Onze hersens registeren niet steeds de werkelijkheid en de hersens van verschillende personen registreren vaak verschillende zaken.
Hieronder krijg je drie voorbeelden ter illustratie van de bovenstaande uitspraak.
Kijk je even mee?
1. Hoeveel letters 'F' tel je in de volgende tekst?
FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS...
2. Wat lees je hieronder? Alelen silmme msenen knunen dit lzeen. Ik kon het neit glevoen teon ik het zag. De fnemoeanl pwoer van je hrenesen palatst alles in de jiutse vlogodre. Vloegns een sutide van de Unvireitsiet van Cmabrigde, makat de vlogodre van de ltretes in een wrood neits uit , je meot alelen zrgoen dat je de ereste en de latsate lteter op jiuste plek zet. Van de rset mag je een zioojte mkaen. Dat kmot odmat je hrenesen neit lteetr per leettr leezn, maar wel de gorep lteters bij eklaar.
3. Wie goede ogen heeft, kan de onderstaande tekst wellicht direct lezen...
Vandaag gaf ik mijn laatste wiskundeles in het secundair onderwijs. Hiermee eindigt een periode van 35 boeiende jaren. Tijd om heel even terug te denken aan zo veel collega's die het leven boeiend maakten en aan zo veel studenten die hopelijk elk hun eigen droom hebben kunnen waarmaken.
The hopes we had were much too high Way out of reach but we have to try No need to hide no need to run 'Cause all the answers come one by one The game will never be over Because we're keeping the dream alive ...
Kan jij uit het onderstaande schema opmaken hoe schuin de toren van Pisa staat?
In bijna alle gidsen van de stad Rome staat vermeld dat Bernini het Sint-Pietersplein in Rome heeft ontworpen in de vorm van een ellips. Dit zou je wellicht wel geloven als je de onderstaande foto bekijkt. Dit is echter niet correct! De zuilengaanderijen staan immers op bogen van cirkels zoals blijkt uit het bijgevoegde artikel uit het tijdschrift Pythagoras.
En wellicht hebben mijn studies van de klassieke talen ervoor gezorgd dat ik steeds met volle teugen heb genoten van de nationale hymne van Italië.
Met het nodige enthousiasme werd op 28 mei 2011 in het Sint-Barbaracollege te Gent de eerste 'Dag van GeoGebra' georganiseerd door het kersverse GeoGebra Instituut Vlaanderen onder impuls van de voorzitter Ivan De Winne.
Tal van sprekers kwamen er creatief uit de hoek.
Zelf heb ik o.a. genoten van de passer- en liniaalconstructies van Wim Cornelissen die via GeoGebra de Griekse meetkunde laat herleven.
Info op: http://www.cornelissen.be/passerliniaal/
Hieronder zie je hoe men een vierkant kunt construeren met behulp van een passer en een liniaal.
In bijlage zit een tekst waarin enkele standaardconstructies worden uitgelegd Bron: www.wageningse-methode.nl
De Vrije Universiteit Brussel (VUB) organiseerde dit schooljaar een leuke wiskundewedstrijd met de naam 'WISKUNNEND WISKE'.
De verwijzing naar de rol van meisjes
in de wiskunde was niet toevallig want de vragen werden bedacht door Prof.
Ingrid Daubechies,
een wereldautoriteit op het gebied van de 'wavelets' en een ex-studente
van de VUB met Limburgse roots.
De opgaven waren geen klassieke vraagstukken, maar boeiende en uitdagende
vragen
waarop heel wat Vlaamse leerlingen hun hoofd hebben gebroken.
Eén van de opgaven bestond er
in een verklaring te vinden voor hoe de West-Vlaamse goochelaar Gili erin
slaagt
om in 30 seconden een magisch vierkant met 4 x 4 vakjes op te stellen,
zodat de som van de 4 getallen in elke rij, in elke kolom, op de diagonalen ...
en op nog veel andere plaatsen telkens een door het publiek gekozen getal
oplevert.
Iemand uit het publiek mocht hierbij een getal kiezen tussen 50 en 100.
Kijk maar eens naar het volgende filmpje en bewonder de magische wis-kunsten van Gili in het TV-programma Comedy Casino!
Het alomgeprezen Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras viert zijn 50ste verjaardag. Het was door al die jaren heen ook een inspiratiebron voor heel veel Vlaamse wiskundeleraars.
Het allereerste nummer dat verscheen in oktober 1961 vind je in bijlage. Bekijk daarin eens de mooie toepassing waarbij men op een 'visuele manier' door het vouwen van een driehoekig stuk papier aantoont dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180° en waarbij men ook de formule voor de oppervlakte van een driehoek kan 'verantwoorden'.
Ter gelegenheid van 50 jaar Pythagoras verschijnt het boek 'De Pythagoras Code', met een selectie van de beste artikels uit vijftig jaargangen.
Een geep uit de onderwerpen: geomagische vierkanten, superdoku's, Japanse sangaku's, onmogelijke figuren, Penrosetegels, kettingbreuken, wiskunst ... en uiteraard heel veel puzzels, van verrassend simpele raadsels tot beinbrekers. Een absolute aanrader voor al wie houdt van speelse (en een beetje ernstige) wiskunde!
Een verjongde en dynamische ploeg heeft de voorbije jaren dit wiskundetijdschrift voor jongeren een nieuw elan bezorgd en langs deze weg sturen we meteen graag een DIKKE PROFICIAT naar de gehele redactieploeg.
Collega R. Bosma is docent wiskunde aan het Andreascollege in Katwijk, Nederland. Op zijn website www.wiskundetrainer.nl vind je heel wat bruikbaar materiaal voor de onderbouw (1ste en 2de jaar secundair onderwijs) en voor de bovenbouw (vanaf het 3de jaar).
Zeker een bezoekje waard! Met dank aan college Odette De Meulemeester voor deze surf-tip.
Op elk eurobiljet staat een serienumeer dat bestaat uit één of twee letters en 11 cijfers. Hierin zit een wiskundige controlecode.
Vervang de letters door hun plaatsnummer in het alfabet (A = 1, B = 2, ... Z = 26) en tel bij dit getal de 11 cijfers van het serienummer op.
Wanneer je bij de bekomen som nog 1 optelt voor biljetten waarbij het serienummer met 1 letter begint,
of 2 als het serienummer met twee letters begint, bekom je steeds een veelvoud van 9.
Voorbeeld. Op het hierboven afgebeelde biljet van 50 euro komt de letter P voor in het serienummer. Dit is de 16de letter uit het alfabet. 16 + 0 + 7 + 0 + 6 + 0 + 3 + 4 + 7 + 1 + 2 + 7 = 53. Tel hier nog 1 bij en je bekomt 54 dat een veelvoud is van 9.
Controleer dit nu eens zelf bij het serienummer op het onderstaande biljet van 20 euro.
AlgebraKiT is een online en gratis Computer Algebra Systeem (CAS) voor het trainen van de algebraïsche vaardigheden in het middelbaar wiskundeonderwijs.
Veel leerlingen zijn onzeker wat betreft hun algebraïsche vaardigheden en lopen regelmatig vast bij het zelfstandig oefenen met opgaven. Thuis is de hulp van een docent niet direct te krijgen en ook op school moet de docent zijn aandacht over velen verdelen. AlgebraKiT probeert hierin een tussenschakel te zijn. Een laagdrempelige, oneindig geduldige coach die je kan helpen bij het oplossen van opgaven, of bij de voorbereiding op een proefwerk of examen.
AlgebraKIT is bereikbaar via http://www.math4all.nl/ en geeft oefenmateriaal aangepast aan het niveau.
Stelling van Pythagoras: twee applets en een filmpje
De stelling van Pythagoras is ongetwijfeld één van de mooiste en belangrijkste stellingen uit de vlakke meetkunde.
Hiervoor zijn er een aantal mooie visuele bewijzen beschikbaar in de vorm van applets.
Kan je verklaren waarom via de onderstaande figuur een geldig bewijs wordt gegeven. Hint. Een vierhoek behoudt dezelfde oppervlakte als de basis en de hoogte gelijk blijven.
En hieronder zie je een tweede 'visueel bewijs'. Kan je verklaren hoe dit in elkaar zit?
En tenslotte kan je nog genieten van een filmpje waarin een bewijs wordt gegeven.
Heb je reeds deze REKEN- en KENNISMACHINE ontdekt?
Om het antwoord te bepalen op jouw vragen, maakt deze Engelstalige machine gebruik van de software Mathematica. Deze antwoordmachine is het geesteskind van de Britse informaticus en natuurkundige Stephen Wolfram. De website is officieel geopend op 18 mei 2009. In het afgelopen jaar heeft de machine er heel wat praktische mogelijkheden bij gekregen.
Ga vlug naar http://www.wolframalpha.com/ en kijk eens bij 'Examples' wat deze machine allemaal voor je kan doen!
Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet. Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben. Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie. Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html
Vraagstelling en hypothese
Fibonacci en de Gulden Snede is een heel breed onderwerp en het is onmogelijk om alles te onderzoeken. Daarom hebben we de volgende onderzoeksvragen opgesteld: Wat is de Fibonacci-rij? Wat is de Gulden Snede? Waar vind je de Fibonacci-rij en de Gulden Snede terug in de natuur?
Theorie
Fibonacci was een Italiaanse wiskundige die ongeveer van 1120 tot 1250 leefde. De rij die naar hem is genoemd, de Fibonacci-rij, wordt meestal geïntroduceerd via het tellen van konijnenparen. We beginnen met één konijnenpaar. We nemen aan dat voor het voortplanten geldt: Elk konijnenpaar krijgt na 1 maand één nieuw paar nakomelingen. Een konijnenpaar kan de eerste maand nog geen nakomelingen krijgen. De konijnenparen gaan niet dood. De vraag is nu, hoeveel konijnenparen zijn er dan na één jaar?
In figuur 1 is het aantal konijnenparen weergegeven voor de eerste vijf maanden.
Figuur 1: Het aantal konijnenparen
We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren. De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er: a paren van maand n; a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1; b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen. Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.
In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.
Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.
Tegelwand van vierkanten We kijken naar het volgende voorbeeld: p02 + p12 + p22 + p32 + p42 = p4 . p5 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 . 8 40 = 5 . 8 In formule-vorm zou dit zijn: p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt? In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.
Wat is de Gulden Snede? De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).
Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden
In formulevorm kun je dit schrijven als: Hieruit volgt : .
Delen door geeft en bijgevolg is .
We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .
Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede
Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?
Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden. Lelie en iris met 3 blaadjes Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes Cineraria met 13 blaadjes Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes Moederkruid met 34 blaadjes Herfstaster met 89 blaadjes
Figuur 4: Boterbloem
Figuur 5 : Aster
Fibonacci bij bijen. Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want: als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje; als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje. Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).
Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij
De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 omas en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide omas hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.
De Gulden Snede bij mens en dier De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van De mens van Vitrivius, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.
Figuur 7: De mens van Vitrivius
Figuur 8: Phi in het gezicht
Nog een mooi voorbeeld is het gezicht (zie figuur 8). In het gezicht zien we veel gulden rechthoeken terug. Een gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. Ook in andere delen van het menselijke lichaam komen we phi tegen, bijvoorbeeld: de breedte van de borstkas ten opzichte van de taille, de lengte van het hoofd ten opzichte van de borstkas en de lengte van de onderarm ten opzichte van de lengte van de hand. Ook in de dierenwereld zien we phi terug. Een voorbeeld daarvoor is de nautilus, een schelp (zie figuur 9). We zien dat de schelp ingedeeld kan worden in gulden rechthoeken.
Figuur 9: Nautilus
Figuur 10: Vogel
Figuur 11: Tijger
Een ander voorbeeld is de vogel in figuur 10. Deze gekleurde vogel wordt (in zijn kleuren) verdeeld volgens de verhouding van de Gulden Snede. Het laatste voorbeeld is de tijger in figuur 11. Ook hier treffen we gulden rechthoeken aan.
Conclusie
De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij. Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij. De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen. Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam. Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!
De formule van Binet
De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door un+1 = un + un-1 , met n > 1 en u1 = 1 en u2 =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term un uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage. Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.
Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt
En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!
Het BASTA-team met Jonas Geirnaert, Jelle De Beule, Lieven Scheire en Koen De Poorter
Onlangs verscheen in Het Nieuwsblad een opgemerkt artikel over belspelletjes waarin de kijkers het antwoord moeten doorbellen op een wiskundevraagstuk. Wanneer het belmeisje dan uiteindelijk het juiste antwoord geeft, blijkt dit quasi onvindbaar te zijn. De opgave werd voorgelegd aan een twintigtal wiskundeprofs. Ook zij slaagden er niet in het raadsel te kraken.
Besluit: je kans wagen in belspelletjes (zeker met wiskundevraagstukjes) is zinloos, of beter : was zinloos. Dank zij het TV-een-programma BASTA werden deze bedrieglijke belspelletjes immers ontmaskerd. Bekijk maar eens het onderstaande fragment uit de uitzending BASTA.
Ook in de geschreven pers werd hieraan heel wat aandacht besteed.
Lees het krantenartikel van Hans-Maarten Post (in bijlage).
- eerstegraadsfuncties - tweedegraadsfuncties - vierkantsvergelijkingen - goniometrie - oplossen van driehoeken - deelbaarheid in Z - stelsels van eerstegraadsvergelijkingen - statistiek - rijen - kansrekenen - en nog veel meer ...
Veel mensen geraken gefascineerd door vaak eenvoudige rekentruuks waarbij de 'goochelaar' er schijnbaar probleemloos in slaagt het getal te raden dat iemand in gedachten heeft genomen.
Op het internet circuleren een aantal dergelijke goocheltruuks. We stellen er graag twee voor (met dank aan collega Ferdinand Develter voor de tip).
Het eerste spelletje krijg je gepresenteerd via een Franstalige powerpointpresentatie. Men vraagt je verschillende keren na elkaar een getal van twee cijfers in gedachten te nemen en hiervan de som van de cijfers af te trekken. Kies je bijvoorbeeld 43, dan bereken je 43 - (4 + 3) = 43 - 7 = 36. Dan toont de Grote Kissetou een tabel met getallen en Egyptische symbolen en vraagt je het symbool te onthouden dat correspondeert met het getal 36. En blijkbaar slaagt de Grote Kissetou er keer op keer in het gekozen symbool te raden!
PS. Een Nederlandstalige versie hiervan zit in bijlage.
Het tweede spelletje is Engelstalig en kan je hieronder spelen. Volg de instructies die op het scherm verschijnen.
Hierboven zie je de poster afgebeeld die naar aanleiding van de jubileumeditie 25 jaar VWO werd verspreid in alle Vlaamse scholen (klik op de poster voor een grotere afbeelding).
In de 25 vakjes wordt telkens een getal van 1 tot en met 25 op een visuele manier uitgebeeld.
Het gehele rooster vormt meteen een magisch 5 x 5 - vierkant.
Meer uitleg vind je op http://www.vwo.be > Vorige edities > De posters.
Naar aanleiding van dit jubileum heb ik samen met collega-VWO-jurylid Daniël Tant een brochure opgesteld met de slechtst beantwoorde vragen van de voorbije 25 edities (eerste ronde).
Je kan deze brochure in bijlage vinden en meteen heb je weer wat oefenmateriaal voor de komende editie!
1945: geboortejaar van Björn Ulvaeus (gitarist) en Anni-Frid (Frida) Lyngstad
1946: geboortejaar van Benny Andersson (pianist)
1950: geboortejaar van Agnetha Fätlskog
1972: formatie van de groep ABBA met Stig Anderson als manager
1973: ABBA neemt voor het eerst deel aan de Zweedse preselecties voor het Eurovisiesongfestival met het nummer Ring Ring en wordt hiermee pas derde
2 x 2 = 4: de vier Abba-leden vormden twee getrouwde koppels (Agnetha en Björn - Benny en Frida > debeginletters van hunn namen vormen het acroniem ABBA)
1974: ABBA wint het Eurosongfestival met het liedje Waterloo
1977: tournee in Europa en in Australië (waar ze 11 concerten geven en in totaal voor 160 000 fans optreden) - Dancing Queen is de enige nummer 1-hit van ABBA in de Verenigde Staten - ABBA: The Movie, film over hun optredens in Australië
09-01-1979: uitvoering van Chiquitita op het concert Music for Unicef - ABBA staat de copyrights af voor Unicef
1979: jaar van scheiding van Agnetha en Björn
1981: jaar van scheiding van Benny en Frida
11-12-1982: laatste optreden op de Britse TV (life vanuit Stockholm)
04-07-2008: de vier ABBA-leden veschijnen samen in Stockholm op de première van de film Mamma Mia! Herken je ze op de onderstaande foto waarop ze samen met de filmacteurs poseren?
1999: start van de uitvoering van de musical Mamma Mia! in Londen
370 000 000: aantal verkochte ABBA-platen
1 000 000 000: 1 miljard dollar wordt aan ABBA geboden in 2004 voor een reünietournee van 100 concerten.
03-01-2011: het bericht verschijnt in de kranten dat er in 2011 mogelijk een eenmalige reünie komt van ABBA
Hieronder zie je ABBA nog eens aan het werk in mijn favoriete clip met Take A Chance On Me (uitgebracht op 28-01-1978 en waarbij de dames via de songtekst en knipoogjes naar de kijker wellicht reeds allusie maken op de problemen binnen hun huwelijksrelatie. Ook de lichaamstaal van de mannen spreekt boekdelen).
Belspelletjes en wiskunde: BASTA
. 
geeft 
en bijgevolg is 
.
, dan geldt 
. Het oplossen van deze vergelijking leidt tot 
.
Lees het krantenartikel van Hans-Maarten Post (in bijlage).
