg bouwvakkers kan een ruwbouw afwerken in 10 dagen.
Als er 8 bouwvakkers meer waren, dan zou het werk in 6 dagen klaar zijn.
Hoe groot is de ploeg? 

Oplossing.
Het gaat hier om omgekeerd evenredige grootheden (constant product):
x . 10 = (x + 8) . 6 
waaruit volgt dat x = 12.
De ploeg bestaat uit 12 arbeiders.

 

Als we 5 minuten douchen gebruiken we 40 liter water.
Hoeveel liter water gebruiken we als we 8 minuten douchen?

Oplossing.
Het gaat hier om recht evenredige grootheden (constant quotiënt):

waaruit volgt dat x = 64.
Als we 8 minuten douchen gebruiken we 64 liter water.

En dit is logisch voor wie nog de regel van drieën kent
want in 1 minuut verbruiken we blijkbaar 8 liter water...

En als één persoon onder de douche 8 liter water gebruikt in een minuut

hoeveel liter water gebruiken twee personen dan onder de douche?

24-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

www.rekenbeter.nl nodigt je uit om dagelijks 
drie rekenopgaven en een leuk denkpuzzeltje op te lossen.

De opgaven sluiten aan bij diverse rubrieken:
hoofdrekenen
verhoudingen
metriek stelsel
getallenleer
bewerkingen
meetkunde
procenten
grafieken.

Een paar proevertjes?

 156 : 24 = ... ?
A. 16,5    B. 14    C. 12,5    D. 6,5
Uiteraard is het de bedoeling dit zonder rekenmachine op te lossen!

**************************************************************************************

Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gekleurd gedeelte
op de onderstaande figuur?

***************************************************************************************

En nu vlug inschrijven om jouw dagelijkse portie rekensommen te ontvangen.
Gratis proefmaand!

23-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De 17-jarige Vlaming Luca Brecel
is de jongste speler ooit die deelnam aan het WK snooker.
Ongetwijfeld geeft hij hiermee nieuwe impulsen
aan heel wat jonge snookerspelers en biljarters.

Met namen als Raymond Ceulemans, Ludo Dielis, Eddy Merckx, Frédéric Caudron ...
heeft België al een heel rijke biljarttraditie opgebouwd.

De link tussen wiskunde en biljarten is trouwens niet ver te zoeken.

Weet jij met hoeveel ballen het snookerspel wordt gespeeld?
(Antwoord: 22)

En hoeveel rode ballen zijn er in het spel?
(Antwoord: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)

Wat is de hoogste score die men (zonder toegekende strafpunten) kan behalen bij het snookerspel?
(Antwoord: maximum break = 147 punten)


Een snookerprobleem.
Hieronder staat een snookertafel afgebeeld.
De speler die aan de beurt is moet met bal A proberen de rode bal B te raken.
Omdat andere gekleurde ballen hem verhinderen rechtstreeks of via één band naar bal B te spelen,
besluit hij via de rechterband en daarna via de bovenste korte band naar B toe te spelen.
In de richting van welk punt moet hij dan bal A spelen: P, Q, R of S?

  Het antwoord zit in bijlage.

Bijlagen:
Oplossing van het snookerprobleem.pdf (62.5 KB)