Op 18 augustus 2012 overleed Scott McKenzie die met 'San Francisco'
(Be sure to wear flowers in your hair) een wereldhit scoorde.
Deze typische hippiesong werd geschreven door John Phillips (The Mamas & The Papas)
  ter promotie van het Monterey Pop Festival in 1967.
Het lied sprak de hoop uit van een hele generatie: nooit meer oorlog 
maar flower power en leven in vrijheid en in harmonie met de natuur ...

Geniet nog even van de live-uitvoering van deze song en los meteen het onderstaande bloemenvraagstukje op.

In de driehoekige tuin van Floris treffen we aan de drie hoeken telkens een bloemenperk aan
met drie verschillende soorten bloemen: rozen, lelies en petunia's.
Floris doet een merkwaardige vaststelling.
Als hij het aantal bloemen samentelt
in de twee perkjes langs elke zijde van de dtiehoek,
 dan komt hij telkens een volkomen kwadraat uit.
Hoeveel bloemen staan er dan in elk perkje?

Hint. Er staan 120 petunia's en niet veel rozen...

18-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heel wat mensen hebben moeite met het toepassen van de zogenaamde regel van drieën, die verband houdt met recht evenredige of omgekeerd evenredige grootheden.

Twee voorbeelden ter illustratie.

1. Een doos met 60 spijkers kost 8 euro. Hoeveel kost een doos met 75 spijkers?

    Oplossing.  60 spijkers > 8 euro.
                         1 spijker > 8/60 euro.
                       75 spijkers > (8 x 75)/60 = 10 euro.
    Hier gaat het om recht evenredige grootheden.

2.  Een boer heeft voldoende veevoer in voorraad om 20 varkens gedurende 15 dagen te voederen.
     Hoe lang kan hij hiermee 75 varkens voederen?

     Oplossing.   20 varkens > 15 dagen.
                           1 varken > 300 dagen.
                         75 varkens > 4 dagen.
     Hier gaat het om omgekeerd evenredige grootheden.

Probeer het nu zelf eens met het volgende probleem.
200 kippen leggen gemiddeld 200 eieren in 2 dagen.
Hoeveel kippen leggen dan gemiddeld 300 eieren in 3 dagen?

En nu we het toch over drieën hebben:
ziehier een leuk lucifersprobleempje.
De onderstaande figuur bestaat uit 3 even grote rechthoeken.
Kan je door 3 lucifers te verplaatsen
een figuur bekomen die bestaat uit
precies 3 (niet-noodzakelijke even grote) vierkanten?

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Kippen en lucifers opgelost.pdf (101.2 KB)   

Een donut is niet alleen lekker (vraag het maar aan Homer Simpson),
het is ook een leuk studieobeject voor wiskundigen
die dan spreken over een torus.

Stel dat er planeten zouden bestaan in de vorm van een donut (een bol met een gat erin).
Hoeveel kleuren zouden cartografen dan minstens nodig hebben
om alle mogelijk landkaarten op die planeet te kleuren
zodat geen twee aan elkaar grenzende landen dezelfde kleur hebben?

In 1976 losten Kenneth Appel en Wolfgang Haken het vierkleurenprobleem op voor landkaarten op onze aarde.
Hiermee bewezen ze dat elke mogelijke landkaart kan ingekleurd worden
met hoogstens 4 kleuren als men eist dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur hebben.

Kaart van de USA waarbij 4 kleuren volstaan
om ervoor te zorgen dat geen twee aangrenzende staten
dezelfde kleur hebben.

Hun bewijs was echter erg omstreden omdat ze gebruik maakten van een computerprogramma
om alle mogelijke situaties uit te testen.
En wie kon bewijzen dat hun computerprogramma geen fout bevatte?
Toch is hun bewijs ondertussen algemeen aanvaard en zelfs verbeterd met behulp van een computer.

 Appel en Haken

Meteen stelden wiskundigen de vraag hoeveel kleuren men zou nodig hebben
om dit probleem op te lossen voor gebieden op een torus.
Men heeft bewezen dat 7 kleuren volstaan.
Lees meer hierover in de bijlage (bron: het wiskundetijdschrift Pythagoras).

Voor landkaarten op een planeet met n gaten erin
volstaan int[ ½ (7 + √(1 + 48n)] kleuren
waarbij int(x) gelijk is aan het geheel getal kleiner of gelijk aan x.
Zo volstaan bij een planeet met 2 gaten erin
int[ ½ (7 + √(1 + 96)]= int(8,4244 ...) = 8 kleuren.

Een doordenkertje voor de slimsten onder jullie:
waarom is er voor het inkleuren van de onderstaande kaart toch blijkbaar een vijfde kleur nodig?

Bijlagen:
Vierkleurenprobleem.pdf (64.3 KB)   

Vandaag 14 augustus 2012 is het een bijzondere dag voor de Amerikaanse pi-fanaten.
Het Amerikaanse bevolkingsaantal wordt voortdurend weergegeven
door het Amerikaanse Census Bureau, dat bevolkingsstatistieken bijhoudt.

Dit bureau berekende dat vandaag rond 20.29 uur Belgische tijd 
de Amerikaanse bevolking het getal 314.159.265 bereikt en dit is 100 miljoen keer pi.

Los je ook nog even de onderstaande pi-droedel op?
Je vindt een collectie dergelijke rebussen op http://glorieuxronse.classy.be/droedels.html .

En hoeveel cijfers na de komma ken jij van het getal π?

15-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Belgische gynaecoloog ontdekt gulden snede in baarmoeder

Bron: De Standaard, 14 augustus 2012

Een Belgische gynaecoloog van het UZ Leuven heeft ontdekt dat de afmetingen

van de meest vruchtbare baarmoeders zich verhouden tot de gulden snede.

Dat schrijft de Britse krant The Guardian.

Jasper Verguts, een gynaecoloog aan het universitair ziekenhuis in Leuven,
nam de voorbije maanden met behulp van ultrasoundtechnologie de afmetingen van de baarmoeders van zowat 5.000 vrouwen.
Daarop maakte hij een tabel met de gemiddelde verhouding tussen de lengte en breedte, en dat volgens verschillende leeftijdsgroepen.

Volgens de gegevens bedraagt die verhouding ongeveer 2 bij de geboorte, om dan geleidelijk af te nemen tot 1,46 bij oudere vrouwen.

Klassieke schoonheid

Verguts ontdekte zo dat wanneer vrouwen op hun vruchtbaarst zijn,
dat is als ze tussen 16 en 20 jaar oud zijn, de verhouding 1,6 bedraagt.
Dat cijfer komt erg dicht bij de gulden snede, de speciale verhouding
die veel voorkomt in de klassieke architectuur en kunst, en in de natuur.

De verhouding, zowat 1,618,  zorgt volgens experten voor een intrinsieke schoonheid.

Gynaecologen kunnen meteen zien of een baarmoeder er wel of niet normaal uitziet, volgens de afmetingen ervan.
Verguts vermoedde dat die afmetingen zich tot de gulden snede verhielden, en dat is nu ook bewezen.

'Het is de eerste keer dat dit onderzocht werd. Ik ben erg tevreden dat ons onderzoek dat heeft aangetoond', aldus Verguts.

14-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Puntenberekening bij de tienkamp

Zouden de Olympische Spelen mogelijk zijn zonder wiskunde?
Wellicht niet!

Een voorbeeld ter illustratie: voor de berekening van het aantal behaalde punten
bij de diverse onderdelen van de tienkamp 
doet men een beroep op functies met rationale exponenten.
De punten worden als volgt berekend:

Looponderdelen: punten = a(b–T)^c waarin T staat voor de gelopen tijd in seconden.
Springonderdelen: punten = a(M–b)^c waarin M staat voor de sprongprestatie in centimeters.
Werponderdelen: punten = a(D–b)^c waarin D staat voor de werpafstand in meters.

a, b en c zijn parameters die per discipline verschillen, zoals is te zien in de tabel hieronder.
Het resultaat van de berekening wordt naar beneden afgerond op een geheel getal.

Onderdeel	a	b	c
100 m	25,4347	18	1,81
verspringen	0,14354	220	1,4
kogelstoten	51,39	1.5	1,05
hoogspringen	0,8465	75	1,42
400 m	1,53775	82	1,81
110 m horden	5,74352	28.5	1,92
discuswerpen	12,91	4	1,1
polsstokhoogspringen	0,2797	100	1,35
speerwerpen	10,14	7	1,08
1500 m	0,03768	480	1,85

Bron: Wikipedia.

Hans Van Alphen, de Belgische tienkamper behaalde een eervolle vierde plaats op de voorbije Olympische Spelen in Londen.
Reken even na (met behulp van de bovenstaande formules en met een rekenmachine):
- Hans loopt de 100 meter in 10,96 seconden. Dit levert hem 870 punten op.
- Bij het hoogspringen haalt hij 2,06 meter. Dit is goed voor 859 punten.
- De speer werpt hij 64,15 meter ver. Deze prestatie is goed voor 800 punten.

En nu we het toch hebben over glansprestaties op de voorbije Olympische Spelen:
wat denk je van de bovenmenselijke prestatie van Epke Zonderland, de flying Dutchman,
die met een gewaagde en acrobatische oefening aan het rek terecht de gouden medaille won?
Hij maakte het verschil met zijn hoge moeilijkheidsgraad.
Zijn unieke combinatie van vluchtelementen - de Cassina/Kovacs/Kolman -
gaf hem een voorsprong op de concurrenten.
Het kwam er op aan de aftrek wegens haperingen in de uitvoering zo veel mogelijk te beperken.
Dat lukte, mede dank zij een perfecte landing.

14-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In 1902 ontdekte de puzzelfanaat Henry Dudeney
hoe je een gelijkzijdige driehoek in 4 stukken kunt knippen
om hiermee dan een vierkant te vormen.
Hij publiceerde deze merkwaardige vondst onder de naam 'The haberdasher's puzzle'.
(haberdashery = garen en band; haberdasher: wie werkt met garen en band).

Op de onderstaande animatie zie je hoe dit gebeurt.
Bron: wikipedia.

In de bijlage vind je hoe je zelf zo een puzzel kunt maken.



Een andere merkwaardige 'dissectie' bestaat er in 3 even grote regelmatige zeshoeken te verknippen
om dan met de puzzelstukjes een nieuwe regelmatige zeshoek te vormen.
Kijk maar.

GEZIEN?

En dan heb je nog de 'paradoxale dissecties'.
Kan je verklaren wat je op het onderstaande filmpje ziet?

Bijlagen:
Maak je eigen haberdasher's puzzle.pdf (190.3 KB)   

Lee Sallows, een Britse elektronicus bedacht een aantal merkwaardige magische vierkanten.
Zijn 'top-vierkant' is ongetwijfeld een 3 x 3 - alfamagisch vierkant,
waarin zowel getallen als hun Engelse spelling een 3 x 3 - magisch vierkant bepalen.

Bij het vierkant linksboven is de magische constante 45.
In het onderste vierkant staat de Engelse schrijfwijze.
Tel nu de letters van elk woord en zet de gevonden getallen in een derde vierkant (rechtsboven).
Dit blijkt zelf weer een magisch vierkant op te leveren met als magische constante  21.

Merk op: 45 = forty-five en 21 = twenty-one.
Beide woorden tellen 9 = 3 x 3 letters! 

13-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Hoi, rekenknobbel!

Ken je het juiste antwoord op de onderstaande meerkeuzevraag?



Hint. Waarom zie je hieronder vier keer dezelfde afbeelding?

13-08-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens