Hoe scheef staat die toren nu eigenlijk?



Kan jij uit het onderstaande schema opmaken
hoe schuin de toren van Pisa staat?



In bijna alle gidsen van de stad Rome staat vermeld dat Bernini het Sint-Pietersplein in Rome
heeft ontworpen in de vorm van een ellips.
Dit zou je wellicht wel geloven als je de onderstaande foto bekijkt.
Dit is echter niet correct!
De zuilengaanderijen staan immers op bogen van cirkels
zoals blijkt uit het bijgevoegde artikel uit het tijdschrift Pythagoras.



En wellicht hebben mijn studies van de klassieke talen
ervoor gezorgd dat ik steeds met volle teugen heb genoten
van de nationale hymne van Italië.

Bijlagen:
Wiskunde op het Sint-Pietersplein.pdf (3.7 MB)   

   Website:  www.geogebra.be 

Met het nodige enthousiasme werd op 28 mei 2011 in het Sint-Barbaracollege te Gent de eerste 'Dag van GeoGebra'
georganiseerd door het kersverse GeoGebra Instituut Vlaanderen onder impuls van de voorzitter Ivan De Winne.

Tal van sprekers kwamen er creatief uit de hoek.

 Zelf heb ik o.a. genoten van de passer- en liniaalconstructies van Wim Cornelissen
die via GeoGebra de Griekse meetkunde laat herleven.

   Info op: http://www.cornelissen.be/passerliniaal/

Hieronder zie je hoe men een vierkant kunt construeren met behulp van een passer en een liniaal.

In bijlage zit een tekst waarin enkele standaardconstructies worden uitgelegd
Bron: www.wageningse-methode.nl

Bijlagen:
Met-passer-en-liniaal.pdf (421 KB)   

De Vrije Universiteit Brussel (VUB) organiseerde dit schooljaar een leuke wiskundewedstrijd met de naam 'WISKUNNEND WISKE'.

 De verwijzing naar de rol van meisjes in de wiskunde was niet toevallig want de vragen werden bedacht door Prof. Ingrid Daubechies,
een wereldautoriteit op het gebied van de 'wavelets' en een ex-studente van de VUB met Limburgse roots.

De opgaven waren geen klassieke vraagstukken, maar boeiende en uitdagende vragen
waarop heel wat Vlaamse leerlingen hun hoofd hebben gebroken.

 Eén van de opgaven bestond er in een verklaring te vinden voor hoe de West-Vlaamse goochelaar Gili erin slaagt
om in 30 seconden een magisch vierkant met 4 x 4 vakjes op te stellen,
zodat de som van de 4 getallen in elke rij, in elke kolom, op de diagonalen ...
en op nog veel andere plaatsen telkens een door het publiek gekozen getal oplevert. 
Iemand uit het publiek mocht hierbij een getal kiezen tussen 50 en 100.

Kijk maar eens naar het volgende filmpje en bewonder de magische wis-kunsten van Gili in het TV-programma Comedy Casino!

 De verklaring vind je in bijlage.
Bron: http://www.wiskunnendwiske.be/

Bijlagen:
Gili's Magisch Vierkant.pdf (110 KB)   

Het alomgeprezen Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras viert zijn 50ste verjaardag.
Het was door al die jaren heen ook een inspiratiebron voor heel veel Vlaamse wiskundeleraars. 

Het allereerste nummer dat verscheen in oktober 1961 vind je in bijlage.
Bekijk daarin eens de mooie toepassing
waarbij men op een 'visuele manier' door het vouwen van een driehoekig stuk papier aantoont
dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°
en waarbij men ook de formule voor de oppervlakte van een driehoek kan 'verantwoorden'.
 

Ter gelegenheid van 50 jaar Pythagoras verschijnt het boek 'De Pythagoras Code',
met een selectie van de beste artikels uit vijftig jaargangen.

Een geep uit de onderwerpen: geomagische vierkanten, superdoku's,
Japanse sangaku's, onmogelijke figuren, Penrosetegels, kettingbreuken, wiskunst ...
en uiteraard heel veel puzzels, van verrassend simpele raadsels tot beinbrekers.
Een absolute aanrader voor al wie houdt van speelse (en een beetje ernstige) wiskunde!

 Een verjongde en dynamische ploeg heeft de voorbije jaren dit wiskundetijdschrift voor jongeren een nieuw elan bezorgd
en langs deze weg sturen we meteen graag een DIKKE PROFICIAT naar de gehele redactieploeg.

Vernieuwde website: http://www.pythagoras.nu



Ad multos annos!

Bijlagen:
PYTHAGORAS_JG01_No1.pdf (6.3 MB)   

Collega R. Bosma is docent wiskunde aan het Andreascollege in Katwijk, Nederland.
Op zijn website www.wiskundetrainer.nl vind je heel wat bruikbaar materiaal
voor de onderbouw (1ste en 2de jaar secundair onderwijs)
en voor de bovenbouw (vanaf het 3de jaar).

Zeker een bezoekje waard!
Met dank aan college Odette De Meulemeester voor deze surf-tip.

29-03-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op elk eurobiljet staat een serienumeer dat bestaat uit één of twee letters en 11 cijfers. Hierin zit een wiskundige controlecode.

Vervang de letters door hun plaatsnummer in het alfabet (A = 1, B = 2, ... Z = 26) en tel bij dit getal de 11 cijfers van het serienummer op.

Wanneer je bij de bekomen som nog 1 optelt voor biljetten waarbij het serienummer met 1 letter begint,

of 2 als het serienummer met twee letters begint, bekom je steeds een veelvoud van 9.

Voorbeeld.
Op het hierboven afgebeelde biljet van 50 euro komt de letter P voor in het serienummer. Dit is de 16de letter uit het alfabet.
16 + 0 + 7 + 0 + 6 + 0 + 3 + 4 + 7 + 1 + 2 + 7 = 53. Tel hier nog 1 bij en je bekomt 54 dat een veelvoud is van 9.

Controleer dit nu eens zelf bij het serienummer op het onderstaande biljet van 20 euro.

19-02-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

AlgebraKiT is een online en gratis Computer Algebra Systeem (CAS)
voor het trainen van de algebraïsche vaardigheden in het middelbaar wiskundeonderwijs. 

Veel leerlingen zijn onzeker wat betreft hun algebraïsche vaardigheden en lopen regelmatig vast bij het zelfstandig oefenen met opgaven.
Thuis is de hulp van een docent niet direct te krijgen en ook op school moet de docent zijn aandacht over velen verdelen.
AlgebraKiT probeert hierin een tussenschakel te zijn.
Een laagdrempelige, oneindig geduldige coach
die je kan helpen bij het oplossen van opgaven,
of bij de voorbereiding op een proefwerk of examen.

AlgebraKIT is bereikbaar via http://www.math4all.nl/ en geeft oefenmateriaal aangepast aan het niveau.

28-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De stelling van Pythagoras is ongetwijfeld één van de mooiste en belangrijkste stellingen uit de vlakke meetkunde.

Hiervoor zijn er een aantal mooie visuele bewijzen beschikbaar in de vorm van applets.

Kan je verklaren waarom via de onderstaande figuur een geldig bewijs wordt gegeven.
Hint. Een vierhoek behoudt dezelfde oppervlakte als de basis en de hoogte gelijk blijven.



En hieronder zie je een tweede 'visueel bewijs'.
Kan je verklaren hoe dit in elkaar zit?

 

En tenslotte kan je nog genieten van een filmpje
 waarin een bewijs wordt gegeven.

26-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heb je reeds deze REKEN- en KENNISMACHINE ontdekt?

Om het antwoord te bepalen op jouw vragen, maakt deze Engelstalige machine gebruik van de software Mathematica.
Deze antwoordmachine is het geesteskind van de Britse informaticus en natuurkundige Stephen Wolfram.
De website is officieel geopend op 18 mei 2009.
In het afgelopen jaar heeft de machine er heel wat praktische mogelijkheden bij gekregen.

 Ga vlug naar http://www.wolframalpha.com/
en kijk eens bij 'Examples' wat deze machine allemaal voor je kan doen!


 
Met dank aan Johannes De Gruyter voor deze tip.

24-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Fibonacci en de Gulden Snede

Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet.
Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben.
Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie.
Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html

Vraagstelling en hypothese

Theorie

Figuur 1: Het aantal konijnenparen

We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren. De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er: • a paren van maand n; • a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1; • b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen. Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.

In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.


Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.

Tegelwand van vierkanten
We kijken naar het volgende voorbeeld:
p₀ ² + p₁² + p₂² + p₃² + p₄² = p₄ . p₅
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
40 = 5 . 8
In formule-vorm zou dit zijn: p₀² + p₁² + ... + p_n² = p_n . p_n+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt?
In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.


Figuur 2: Vierkante tegels
Voor de oppervlakte 0_n van de n-de rechthoek geldt: 0₁ = 1² = 1
0₂ = 1² + 1² = 1 + 1² = 1 . 2 = p₁ . p₂
0₃ = 1² + 1² + 2² + 3² = 2 . 3 + 3² = 3 . 5 = p₃ . p₄
0₅ = 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 3 . 5 + 5² = 5 . 8 = p₄ . p₅
0_n+1 = p₀² + p₁² + ... + p_n² = p_n . p_n+1
Voor elke n klopt de formule!

Wat is de Gulden Snede?
De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).


Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden

In formulevorm kun je dit schrijven als:

Hieruit volgt :               .                                   

Delen door geeft                        en bijgevolg is    .

We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .

Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede

Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?

Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden.
• Lelie en iris met 3 blaadjes
• Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes
• Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes
• Cineraria met 13 blaadjes
• Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes
• Moederkruid met 34 blaadjes
• Herfstaster met 89 blaadjes

Figuur 4: Boterbloem	Figuur 5 : Aster

Fibonacci bij bijen.
Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want:
• als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje;
• als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje.
Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).


Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij

De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 oma’s en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide oma’s hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.

De Gulden Snede bij mens en dier
De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van ‘De mens van Vitrivius’, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.

Figuur 7: De mens van Vitrivius	Figuur 8: Phi in het gezicht

Figuur 9: Nautilus	Figuur 10: Vogel	Figuur 11: Tijger

Conclusie

De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij.
Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij.
De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen.
Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam.
Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!

De formule van Binet

De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door u_n+1 = u_n + u_n-1 , met n > 1 en u₁ = 1 en u₂ =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term u_n uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage.
Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.

Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt

En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!

Bijlagen:
Fibonacci jonger dan je denkt.doc (687.5 KB)   

Het BASTA-team met Jonas Geirnaert, Jelle De Beule, Lieven Scheire en Koen De Poorter

Bijlagen:
Belspelletjes en wiskunde.doc (94.5 KB)   

SoftMaths

Geert De Saegher trakteert ons bij het begin van 2011 met de nieuwste versie van zijn gratis wiskundepakket SoftMaths versie 2.1 (2011-01-06)

 dat heel wat oefenmogelijkheden biedt voor leerlingen in het 3de en 4de jaar van het secundair onderwijs.

Je vindt alle informatie op : http://www.gedesasoft.be/

Rubrieken:

- eerstegraadsfuncties
- tweedegraadsfuncties
- vierkantsvergelijkingen
- goniometrie
- oplossen van driehoeken
- deelbaarheid in Z
- stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
- statistiek
- rijen
- kansrekenen
- en nog veel meer ...

08-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Veel mensen geraken gefascineerd door vaak eenvoudige rekentruuks waarbij de 'goochelaar' er schijnbaar probleemloos in slaagt het getal te raden dat iemand in gedachten heeft genomen.

Op het internet circuleren een aantal dergelijke goocheltruuks. We stellen er graag twee voor (met dank aan collega Ferdinand Develter voor de tip). 

Het eerste spelletje krijg je gepresenteerd via een Franstalige powerpointpresentatie. Men vraagt je verschillende keren na elkaar een getal van twee cijfers in gedachten te nemen en hiervan de som van de cijfers af te trekken.
Kies je bijvoorbeeld 43, dan bereken je 43 - (4 + 3) = 43 - 7 = 36.
Dan toont de Grote Kissetou een tabel met getallen en Egyptische symbolen en vraagt je het symbool te onthouden dat correspondeert met het getal 36.
En blijkbaar slaagt de Grote Kissetou er keer op keer in het gekozen symbool te raden!

PS. Een Nederlandstalige versie hiervan zit in bijlage.

Het tweede spelletje is Engelstalig en kan je hieronder spelen. Volg de instructies die op het scherm verschijnen.

Bijlagen:
de grote Kissetou.ppt (2 MB)   

 Kan jij het volgende kalssieke tekenprobleem  (met de glimlach) oplossen?


Hieronder staan 9 stippen.
Verbind deze stippen met behulp van vier lijnstukken
en zonder jouw potlood (of pen) van het papier op te heffen.








In bijlage vind je een afdrukbare versie met vier tekenrproblemen
en voor wie er niet aan uit geraakt,
stellen we ook nog de oplossingen beschikbaar.

Bijlagen:
OPLOSSINGEN.doc (149.5 KB)   
Vier tekenproblemen.doc (130 KB)   

Hierboven zie je de poster afgebeeld
die naar aanleiding van de jubileumeditie
25 jaar VWO
werd verspreid in alle Vlaamse scholen
(klik op de poster voor een grotere afbeelding).

In de 25 vakjes wordt telkens een getal
van 1 tot en met 25
op een visuele manier uitgebeeld.

Het gehele rooster vormt meteen
een magisch 5 x 5 - vierkant.

Meer uitleg vind je op http://www.vwo.be > Vorige edities > De posters.

Naar aanleiding van dit jubileum heb ik samen
met collega-VWO-jurylid Daniël Tant
een brochure opgesteld met de slechtst beantwoorde vragen
van de voorbije 25 edities (eerste ronde).

Je kan deze brochure in bijlage vinden
en meteen heb je weer wat oefenmateriaal
voor de komende editie!

Bijlagen:
Slechtst beantwoorde vragen 25 jaar VWO.pdf (1.2 MB)   

• 1945: geboortejaar van Björn Ulvaeus (gitarist) en Anni-Frid (Frida) Lyngstad
• 1946: geboortejaar van Benny Andersson (pianist)
• 1950: geboortejaar van Agnetha Fätlskog
• 1972: formatie van de groep ABBA met Stig Anderson als manager
• 1973:  ABBA neemt voor het eerst deel aan de Zweedse preselecties voor het Eurovisiesongfestival met het nummer Ring Ring en wordt hiermee pas derde
• 2 x 2 = 4: de vier Abba-leden vormden twee getrouwde koppels (Agnetha en Björn - Benny en Frida > debeginletters van hunn namen vormen het acroniem ABBA)
• 1974: ABBA wint het Eurosongfestival met het liedje Waterloo
• 1977: tournee in Europa en in Australië (waar ze 11 concerten geven en in totaal voor 160 000 fans optreden) -  Dancing Queen is de enige nummer 1-hit van ABBA in de Verenigde Staten - ABBA: The Movie, film over hun optredens in Australië
• 09-01-1979: uitvoering van Chiquitita op het concert Music for Unicef - ABBA staat de copyrights af voor Unicef
• 1979: jaar van scheiding van Agnetha en Björn
• 1981: jaar van scheiding van Benny en Frida
• 11-12-1982: laatste optreden op de Britse TV (life vanuit Stockholm)
• 04-07-2008: de vier ABBA-leden veschijnen samen in Stockholm op de première van de film Mamma Mia! Herken je ze op de onderstaande foto waarop ze samen met de filmacteurs poseren?
  
  

  

  
  
  
• 1999: start van de uitvoering van de musical Mamma Mia! in Londen
• 370 000 000: aantal verkochte ABBA-platen
• 1 000 000 000: 1 miljard dollar wordt aan ABBA geboden in 2004 voor een reünietournee van 100 concerten.
• 03-01-2011: het bericht verschijnt in de kranten dat er in 2011 mogelijk een eenmalige reünie komt van ABBA

Hieronder zie je ABBA nog eens aan het werk in mijn favoriete clip met Take A Chance On Me
(uitgebracht op 28-01-1978 en waarbij de dames via de songtekst en knipoogjes naar de kijker
wellicht reeds allusie maken op de problemen binnen hun huwelijksrelatie.
Ook de lichaamstaal van de mannen spreekt boekdelen).

 

03-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Voor 2011 wens ik je
een beetje meer tijd
iets om naar uit te kijken
iemand om van te houden.

21-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MUNTENPUZZEL

Leg 10 gelijke muntstukjes in de vorm van een driehoek zoals hierboven staat afgebeeld.
Hoe kan je door slechts 3 muntjes te verschuiven ervoor zorgen dat de driehoek omkeert, d.w.z. dat de top onderaan staat?




 Meer leuke probleempjes vind je in filmpjes op http://easybartricks.com/ .

15-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op 1 oktober 2010 organiseerde het departement wiskunde van de K.U. Leuven de eerste Vlaamse editie

van het jaarlijkse wiskundetoernooi dat in 1992 werd opgericht aan de Radboud Universiteit Nijmegen.

Deze wedstrijd richt zich op studenten van het vijfde en zesde jaar van het middelbaar onderwijs.

Sinds 2008 organiseert de Universität zu Köln de Duitse editie van het toernooi.

Verschillende andere buitenlandse universiteiten hebben nu al interesse getoond voor dit initiatief.

In Leuven namen ongeveer 140 studenten deel, begeleid door 23 leerkrachten afkomstig uit alle Vlaamse provincies.

Winnaar van de eerste Vlaamse editie werd het VTI van Popringe.

Er zijn twee grote verschilpunten met andere dergelijke competities: de leerlingen nemen in ploegen van maximaal vijf personen deel

en daarnaast wordt er bijzondere aandacht besteed aan maatschappelijke toepassingen van de wiskunde.

Voorbereidend materiaal vind je op de Nijmeegse website  http://www.ru.nl/wiskundetoernooi/ 

15-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Op de voorbije Dag van de Wiskunde (K.U. Leuven Campus Kortrijk - 20 november 2010) 
gaf collega Eddy Jennekens de oplossing voor een eenvoudig en praktisch probleem.

Hoe hoog moet een spiegel zijn opdat je er jezelf volledig kunt in zien?
En hoe hoog moet je die spiegel dan ophangen aan een verticale muur?

De oplossing steunt op de eigenschap van de middenparallel in een willekeurige driehoek en via de onderstaande figuur kan je dan de redenering gemakkelijk volgen.

[A’B’] is het beeld van een persoon [AB] ten opzichte van een spiegel [MN] die op de verticale rechte x ligt.

Het punt C stelt de plaats van de ogen voor. 

Oplossing.

Merk op: P is het midden van [BB’] (eigenschap van een spiegeling).
Uit AB // x // A’B’ volgt dan (omgekeerde stelling middenparallel):

in D BCB’: M is het midden van [CB’].

Vervolgens:

in D CB’A’: N is het midden van midden [CA’].
Dus is [MN] een middenparallel van D CB’A’, waaruit volgt:

|MN| = ½ .|A’B’| = ½ |AB|.

Antwoord: de hoogte van de spiegel moet de helft van je lichaamslengte zijn.

 Opmerking.

De spiegel moet wel op een bepaalde hoogte hangen.

In DACA’ is immers ook [NQ] een middenparallel en meet dus de helft van [AC].

Dit betekent dat de onderrand van de spiegel op een hoogte moet hangen

die gelijk is aan de helft van de afstand van de ogen van de persoon tot aan de grond.

13-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens