Op-art is een richting in de schilderkunst van de 20e eeuw die bekend werd in de jaren 1963-1966. De term is een afkorting van het Engelse begrip optical art. Op-art speelt een spel met verschillende optische illusies. en in heel wat op-art werken zorgt het contrast van witte en zwarte lijnen en vlakken voor een mooi effect.
De Ouchi illusie is genoemd naar de Japanse op-art kunstenaar Hajime Ouchi die ze in 1977 heeft ontworpen en gepresenteerd. Het centrale schijfje lijkt te zweven boven het vierkant en er onstaat zelfs een beweging als we ons hoofd traag van links naar rechts bewegen.
De driehoek van Kanisza werd voor het eerst beschreven de Italiaanse psycholoog Gaetano Kanisza in 1955. Drie uitgesneden taartpunten uit de zwarte schijfjes zorgen voor de visuele waarneming van een driehoek die er niet is.
In het kader hiervan verwijzen we graag ook even naar de 'barberpole illusie'. Een 'barberpole' is een draaiende figuur die vroeger aan de gevel van kapsalons te zien was.
Een diagonaal lijnenpatroon schuift onder een hoek van 45° van links naar rechts (zoals duidelijk te zien is door het ronde gat links). Wanneer we dat echter gaan bekijken door een verticale gleuf krijgen we de indruk dat het patroon gewoon verticaal naar beneden schuift.
En zelfs het duo Sonny & Cher was in de jaren '60 in de ban van de pop-art. Geniet nog even mee van hun wereldhit Little Man (1966).
Een eutrigon (Grieks : eu > goed, tri > drie, gon > hoek) is een driehoek waarvan één van de hoeken 60° is. Stel dat a en b de aanliggende zijden zijn van die hoek en c de overstaande zijde.
Dan geldt de volgende stelling.
De oppervlakte van een eutrigon is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd op de zijden a en b, verminderd met de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek geconstrueerd op de zijde c.
Deze uitvinding van een Amerikaanse handelsreiziger is een draagbaar slot dat men op reis kon meenemen. Het diende om een standaardslot van hotelkamers van binnenin af te sluiten en het was blijkbaar in een handomdraai op het deurslot aan te brengen.
Pappos van Alexandrië (ca. 290 - ca. 350 na Chr.) was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen. Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken dat hij een sterk meetkundig inzicht had en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.
In de Mathematicae Collectiones (Wiskundige verzamelingen), zijn bekendste werk, vinden we in Boek IV een merkwaardige veralgeming van de stelling van Pythagoras.
Op de zijden [AB] en [AC] van een willekeurige driehoek ABC construeert men naar buiten toe de willekeurige parallellograms ABDE en ACFG. H is het snijpunt van DE en FG. Op de zijde [BC] construeert men een parallellogram BCKL waarbij de zijden [BL] en [CK] even lang zijn als en evenwijdig zijn met het lijnstuk [HA]. Dan is opp. ABDE + opp. ACFG = opp. BCKL.
Hint voor het bewijs. opp. ACFG = opp. ACQH = opp. RKCS opp. ABDE = opp. ABPH = opp. RLBS.
En je had natuurlijk direct door dat de stelling van Pythagoras hiervan een bijzonder geval is ?!
Pappos van Alexandrië (ca. 290 - ca. 350 na Chr.) was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen. Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken dat hij een sterk meetkundig inzicht had en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.
DE STELLING VAN PAPPOS
Liggen A1, B1 en C1 op een rechte d1 en liggen A2, B2 en C2 op een rechte d2 , dan zijn de volgende drie punten collineair: A: het snijpunt van B1C2 en B2C1, B: het snijpunt van A1C2 en A2C1, en C: het snijpunt van A1B2 en A2B1.
Deze stelling werd later veralgemeend door Pascal voor een zeshoek ingeschreven in een kegelsnede. Twee rechten vormen immers een zogenaamde ontaarde kegelsnede.
INGESCHREVEN CIRKELS IN EEN ARBELOS
In mijn middelbare studies was ik onder de indruk van de vondst van Pappos in verband met cirkels die ingeschreven zijn in een arbelos (wat is dit?). Deze merkwaardige ontdekking levert meteen een fraai plaatje op (zie hieronder). Door gebruik te maken van een inversie (wat is dit?) met centrum P worden de cirkels C0, C1, C2 en C3 die raken aan de (halve) cirkels C en C' afgebeeld op een aantal even grote cirkels die raken aan de rechten a en b. Ze raken ook aan elkaar omdat ook C0, C1, C2 en C3 aan elkaar raken.
Deze rechten zijn zelf het beeld onder de inversie van de cirkels C en C' en staan loodrecht op PQ. Een inversie transformeert cirkels die het centrum van de inversie niet bevatten terug in cirkels. De cirkel C3 wordt op zichzelf afgebeeld. Pappos toonde bovendien aan dat het middelpunt van de cirkel Cn zich op een afstand n.dn boven de rechte PQ bevindt, waarbij dn de diameter is van de cirkel Cn (n = 0, 1, 2, 3).
Dit was een populaire stelling uit de vlakke meetkunde en is toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië (70 - 140 na Chr.) een Griekse wiskundige en astronoom.
Een eenvoudig bewijs van deze stelling zit in bijlage. Merk op dat ook de omgekeerde stelling geldig is. Meer uitleg hierover en enkele toepassingen vind je in de tweede bijlage.
GEODETEN Menelaos blijkt ook de eerste te zijn die geodeten (grote cirkels) op een sfeer (bol) bestudeerde. Geodeten zijn lijnen die de kortste afstand bepalen op een willekeurig oppervlak.
WEETJE Wist je dat er een driehoek bestaat met drie rechte hoeken? Dan hebben we het natuurlijk niet over een vlakke, maar over een boldriehoek!
Deze sneeuwruimer diende om de spoorwegen in Amerika sneeuwvrij te houden. Een enorm rad was onderverdeeld in acht sectoren en was vastgemaakt op een karretje dat door een stoomlocomotief werd voortgeduwd. Het rad kon in de twee richtingen draaien zodat het de sneeuw zowel naar links als naar rechts kon wegruimen.
Extra uur wiskunde belangrijk voor slaagkansen universiteit
Eerstejaarsstudenten aan de Universiteit Hasselt hebben een grotere kans op slagen als ze minstens vier uur wiskunde hebben gevolgd in het middelbaar onderwijs. Dat blijkt uit een onderzoek van de universiteit naar de slaagkansen van haar studenten, zo meldt de Gazet van Antwerpen. Een uur wiskunde extra betekent volgens het onderzoek een groot verschil in de slaagkansen. Een eerstejaarsstudent economie heeft bijvoorbeeld drie keer meer kans op slagen als die minstens vier uur wiskunde heeft gevolgd.
Als je kijkt naar studenten die maar drie uur wiskunde hebben gevolgd, dan is het slaagpercentage 13,5 procent. Als men vier of vijf uur gevolgd heeft, dan is dat meer dan veertig procent, legt rector Luc De Schepper uit op Radio 1. De ASO-richtingen met de beste slaagkansen? Bij Latijn-wiskunde slaagt 69 procent van de studenten in het eerste jaar van de universiteit, en in humane wetenschappen is dat helaas maar 21 procent, zegt De Schepper. Alle andere richtingen liggen tussen die twee uitersten. De Universiteit Hasselt telt wel nagenoeg geen humane richtingen. Op dat vlak wil ik het resultaat zeker relativeren, zegt de rector in De Ochtend op Radio 1. Het aantal uur wiskunde is veel minder belangrijk voor studenten die bijvoorbeeld rechten gaan studeren. De resultaten zijn vooral belangrijk voor die richtingen waar wiskunde een rol speelt.
De rector wil een bredere discussie over studierichtingen, zodanig dat ook leerlingen, begeleidende centra en leerkracht precies weten wat de gevolgen zijn van het al dan niet kiezen van een extra uur wiskunde. De universiteit zelf gaat leerlingen die drie uur of minder wiskunde hebben gehad extra begeleiden.'De bedoeling van deze studie is bijdragen aan de juiste studiekeuze en zorgen dat de slaagkansen van de studenten hoger liggen', zegt De Schepper.
Nog voor de zomer gaat UHasselt ook de slaagcijfers van eerstejaars van alle Vlaamse universiteiten en hogescholen analyseren.
Persoonlijke bedenking: niet enkel wat je ziet en hoeveel je ziet in de wiskundelessen is belangrijk maar ook HOE je het ziet!
Dank zij het werk van de Britse wiskundige Cayley kennen we nu het nut van matrices en matrixrekenen.
Elders op mijn blog heb ik me al verwonderd over het volgende eenvoudige verband tussen kwadraten en derdemachten:
Aan de hand van de onderstaande n x n - matrix waarin elk element gelijk is aan het product is van zijn rij- en kolomnummer kunnen we dit verband gemakkelijk bewijzen.
Een combinatie van een aantal factoren zorgt ervoor dat we bij het waarnemen van sommige fenomenen op het verkeerde been worden gezet. Vaak speelt de achtergrond van de figuur hierbij een misleidende rol.
Laten we ook niet vergeten dat driedimensionele objecten die we waarnemen met een sterke kromming op ons netvlies als tweedimensionale voorwerpen worden vervormd. We nemen ze toch in de juiste verhoudingen waar dank zij een leerproces en onze ervaring en ook dank zij de fascinerende werking van onze hersens.
De Hering-illusie werd die in 1861 ontdekt door de Duitse fysioloog Ewald Hering. De twee verticale lijnen zijn recht maar lijken (naar buiten) gebogen door het lijnenpatroon op de achtergrond.
De Wundt-illusie werd voor het eerst beschreven door de Duitse psycholoog Wilhelm Wundt in de 19de eeuw. De twee horizontale rode lijnen zijn recht, maar lijken gebogen ten gevolge het patroon van gehoekte lijnen op de achtergrond.
De Ehrenstein-illusies danken hun naam aan de Duitse Walter Ehrenstein (1899-1961). De eerste illusie betreft een vierkant op een aantal concentrische cirkels, die ervoor zorgen dat we de zijden van het vierkant als gebogen lijnstukken waarnemen. Bij de tweede illusie nemen we witte cirkeltjes waar die er echter niet zijn. Hier zorgt het spel van licht en contrast voor de illusie.
De Orbison-illusie werd voor het eerst beschreven in 1939 door de Amerikaanse psycholoog William Orbison. Met een hoekenpatroon als achtergrond lijkt het vierkant niet langer op een vierkant en ook de cirkel lijkt een flinke deuk gekregen te hebben.
We zien de dingen niet zoals ze zijn, maar zoals wij zijn. Anais Nin
Alle problemen zijn illusies van het denkvermogen. Eckhart Tolle
Iedereen staat alleen, en toch hebben we vrienden om de illusie te hebben dat we niet alleen staan. Hugo Raes
Verloren illusies zijn gevonden waarheden. Multatuli
Soms speelt ook de herinnering een belangrijke rol bij een visuele waarneming. Onze hersens dwingen ons ertoe te zien wat we eerder hebben gezien (of willen zien).
Maar jij had hierin natuurlijk direct een lamp herkend!
Een knappe studente uit Merksplas was de primus van haar klas. Ze maakte echter groot misbaar toen bleek dat haar wiskundeleraar slechts een optische illusie was.
Meisjes babbelen evenveel, maar de jongens worden gestraft
Bron: Het Nieuwsblad
Jongens en meisjes babbelen evenveel in de klas, maar toch is drie kwart van de terechtwijzingen voor de jongens. Dat blijkt uit een grootschalig onderzoek van drie Belgische universiteiten. Leerkrachten discrimineren jongens, maar doen dat niet bewust, zegt onderzoekster Els Consuegra.
De stereotypen van de stoute jongen en het brave meisje zijn hardnekkig. Dus wordt een jongen die babbelt in de klas harder aangepakt dan een meisje dat konkelfoest. De Vlaamse leerkrachten in het secundair onderwijs zijn ervan overtuigd dat ze jongens en meisjes op een gelijke manier behandelen. Maar in werkelijkheid hanteren ze twee maten en twee gewichten. Jongens worden veel vaker met de vinger gewezen, ook al zitten de meisjes in hun klas net zo vaak te fluisteren. Een meisje zal een hogere score krijgen op een toets, ook al heeft de jongen twee banken verder een identieke prestatie geleverd.
Tot die verrassende conclusie komt een studie van onderwijsdeskundige Els Consuegra van de Vrije Universiteit Brussel. Haar werk kadert in een grootschalig genderonderzoek, waarbij vorsers van de KU Leuven,de UGent en de VUB drie jaar lang meer dan 6.000 Vlaamse leerlingen volgen.
Ik schrik niet van de bevindingen van dit onderzoek, zegt Mieke Van Hecke, topvrouw van het katholiek onderwijs. Je kan moeilijk ontkennen dat die onbewuste mechanismen bij leerkrachten aanwezig zijn. Er zijn veel meer vrouwelijke leerkrachten. Die hebben het soms moeilijk met het drukke van jongens en bevoordelen het gedragspatroon van meisjes. Als is het niet de enige verklaring voor de mindere motivatie en resultaten van jongens.
Leraars straffen blijkbaar gemakkelijker dan ouders ...
Schrijf een willekeurig positief geheel getal op met 2 of 3 cijfers. Schrijf daaronder het getal dat je bekomt door de cijfers in omgekeerde volgorde op te schrijven. Tel beide getallen bij elkaar op. Herhaal daarna dit procedé op de som. Blijf herhalen tot je een palindroomgetal uitkomt. Dit is een getal dat hetzelfde blijft als je de cijfers in omgekeerde volgorde opschrijft. Dergelijke getallen (zoals 343, 1001, 16761, 6401046) noemt men ook wel eens Sheharazadegetallen en zo verwijst men naar de 1001-nacht-verhalen.
Voorbeeld. Startgetal = 29 29 + 92 = 121 en 121 is een palindroomgetal.
Voorbeeld. Startgetal = 279 279 + 972 = 1251 1251 + 1521 = 2772 en 2772 is een palindroomgetal.
Men vermoedt dat je met 196 als startgetal nooit op een palindroomgetal zult eindigen. Er werd zelfs al een computer ingeschakeld, maar ook zo kwam men (nog) niet uit op een palindroomgetal.
Ja, met zo een gekke ideeën vullen sommige wiskundigen hun dagen ...
Probeer jij het eens met 89 als startgetal? En geef het maar niet te vlug op!
Een Lychrel-getal is een natuurlijk getal dat niet in een palindroom resulteert na een eindig aantal keren iteratief optellen van de vorige uitkomst en diezelfde uitkomst met de cijfers in omgekeerde volgorde. De naam Lychrel werd in 2002 voorgesteld door Wade VanLandingham en het is een ruw anagram van Cheryl, de naam van zijn vriendin.
Het worden spannende momenten voor Felix Van Groeningen, de regisseur van The Broken Circle Breakdown en voor de hoofdrolspelers Veerle Baetens en Johan Heldenbergh. Binnenkort weten we of ze er in Hollywood in slagen om de Oscar weg te kapen voor de beste buitenlands film.
Lees ook de bijdrage waarin Eddy Eerdekens (KNACK magazine) 10 redenen aangeeft waarom deze film een Oscar verdient.
We duimen alvast met zijn allen!
In afwachting kan je proberen het volgende probleem op te lossen dat uiteraard te maken heeft met 'het breken van een cirkel'.
Oscar houdt een pizzeria open en hij heeft de gewoonte om zijn pizza's op een eigenaardige manier in vier even grote stukken te snijden. Hij doet dat op onderstaande wijze.
Als de straal van de pizza 16 cm is, hoe breed moet dan het linkse (en het rechtse stuk) zijn om zo de pizza dan in vier stukken even grote stukken te kunnen snijden?
Elders op mijn blog vind je informatie over de maantjes van Hippocrates en ik heb op mijn blog ook een paar varianten hierop vermeld (zoekopdracht: Hippocrates).
De bovenstaande sangaku is meteen nog een leuke variatie op deze eigenschap.
Waarom is de rode oppervlakte gelijk aan de groene?
Rond 1850 was de fiets nog in volle ontwikkeling en de afbeelding toont als het ware een eerste ontwerp voor een tandem waarmee twee passagiers tegelijk een verplaatsing konden maken. Met behulp van een staaf kon men min of meer de richting veranderen en door de twee staven naar elkaar toe te schuiven kon men de fiets afremmen. Het schommelen van het bakje zorgde wel voor wat evenwichtsoefeningen.
Dat M.C. Escher heel wat grafische kunstenaars heeft beïnvloed is algemeen geweten. Maar heel wat van deze artiesten bleven vrij anomiem alhoewel ze vaak schitterende werkjes hebben geproduceerd.
We stellen er hier nog eens twee in de kijker.
NIKOL is het pseudoniem van Lyubov Nikolayeva. Deze kunstenares uit Oekraïne werkt haar fantasieën uit met behulp van pen en inkt.
Vicente Meavilla Seguí is een Spaanse wiskundige en grafische kunstenaar. In zijn kleurrijke en fijnzinnige werkjes zijn heel wat wiskundige thema's verwerkt.
István Orosz werd in 1951 in Hongarije geboren. Hij is een briljant tekenaar en bedacht heel wat optische illusies. Deze veelzijdige grafische kunstenaar ontwierp ook affiches en theaterdecors.
De wiskundegoochelaar beweert dat hij een magisch 4 x 4 - vierkant zal neerschrijven waarbij de magische constante een willekeurige getal is tussen 30 en 70 dat door iemand uit het publiek is gekozen.
Hoe gaat hij hiervoor te werk? Stel dat G het gekozen getal. Hij schrijft het onderstaande rooster op en vult daarin de vermelde getallen in (die hij van buiten geleerd heeft).
Op de plaats van x, y, z en t zet hij dan respectievelijk de getallen G 19, G 18, G 21 en G 20. Je kunt nagaan dat de som van de 4 getallen op elke rij, in elke kolom en op de twee diagonalen dan gelijk is aan G.
Oplossing in bijlage.
