3-6-9-12 First Impression - Luc Janus

De rij getallen 3, 6, 9, 12 heeft wel een bijzondere betekenis gekregen.

Voor de ene doen ze wellicht denken aan een klok en voor de andere misschien wel aan de vier seizoenen.

Luc Janus vertaalde hier beide associaties op een artistieke manier in twee prenten. 

3-6-9-12 Second Impression - Luc Janus

******************************************************************************************************************

Een leuke 3-6-9-12-vraag is de volgende: kan je een rechthoek vullen met

3 vierkanten van 3 op 3, 6 vierkanten van 6 op 6, 9 vierkanten van 9 op 9 en 12 vierkanten van 12 op 12?

      Yes, we can!

Bron: http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0106.html .

18-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

VIER KEER PI

Het bovenstaande 'Pi-ctogram' (een sangaku waarin pi de hoofdrol speelt)

is een uitnodiging voor een eenvoudige opgave.

Van een gelijkzijdige driehoek is de ingeschreven en de omgeschreven cirkel getekend.

Als de ingeschreven cirkel als oppervlakte π heeft, toon dan aan

dat de drie gebieden in dezelfde kleur eveneens als oppervlakte π hebben.

Tip. Bepaal de straal van de in- en de omgeschreven cirkel en dan is de opgave in één-twee-drie opgelost!

17-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Daar heb je pi weer!

Bijlagen:
Pi bij rechthoekige driehoek en twee halve cirkels - oplossing.pdf (174.2 KB)   

TIENS!

Een regelmatige tienhoek is ingeschreven in een cirkel met straal R.

Als men een hoekpunt van deze tienhoek verbindt met het derde erop volgende hoekpunt

en dit zo steeds verder doet, bekomt men een stervormige tienhoek (zie figuur).

Als |AB| de lengte is van de zijde  van de regelmatige tienhoek en |CD| de lengte van de zijde van de stervormige tienhoek,

toon dan aan dat het verschil van deze lengten gelijk is aan de straal R van de cirkel,

m.a.w. toon aan dat |CD| – |AB| = R .

Tip voor de oplossing.

Toon aan dat ABDP en CPME parallellograms zijn.

Veel magische krachten zijn er verder niet nodig!

15-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

HET PROBLEEM VAN DE DRIE RAKENDE CIRKELS

Drie cirkels raken elkaar twee aan twee uitwendig en ze raken ook alle drie aan een rechte. 

Touching circles - Luc Janus

Bijlagen:
HET PROBLEEM VAN DE DRIE RAKENDE CIRKELS - opgelost.pdf (76.4 KB)   

Wat heb je nodig?

Een blad papier, een potlood, een geodriehoek, een schaar, post its in twee verschillende kleuren en wat wiskundig inzicht.
Teken een willekeurige driehoek en projecteer een hoekpunt op de overstaande zijde.
Die zijde wordt zo in twee lijnstukken verdeeld en samen met de twee andere zijden heb je dus vier lijnstukken.

Knip uit de eerste soort post its twee vierkanten waarvan de zijde even lang is als de twee kortste lijnstukken (roze)
en knip uit de andere soort post its eveneens twee vierkanten waarvan de zijde even lang is als de twee langste lijnstukken (blauw).
Je ziet het resultaat op de linkse figuur.

Plaats nu de twee kleinere vierkanten bovenop de twee grotere zoals op de rechtse figuur is aangegeven.

Kan je bewijzen dat de twee (blauwe) gebieden van de grotere vierkanten die niet bedekt zijn even groot zijn?

Tip. Pas de stelling van Pythagoras toe!

 Als je het niet ziet zitten, lees dan de bijlage!

Bijlagen:
SANGAKU MET POST ITS - oplossing.pdf (65.7 KB)   

Voor de twaalfde uitdaging nemen we nog eens een regelmatige twaalfhoek onder de loep.

Kan je bewijzen dat de drie aangeduide diagonalen in een regelmatige twaalfhoek door één punt gaan?

Tip voor een mogelijk bewijs met behulp van goniometrie.
Door een gepaste keuze van het assenstelsel hebben de zes eindpunten van de aangestipte diagonalen
de volgende coördinaten: (cos15°, ± sin 15°), (cos 45°, ± sin 45°) en (cos 105°, ± sin 105°).
Door gebruik te maken van de formules van Simpson kan je dan aantonen
dat twee van de diagonalen de volgende vergelijking hebben:

y = x – cos 15° + sin 15°   en y = -x + cos 15° – sin 15°. 
Hun snijpunt ligt op de rechte   en dat is precies de vergelijking van de derde diagonaal!

*****************************************************************************************************************************

Hieronder staat nog een 'bewijs zonder woorden'.
Bron: Proofs without words II, Roger B. Nelsen.
Met dank aan Prof. Hendrik Van Maldeghem (UGent).

Gezien?

12-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens