EQUIPOTENTE VERZAMELINGEN

Eindige verzamelingen die equipotent zijn bevatten evenveel elementen.
In dat geval is het meteen duidelijk dat er een 1-1-verband bestaat tussen beide verzamelingen.

Zo bepaalt het voorschrift dat met n het getal n + 5 laat overeenkomen
een 1-1-verband tussen de verzamelingen {0, 1, 2, 3, 4} en {5, 6, 7, 8, 9}.

Oneindige verzamelingen zijn equipotent als er een zogenaamde bijectie bestaat tussen die verzamelingen.
Een bijectie is dus een 1-1-verband dat meestal uitgedrukt wordt door een concreet functievoorschrift.

VOORBEELDEN

Erg merkwaardig vind ik persoonlijk de onderstaande bijectie
die een 1-1 verband uitdrukt tussen het gesloten interval [0,1] en het open interval ]0,1[ :

Men kan natuurlijk ook op zoek gaan naar een 1-1-verband tussen de punten van een vierkant en van een cirkel.

02-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HET CHINEES VERMOEDEN



2500 jaar geleden reeds bestudeerden Chinese wiskundigen priemgetallen.
Ze hadden daarbij het volgende vermoeden:

Als 2ⁿ – 2 deelbaar is door n (n > 1), dan is n een priemgetal.

Met behulp van een Excel-bestand hebben we dit vermoeden geverifieerd
voor de waarden van n van 2 tot en met 20.
En op het eerste gezicht lijkt dit inderdaad een criterium op te leveren
om te controleren of een natuurlijk getal al dan niet een priemgetal is.

In 1819 vond de Franse wiskundige Frédéric Sarrus echter een tegenvoorbeeld.
Voor n = 341 is het getal 2ⁿ –  2 (een getal met 103 cijfers) deelbaar door 341
terwijl 341 = 11 x 31 geen primegetal is.

De omgekeerde eigenschap is echter wel waar.
Als n een priemgetal is, dan is 2ⁿ –  2 deelbaar door n.
Dit is een gevolg van de zogenaamde 'kleine stelling van Fermat'.
Een bewijs hiervan zit in bijlage.
 

Bijlagen:
Bewijs voor de kleine stelling van Fermat.pdf (74.7 KB)   

Op vrijdag 31 januari en zaterdag 1 februari 2014 organiseert
het Nederlandse Freudenthal Instituut voor de 20ste keer
de Nationale Wiskunde Dagen.

Hierboven zie je de congresposter waarop meteen het zogenaamde Droste-effect waar te nemen is
(meer info over het Droste-effect vind je op mijn blog via de zoekopdracht 'Droste').

Wiskundeleraren komen er nieuwe ideeën opdoen
en zijn er creatief bezig met hun vak.
Dit kan door te luisteren naar een goed verhaal,
door actief mee te doen in werkgroepen
of door met collega's van gedachten te wisselen.

Info op: http://www.fi.uu.nl/nwd/

Zelf ben ik er voor de allereerste keer aanwezig met een werkwinkel over

PARADOXEN: MAGISCHE WISKUNDE.

Een boekje over paradoxen en wiskundige raadsels
dat je zeker moet gelezen hebben is
Riddles in Mathematics van Eugene P. Northrop, Pelican Books, 1944.
Je vindt de complete tekst in pdf-formaat in bijlage.
Bron: https://archive.org



SUCCES AAN DE INITIATIEFNEMERS VAN NWD!

Bijlagen:
Northrop-RiddlesInMathematics.pdf (8 MB)   

 

PROBLEEM 16

Men ordent de natuurlijke getallen op de volgende manier in horizontale rijen:
0  1
2  3  4  5  6  7
8  9  10  11  12  13  14  15  16  17
...
Hierbij staan de getallen in de natuurlijke volgorde
en elke volgende rij bevat vier getallen meer dan de vorige rij.
Toon aan dat de som van de getallen in elke horizontale rij
gelijk is aan de derde macht van een natuurlijk getal.
Zo is bv. 8 + 9 + 10 + ... + 17 = 125 = 5³.

UITVINDING 16

Vélocipède is het klassieke woord voor een fiets. De letterlijke betekenis is "snelvoet".
Rond 1850 was dit type van fietsen erg populair in Frankrijk.
Omdat men vaak problemen had om op deze fiets te stappen
of om te parkeren op een hobbelige bodem
kwam een uitvinder op het idee om twee uitschuifbare metalen poten te gebruiken.
Hiermee werd een grotere stabiliteit gegarandeerd

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 16_oplossing.pdf (156 KB)   

VIERDEGRAADSFUNCTIES EN PHI

Soms ziet iemand toevallig een leuke wiskundige eigenschap
waaraan tal van andere wiskundigen jarenlang zijn voorbij gegaan.

Dit was zeker het geval bij Lin McMullin die een verband ontdekte tussen het getal van de gulden snede f
en de buigpunten bij een veeltermfunctie van de vierde graad.

We illustreren deze vondst aan de hand van een eenvoudige oefening.

Beschouw de functie f met als voorschrift f(x) = x⁴  – 2x³.
Hierboven is de grafiek van f getekend.

Toon aan dat O(0,0) en P(1,-1) de twee buigpunten zijn op de grafiek van f.

Zoek de snijpunten van de grafiek van f met de rechte OP: y = -x.

Welk verband zie je met het getal f van de gulden snede?

e algemene eigenschap vind je in het artikel van Lin McMullin in bijlage.

Bijlagen:
Golden ratio in quartics.pdf (45 KB)   

DIFFERENTIËREN IN DE WISKUNDELES

Via deze cartoon heeft de tekenaar willen uitdrukken
dat men best rekening houdt met ieders mogelijkheden.
En dit is wat nu precies in ons huidig onderwijssteem te weinig gebeurt:
voor de zwakkere leerlingen vindt men niet steeds de tijd om te remediëren
en de sterkere leerlingen krijgen vaak te weinig uitdagingen.

Daarom hanteren heel wat leerkrachten het onderstaande traditionele model.
Tijdens schoolbezoeken hoorde ik vaak de opmerking
dat overvolle leerplannen (wiskunde) dit ook wel in de hand werken ...

HET B-H-V-MODEL (Basisstof - Herhalingsstof - Verrijkingsstof) wil de leerkrachten
er alvast toe aanzetten om na te denken over de mogelijkheden van binnenklasdifferentiatie.

Via een formatieve toets (die niet meetelt voor punten) over de aangeboden basisleerstof
kan de leerkracht te weten komen wie best herhalingsleerstof krijgt
en wie direct kan overstappen naar verrijkingsleerstof.
Pas wanneer deze mogelijkheden zijn benut,
volgt er een summatieve toets op punten.

Je leest meer over mogelijke vormen van differentiatie in het artikel in bijlage (met dank aan Uitwiskeling).

 DRIE PERSOONLIJKE BEDENKINGEN

Hoe kan men op een goede manier differentiëren
in niet-homogene klassen met een relatief groot aantal leerlingen
en toch de planlast van de leraar bewaken?

Hoe kent de leraar op een objectieve manier scores toe?
Verdient de leerling die direct kan overstappen op verrijkingsleerstof
meer punten dan wie voortdurend moet bijgestuurd worden?

In de huidige leerplannen wiskunde van de eerste graad
heeft men duidelijk aangeduid wat basisleerstof is
 en wat men als verdieping of uitbreiding kan beschouwen.
Slagen alle leerkrachten er nu toch nog in om de lat voldoende hoog te leggen?

Bijlagen:
Differentiatie_in_de_wiskundelessen - UITWISKELING.pdf (18.1 KB)   

HET PROBLEEM VAN BOER BAVO

In Wiskunde en Onderwijs nr. 157 (2014), het tijdschrift van de VVWL
verscheen zopas een artikel dat ik samen met de hoofdredacteur op papier zette.
Hierin komen een extremumvraagstuk en een constructie uit de oude doos aan bod.
De tekst met de oplossing zit in bijlage.

Zie jij een kortere oplossing?

"Everything should be made as simple as possible, but not simpler"
A. Einstein

Bijlagen:
Het probleem van boer Bavo - Wiskunde & Onderwijs.pdf (256.6 KB)   
Het probleem van boer Bavo eenvoudig opgelost.pdf (277 KB)