Het vermoeden van Collatz en de conjectuur van Goldbach
Lothar Collatz (1910-1990) was Duitse wiskundige die een heel eenvoudig probleem de wereld instuurde, dat tot op heden onopgelost is.
Dat probleem luidt als volgt:
Kies een willekeurig positief geheel getal. Als dit getal even is, deel je het door twee. Als het oneven is vermenigvuldig je het getal met drie en tel je er één bij.
Op die manier ontstaat een rij getallen. Collatz sprak het vermoeden uit dat deze rij altijd zal eindigen op 1.
Voorbeelden. Met startwaarde 13 krijg je het volgende rijtje: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Met startwaarde 7 krijg je een iets langere rij: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Een dergelijk vermoeden in de wiskunde wordt een conjectuur genoemd.
Met het onderstaande programma kan je op jouw grafische rekenmachine (TI-83/84) nagaan dat de Collatz-rij steeds op 1 eindigt, onafhankelijk van het startgetal. De rij zelf kan je na het uitvoeren van het programma bekijken in lijst L1.
Een andere beroemd onopgelost probleem is de Goldbach-conjectuur die stelt dat elk even natuurlijk getal groter dan 2 minstens op één manier kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.
Wat is het verband tussen Wernher Von
Braun (ontwerper van de Duitse V2-raketten en vader van de ruimtevaart),
de Boeing 707, de Empire State Building, de Golden-Gatebrug en Einstein?
Wie voor 1970 ingewikkeld rekenwerk
moest uitvoeren,
waarin producten, quotiënten en wortelvormen moesten berekend worden,
deed dit meestal met een rekenliniaal.
Dit instrument mag je dus terecht als
de voorloper van het rekentoestel beschouwen.
Vooral ingenieurs maakten fequent
gebruik van een rekenliniaal en realisaties zoals de V2-raketten, de Boeing
707, de Golden-Gatebrug,
de Empire State building en zelfs
transistorradio's zouden niet mogelijk geweest zonder het gebruik van een
rekenliniaal.
Het is een gekend feit dat Einstein
er vlot mee kon werken.
Een rekenliniaal bestaat in principe uit twee schuivende delen en het rekenen is gebaseerd op logaritmen, een uitvinding van de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617).
Zo is bijvoorbeeld log a + log b = log ab, zodat men in feite twee getallen kan vermenigvuldigen door hun logaritme bij elkaar op te tellen.
Hieronder staat op een eenvoudig voorbeeld afgebeeld hoe men met een rekenliniaal kan aantonen dat 2 x 3 = 6 is.
Het was uiteraard wel de bedoeling met een rekenliniaal ingewikkelder berekeningen dan 2 x 3 uit te voeren!
Op beide schuifdelen staan niet de
getallen 1, 2, 3 ... afgebeeld, maar hun logaritmen.
Het bovenste schuifdeel heeft men dus verschoven zodat log 1 (= 0) net boven
log 3 komt.
Onder log 2 (op het bovenste schuifdeel) leest men dan precies log 6 af
(op het onderste schuifdeel), want log 2 + log 3 = log 6.
Omdat dit instrument steunt op de
eigenschappen van logaritmen, is het in feite niet direct geschikt
om sommen en verschillen van getallen te berekenen.
De vroegste versie van een rekenliniaal met schuivende delen is in 1621
uitgevonden door de Engelse wiskundige en priester William Oughtred.
Pas rond 1870 werd het toestel
'populair' toen het Franse leger het gebruikte om projectiebanen te berekenen
tijdens de oorlog die ze toen voerden tegen de Pruisen.
Een cycloïde is de kromme die wordt gedefinieerd door de baan van een punt op de rand van een cirkelvormig wiel als die cirkel over een rechte lijn rolt (zonder glijden).
Als de cirkel een straal r heeft, bekomt men als parametervergelijkingen van de cycloïde (zie bijlage):
x = r(t - sint) y = r(1 - cos t).
De parameter t geeft aan over welke hoek de cirkel vooruitrolt.
Bij één volledige omwenteling van de cirkel varieert t van 0 tot 2π. De lengte van één boog van een cycloïde is gelijk aan 8r (zie bijlage).
In de 17de eeuw zochten wiskundigen naar de kromme die een bijzonder soort 'glijbaan' beschreef. Men stelde zich immers de vraag of er een helling bestond met de eigenschap dat als men er ballen vanop verschillende startposities tegelijk op liet naar beneden rollen, die ballen dan ook tegelijk aan de voet van de helling zouden aankomen ongeacht de positie van waarop men ze losliet.
De Nederlandse wis-, sterrenkundige en natuurkundige Christiaan Huyghens ontdekte in 1659 dat die helling werd beschreven door een 'omgekeerde' cycloïde (zie onderstaand applet - bron wikipedia).
Huyghens wou deze ontdekking gebruiken om een nauwkeuriger slingeruurwerk te ontwerpen en publiceerde zijn ontdekking in 1673 in zijn 'Horologium Oscillatorium' ( = 'Het Slingeruurwerk').
Wegens deze bijzondere eigenschap wordt deze kromme ook de tautochrone of isochrone kromme genoemd (Grieks: τὸ αὐτό, dezelfde, ισος, gelijk en χρονος, tijd).
Deze kromme heeft nog een andere merkwaardige eigenschap. Ze beschrijft ook de helling waarlangs een voorwerp zonder wrijving zich tussen twee punten verplaatst in de kortst mogelijke tijd. Daarom spreekt men ook van de brachistochrone kromme (Grieks: βραχιστος, kortste en χρονος, tijd). Bron: wikipedia.
Collega Ferdinand Develter merkt terecht op dat deze kromme die zorgt voor de snelste daling ook zorgt voor de traagste stijging. Dit vindt o.a. zijn toepassing bij kaaimuren, de boeg van een schip ...
Newton realiseerde zich dat de maan in feite elke seconde en beetje naar de aarde toe valt precies op dezelfde manier als een appel van een boom naar de aarde valt.
Als dit niet zo was dan zou de maan immers in een rechte lijn met een constante snelheid door de ruimte van de aarde wegvliegen.
De kracht die de maan in haar (min of meer) cirkelvormige baan houdt noemde hij de centripetale kracht.
We rekenen eens uit hoeveel de maan per seconde naar de aarde toe valt.
Op deze figuur is r = de gemiddelde afstand van de maan tot de aarde, ongeveer 386 000 km s = de afstand door de maan afgelegd van de aarde weg in 1 seconde d = de afstand die de maan naar de aarde toe valt in 1 seconde.
Wegens de stelling van Pythagoras is r² + s² = (r + d)² of r² + s² = r² + 2rd + d², zodat s² = 2rd + d².
Hierbij is d vrij klein, zodat we het nog veel kleinere d² kunnen verwaarlozen. Dus is d = s²/(2r) . (1)
s is ook heel klein zodat we deze afstand mogen benaderen door de lengte van de cirkelboog die de maan in 1 seconde aflegt, d.w.z.
Met r = 386 000 000 (in meter) vinden we hieruit dat s = 2π x 386 000 000 x 4,1 x 10-7= 1002,5 meter.
Door tenslotte deze waarde in te vullen in (1) vinden we dat d = 0,0013 meter.
Dit betekent dat de maan elke seconde ongeveer 1,3 millimeter naar de aarde toe valt en zo op een min of meer cirkelvormige baan rond de aarde kan blijven rondtoeren.
MAANSVERDUISTERING
Morgenavond woensdag 15 juni 2011 is het voor heel wat amateur-astronomen weer een hoogdag, want dan vindt er een totale maansverduistering plaats.
De maansverduistering start woensdag om 20.23 uur.
Het hemellichaam zit dan echter nog onder de horizon, waardoor de eclips dus nog niet waargenomen kan worden. Anderhalf uur later, om 21.53 uur, komt de maan op in het zuidoosten van de hemel. Ze is dan al volledig verduisterd. Om 22.13 uur is de maansverduistering totaal. Die totale eclips eindigt om 23.03 uur. Om 24 uur zou de maan opnieuw volledig te zien zijn.
De amateurs van leuke powerpointpresentaties moeten maar eens de bijlage openen om zo mee te genieten van 'spelen met de maan'.
Flatland: A Romance of Many Dimensions (Nederlands: Platland: een roman van vele afmetingen) is in 1884 geschreven door Edwin Abbott Abbott, een Engelse schoolmeester en theoloog. Hij probeert de lezer op informele wijze de mogelijkheid (de wiskundige waarschijnlijkheid zelfs) van meerdere dimensies uit te leggen.
Flatland volgt de avonturen van A. Square (Nederlands: Een Vierkant) die op een dag wordt bezocht door een cirkel (die eigenlijk een bol blijkt te zijn die als cirkel verschijnt in Flatland) en die hem uit z'n tweedimensionale wereld tilt en hem meeneemt naar lijnland en puntland om hem duidelijk te maken dat er meer dimensies zijn dan alleen de 2 van Flatland. Als A. Square aan de bol vraagt of er misschien zelfs meer bestaan dan de 3 waar de bol vandaan komt, wordt deze boos en stopt hem weer terug in zijn tweedimensionale wereld.
Dit boekje laat ons meteen nadenken over de mogelijkheid dat er meerdere dimensies bestaan, dan we werkelijk waarnemen. In bijlage vind je de Nederlandse vertaling van Flatland.
Flatland: The Movie is een leuke animatiefilm uit 2007 waardoor het werk van Edwin A. Abbott weer in de belangstelling is gekomen. Hieronder kan je de officiële trailer van deze film bekijken.
Onwillekeurig denk je hierbij ook aan de allegorie van de grot uit de kennisleer van Plato (uit zijn werk Politeia). Hierin beschrijft hij hoe een aantal mensen sedert hun geboorte gevangen zitten in een grot. Tegen de wand van de grot zien de schaduwen geprojecteerd van werkelijke objecten, maar de realiteit zelf kennen en begrijpen ze niet.
Einstein leerde ons al dat we leven in een vierdimensionale tijd-ruimte met de klassieke drie dimensies (lengte, breedte en hoogte) en de tijd als vierde dimensie. De snaartheorie (string theory) gaat er echter van uit dat we leven in een ruimte met misschien wel 10 of 11 dimensies. Onze gezichtsorganen zijn echter onvoldoende ontwikkeld om de immens kleine deeltjes, die ontstaan als trillingen van een snaar, waar te nemen.
Om dit te begrijpen verwijst men vaak naar het beeld van een tuinslang. Als we die vanop een afstand bekijken, hebben we de indruk dat een tuinslang een tweedimensionaal voorwerp is (met een lengte en een kleine breedte), maar voor een mier die erover kruipt is een tuinslang een driedimensionaal voorwerp!
Dimensies staan duidelijk weer in de belangstelling. Dat bleek onlangs nog op de proclamatie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade, waarbij de Franse wiskundige Etienne Ghys (Ecole Normale Supérieure, Lyon) o.a. de bekroonde film 'Dimensions' kwam voorstellen. Je kunt de 9 hoofdstukken van deze fascinerende film gratis bekijken op http://www.dimensions-math.org/Dim_NL.htm . Vooral hoofdstuk 2 (over de derde dimensie) en hoofdstuk 3 (over de vierde dimensie) zijn warm aanbevolen.
Onze hersens registeren niet steeds de werkelijkheid en de hersens van verschillende personen registreren vaak verschillende zaken.
Hieronder krijg je drie voorbeelden ter illustratie van de bovenstaande uitspraak.
Kijk je even mee?
1. Hoeveel letters 'F' tel je in de volgende tekst?
FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS...
2. Wat lees je hieronder? Alelen silmme msenen knunen dit lzeen. Ik kon het neit glevoen teon ik het zag. De fnemoeanl pwoer van je hrenesen palatst alles in de jiutse vlogodre. Vloegns een sutide van de Unvireitsiet van Cmabrigde, makat de vlogodre van de ltretes in een wrood neits uit , je meot alelen zrgoen dat je de ereste en de latsate lteter op jiuste plek zet. Van de rset mag je een zioojte mkaen. Dat kmot odmat je hrenesen neit lteetr per leettr leezn, maar wel de gorep lteters bij eklaar.
3. Wie goede ogen heeft, kan de onderstaande tekst wellicht direct lezen...
Vandaag gaf ik mijn laatste wiskundeles in het secundair onderwijs. Hiermee eindigt een periode van 35 boeiende jaren. Tijd om heel even terug te denken aan zo veel collega's die het leven boeiend maakten en aan zo veel studenten die hopelijk elk hun eigen droom hebben kunnen waarmaken.
The hopes we had were much too high Way out of reach but we have to try No need to hide no need to run 'Cause all the answers come one by one The game will never be over Because we're keeping the dream alive ...
Kan jij uit het onderstaande schema opmaken hoe schuin de toren van Pisa staat?
In bijna alle gidsen van de stad Rome staat vermeld dat Bernini het Sint-Pietersplein in Rome heeft ontworpen in de vorm van een ellips. Dit zou je wellicht wel geloven als je de onderstaande foto bekijkt. Dit is echter niet correct! De zuilengaanderijen staan immers op bogen van cirkels zoals blijkt uit het bijgevoegde artikel uit het tijdschrift Pythagoras.
En wellicht hebben mijn studies van de klassieke talen ervoor gezorgd dat ik steeds met volle teugen heb genoten van de nationale hymne van Italië.
Met het nodige enthousiasme werd op 28 mei 2011 in het Sint-Barbaracollege te Gent de eerste 'Dag van GeoGebra' georganiseerd door het kersverse GeoGebra Instituut Vlaanderen onder impuls van de voorzitter Ivan De Winne.
Tal van sprekers kwamen er creatief uit de hoek.
Zelf heb ik o.a. genoten van de passer- en liniaalconstructies van Wim Cornelissen die via GeoGebra de Griekse meetkunde laat herleven.
Info op: http://www.cornelissen.be/passerliniaal/
Hieronder zie je hoe men een vierkant kunt construeren met behulp van een passer en een liniaal.
In bijlage zit een tekst waarin enkele standaardconstructies worden uitgelegd Bron: www.wageningse-methode.nl
De Vrije Universiteit Brussel (VUB) organiseerde dit schooljaar een leuke wiskundewedstrijd met de naam 'WISKUNNEND WISKE'.
De verwijzing naar de rol van meisjes
in de wiskunde was niet toevallig want de vragen werden bedacht door Prof.
Ingrid Daubechies,
een wereldautoriteit op het gebied van de 'wavelets' en een ex-studente
van de VUB met Limburgse roots.
De opgaven waren geen klassieke vraagstukken, maar boeiende en uitdagende
vragen
waarop heel wat Vlaamse leerlingen hun hoofd hebben gebroken.
Eén van de opgaven bestond er
in een verklaring te vinden voor hoe de West-Vlaamse goochelaar Gili erin
slaagt
om in 30 seconden een magisch vierkant met 4 x 4 vakjes op te stellen,
zodat de som van de 4 getallen in elke rij, in elke kolom, op de diagonalen ...
en op nog veel andere plaatsen telkens een door het publiek gekozen getal
oplevert.
Iemand uit het publiek mocht hierbij een getal kiezen tussen 50 en 100.
Kijk maar eens naar het volgende filmpje en bewonder de magische wis-kunsten van Gili in het TV-programma Comedy Casino!
Het alomgeprezen Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras viert zijn 50ste verjaardag. Het was door al die jaren heen ook een inspiratiebron voor heel veel Vlaamse wiskundeleraars.
Het allereerste nummer dat verscheen in oktober 1961 vind je in bijlage. Bekijk daarin eens de mooie toepassing waarbij men op een 'visuele manier' door het vouwen van een driehoekig stuk papier aantoont dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180° en waarbij men ook de formule voor de oppervlakte van een driehoek kan 'verantwoorden'.
Ter gelegenheid van 50 jaar Pythagoras verschijnt het boek 'De Pythagoras Code', met een selectie van de beste artikels uit vijftig jaargangen.
Een geep uit de onderwerpen: geomagische vierkanten, superdoku's, Japanse sangaku's, onmogelijke figuren, Penrosetegels, kettingbreuken, wiskunst ... en uiteraard heel veel puzzels, van verrassend simpele raadsels tot beinbrekers. Een absolute aanrader voor al wie houdt van speelse (en een beetje ernstige) wiskunde!
Een verjongde en dynamische ploeg heeft de voorbije jaren dit wiskundetijdschrift voor jongeren een nieuw elan bezorgd en langs deze weg sturen we meteen graag een DIKKE PROFICIAT naar de gehele redactieploeg.
Collega R. Bosma is docent wiskunde aan het Andreascollege in Katwijk, Nederland. Op zijn website www.wiskundetrainer.nl vind je heel wat bruikbaar materiaal voor de onderbouw (1ste en 2de jaar secundair onderwijs) en voor de bovenbouw (vanaf het 3de jaar).
Zeker een bezoekje waard! Met dank aan college Odette De Meulemeester voor deze surf-tip.
Op elk eurobiljet staat een serienumeer dat bestaat uit één of twee letters en 11 cijfers. Hierin zit een wiskundige controlecode.
Vervang de letters door hun plaatsnummer in het alfabet (A = 1, B = 2, ... Z = 26) en tel bij dit getal de 11 cijfers van het serienummer op.
Wanneer je bij de bekomen som nog 1 optelt voor biljetten waarbij het serienummer met 1 letter begint,
of 2 als het serienummer met twee letters begint, bekom je steeds een veelvoud van 9.
Voorbeeld. Op het hierboven afgebeelde biljet van 50 euro komt de letter P voor in het serienummer. Dit is de 16de letter uit het alfabet. 16 + 0 + 7 + 0 + 6 + 0 + 3 + 4 + 7 + 1 + 2 + 7 = 53. Tel hier nog 1 bij en je bekomt 54 dat een veelvoud is van 9.
Controleer dit nu eens zelf bij het serienummer op het onderstaande biljet van 20 euro.
AlgebraKiT is een online en gratis Computer Algebra Systeem (CAS) voor het trainen van de algebraïsche vaardigheden in het middelbaar wiskundeonderwijs.
Veel leerlingen zijn onzeker wat betreft hun algebraïsche vaardigheden en lopen regelmatig vast bij het zelfstandig oefenen met opgaven. Thuis is de hulp van een docent niet direct te krijgen en ook op school moet de docent zijn aandacht over velen verdelen. AlgebraKiT probeert hierin een tussenschakel te zijn. Een laagdrempelige, oneindig geduldige coach die je kan helpen bij het oplossen van opgaven, of bij de voorbereiding op een proefwerk of examen.
AlgebraKIT is bereikbaar via http://www.math4all.nl/ en geeft oefenmateriaal aangepast aan het niveau.
Stelling van Pythagoras: twee applets en een filmpje
De stelling van Pythagoras is ongetwijfeld één van de mooiste en belangrijkste stellingen uit de vlakke meetkunde.
Hiervoor zijn er een aantal mooie visuele bewijzen beschikbaar in de vorm van applets.
Kan je verklaren waarom via de onderstaande figuur een geldig bewijs wordt gegeven. Hint. Een vierhoek behoudt dezelfde oppervlakte als de basis en de hoogte gelijk blijven.
En hieronder zie je een tweede 'visueel bewijs'. Kan je verklaren hoe dit in elkaar zit?
En tenslotte kan je nog genieten van een filmpje waarin een bewijs wordt gegeven.
Heb je reeds deze REKEN- en KENNISMACHINE ontdekt?
Om het antwoord te bepalen op jouw vragen, maakt deze Engelstalige machine gebruik van de software Mathematica. Deze antwoordmachine is het geesteskind van de Britse informaticus en natuurkundige Stephen Wolfram. De website is officieel geopend op 18 mei 2009. In het afgelopen jaar heeft de machine er heel wat praktische mogelijkheden bij gekregen.
Ga vlug naar http://www.wolframalpha.com/ en kijk eens bij 'Examples' wat deze machine allemaal voor je kan doen!
Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet. Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben. Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie. Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html
Vraagstelling en hypothese
Fibonacci en de Gulden Snede is een heel breed onderwerp en het is onmogelijk om alles te onderzoeken. Daarom hebben we de volgende onderzoeksvragen opgesteld: Wat is de Fibonacci-rij? Wat is de Gulden Snede? Waar vind je de Fibonacci-rij en de Gulden Snede terug in de natuur?
Theorie
Fibonacci was een Italiaanse wiskundige die ongeveer van 1120 tot 1250 leefde. De rij die naar hem is genoemd, de Fibonacci-rij, wordt meestal geïntroduceerd via het tellen van konijnenparen. We beginnen met één konijnenpaar. We nemen aan dat voor het voortplanten geldt: Elk konijnenpaar krijgt na 1 maand één nieuw paar nakomelingen. Een konijnenpaar kan de eerste maand nog geen nakomelingen krijgen. De konijnenparen gaan niet dood. De vraag is nu, hoeveel konijnenparen zijn er dan na één jaar?
In figuur 1 is het aantal konijnenparen weergegeven voor de eerste vijf maanden.
Figuur 1: Het aantal konijnenparen
We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren. De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er: a paren van maand n; a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1; b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen. Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.
In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.
Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.
Tegelwand van vierkanten We kijken naar het volgende voorbeeld: p02 + p12 + p22 + p32 + p42 = p4 . p5 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 . 8 40 = 5 . 8 In formule-vorm zou dit zijn: p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt? In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.
Wat is de Gulden Snede? De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).
Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden
In formulevorm kun je dit schrijven als: Hieruit volgt : .
Delen door geeft en bijgevolg is .
We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .
Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede
Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?
Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden. Lelie en iris met 3 blaadjes Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes Cineraria met 13 blaadjes Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes Moederkruid met 34 blaadjes Herfstaster met 89 blaadjes
Figuur 4: Boterbloem
Figuur 5 : Aster
Fibonacci bij bijen. Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want: als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje; als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje. Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).
Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij
De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 omas en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide omas hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.
De Gulden Snede bij mens en dier De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van De mens van Vitrivius, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.
Figuur 7: De mens van Vitrivius
Figuur 8: Phi in het gezicht
Nog een mooi voorbeeld is het gezicht (zie figuur 8). In het gezicht zien we veel gulden rechthoeken terug. Een gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. Ook in andere delen van het menselijke lichaam komen we phi tegen, bijvoorbeeld: de breedte van de borstkas ten opzichte van de taille, de lengte van het hoofd ten opzichte van de borstkas en de lengte van de onderarm ten opzichte van de lengte van de hand. Ook in de dierenwereld zien we phi terug. Een voorbeeld daarvoor is de nautilus, een schelp (zie figuur 9). We zien dat de schelp ingedeeld kan worden in gulden rechthoeken.
Figuur 9: Nautilus
Figuur 10: Vogel
Figuur 11: Tijger
Een ander voorbeeld is de vogel in figuur 10. Deze gekleurde vogel wordt (in zijn kleuren) verdeeld volgens de verhouding van de Gulden Snede. Het laatste voorbeeld is de tijger in figuur 11. Ook hier treffen we gulden rechthoeken aan.
Conclusie
De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij. Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij. De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen. Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam. Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!
De formule van Binet
De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door un+1 = un + un-1 , met n > 1 en u1 = 1 en u2 =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term un uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage. Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.
Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt
En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!
Het BASTA-team met Jonas Geirnaert, Jelle De Beule, Lieven Scheire en Koen De Poorter
Onlangs verscheen in Het Nieuwsblad een opgemerkt artikel over belspelletjes waarin de kijkers het antwoord moeten doorbellen op een wiskundevraagstuk. Wanneer het belmeisje dan uiteindelijk het juiste antwoord geeft, blijkt dit quasi onvindbaar te zijn. De opgave werd voorgelegd aan een twintigtal wiskundeprofs. Ook zij slaagden er niet in het raadsel te kraken.
Besluit: je kans wagen in belspelletjes (zeker met wiskundevraagstukjes) is zinloos, of beter : was zinloos. Dank zij het TV-een-programma BASTA werden deze bedrieglijke belspelletjes immers ontmaskerd. Bekijk maar eens het onderstaande fragment uit de uitzending BASTA.
Ook in de geschreven pers werd hieraan heel wat aandacht besteed.
Lees het krantenartikel van Hans-Maarten Post (in bijlage).
Belspelletjes en wiskunde: BASTA
. 
geeft 
en bijgevolg is 
.
, dan geldt 
. Het oplossen van deze vergelijking leidt tot 
.
Lees het krantenartikel van Hans-Maarten Post (in bijlage).
