OSCAR REUTERSVÄRD

Ik kan me niet voorstellen dat een wiskundige nooit gehoord heeft van 'de onmogelijke figuren' van Reutersvärd

In 1984 kocht ik in Zweden deze drie postzegels die werden uitgegeven
om het werk van Oscar Reutersvärd even in de kijker te plaatsen.

Geniet nog even mee van enkele andere 'onmogelijke figuren'.

En wie maar niet genoeg krijgt van onmogelijke figuren
verwijzen we graag door naar de volgende website:
http://im-possible.info/english/library/index.html .

24-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MAGISCH VIERKANT

De wiskundegoochelaar beweert dat hij een magisch 4 x 4 - vierkant zal neerschrijven
waarbij de magische constante een willekeurige getal is tussen 30 en 70
dat door iemand uit het publiek is gekozen.

Hoe gaat hij hiervoor te werk?
Stel dat G het gekozen getal.
Hij schrijft het onderstaande rooster op en vult daarin de vermelde getallen in (die hij van buiten geleerd heeft).



Op de plaats van x, y, z en t zet hij dan respectievelijk
de getallen G – 19, G – 18, G – 21 en G – 20.
Je kunt nagaan dat de som van de 4 getallen op elke rij,
in elke kolom en op de twee diagonalen dan gelijk is aan G.

23-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Paul Baars neemt een unieke plaats in bij de grafische ontwerpers en reclamemakers.
Zijn  ontwerpen getuigen van een sobere creativiteit 
en via optische effecten en eenvoudige visuele verschijnselen
weet hij de kijker altijd weer te verrassen.


  

 

 


Bron: www.paulbaarsdesign.nl
     http://www.optischefenomenen.nl/paul-baars

22-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE EN 120 GRADEN

Hoeken van 120° spelen een in de wiskunde een belangrijke rol,
o.a. bij het bepalen van de kortste afstand.
Zoek bv. op mijn blog naar 'punt van Fermat'.

Hieronder schotelen we je een klassieke oefening voor
uit de vlakke meetkunde over een driehoek met een hoek van 120°.

Vind je een oplossing?

En de onderstaande afbeelding bewijst wellicht waarom sommige wiskundigen slechte huiskoks zijn ...

Bijlagen:
Bewijs opgave over 120°.pdf (186.4 KB)   

 

PROBLEEM 13

Toon aan dat de derdemacht van elk positief geheel getal
gelijk is aan het verschil van twee kwadraatgetallen.

Voorbeelden.
4³ = 64 = 100 – 36 = 10² – 6²
10³ = 1000 = 3025 – 2025 = 55² – 45²

UITVINDING 13

Wie dacht dat kip-aan-het-spit een recent fenomeen is
heeft het duidelijk verkeerd voor.
Ruim 150 jaar geleden gebruikte men in Frankrijk
metalen kokers waarin een kip werd gebraden
door toevoeging van warme lucht.
Die warme lucht zorgde er meteen ook voor
dat 'het spit' automatisch bleef ronddraaien.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 13_oplossing.pdf (162.7 KB)   

WAT ZIEN IK?

Optische illusies hebben iets paradoxaals
en precies dat onverklaarbare zorgt
voor een magische aantrekkingskracht.

VOORBEELD 1
The freezing rotation illusion.

Hierbij heb je de illusie dat de tekst af en toe blijft haperen
terwijl hij eigenlijk continu blijft doordraaien.





VOORBEELD 2
Neon-hart-illusie (G. Sarcone)

Schijnbaar licht het hart op middenin de figuur.
Als je de tekening echter van dichtbij bekijkt,
blijkt dit niet meer dan een illusie te zijn.

TOEMAATJE.

Heb jij toen ook naar de Benny Hill show gekeken?



Bron: goochel-trucs.nl

19-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Studietip
 Maak je aantekeningen op papier

Maak jij je aantekeningen op je laptop of tablet?
Het lijkt handig, snel en gemakkelijk.
Toch kun je beter weer 'ouderwets' aantekeningen gaan maken met pen en papier.
Studenten die aantekeningen maken op papier
zijn namelijk beter in staat de informatie te reproduceren
dan studenten die digitale aantekeningen maken.

Dat blijkt uit een onderzoek van twee studenten psychologie (aan Princeton en UCLA). Zij vroegen studenten een lezing bij te wonen en aantekeningen te maken op de voor hen gebruikelijke manier. Ze konden gebruikmaken van zowel notitieboekjes als laptops. Een half uur na de lezing moesten de testpersonen een test afleggen, waarbij de feitenkennis en de toepassing van de kennis werd getoetst. Beide groepen scoorden even hoog op feitenkennis, maar de digitale groep scoorde veel lager op kunde.

Tussendoor tijd om te studeren
De studenten met laptop maakten erg veel aantekeningen. Ook waren ze geneigd de lezing woordelijk over te nemen. Om te testen of de grote hoeveelheid aantekeningen juist niet handig is als je een poos later de stof moet gaan leren, hielden de onderzoekers nog een experiment. Dat had dezelfde opzet als het eerste onderzoek, alleen wisten de testpersonen nu dat ze over een week een test moesten doen en dat ze tussen door tijd zouden hebben om te studeren.

Aantekeningen opschrijven is beter
Wat bleek: de studenten die aantekeningen maakten met pen en papier en naderhand konden studeren, deden het veel beter dan alle andere studenten in het experiment. Op beide onderdelen scoorden ze veel hoger dat de studenten die in feite de lezing hadden getranscribeerd.

Andere manier van aantekeningen maken
Opvallend: tijdens de lezing werd aan de studenten met laptop gevraagd om niet de lezing te transcriberen. Toch bleven zij woord voor woord overnemen wat er werd verteld. Kennelijk is het moeilijk om al typend dezelfde soort aantekeningen te maken als wanneer je schrijft. Je gebruikt dan eigen tekens (sterretjes, pijltjes) en opsommingen en je parafraseert de informatie. Dat leidt kennelijk tot diepere verwerking, het 'plant' de nieuwe kennis steviger in je geheugen.

18-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

REKENKUNDIGE CURIOSA

Toen ik op de middelbare schoolbanken zat
konden we genieten van een cursus elementaire rekenkunde.
'Basiskennis van toen' zal men nu wellicht als 'rekenkundige curiosa' beschouwen. 



CURIOSUM 1

Als a, b en c natuurlijke getallen zijn die niet deelbaar zijn door 3
dan is a² + b² + c² wel deelbaar door 3.

Voorbeeld.
5² +7² + 10² = 174 = 58 x 3.



CURIOSUM 2

Als n, a en b natuurlijke getallen zijn met n² = ab
en waarbij de grootste gemene deler van a en b gelijk is aan 1,
dan zijn a en b zelf ook kwadraatgetallen.

Voorbeeld. 
30²  = 4 x 225  met 4 = 2² en 225 = 15²
en ook is 30² = 9 x 100 met 9 = 3² en 100 = 10² .



CURIOSUM 3

Voor elk natuurlijk getal n is n⁵

Als jij geen verklaring hebt voor deze curiosa, lees dan de bijlage.

Er zijn ook curiosa waarvoor men nog geen verklaring gevonden heeft.
In dat geval een wiskundig vermoeden (conjectuur).



CURIOSUM 5

Voor elk natuurlijk getal n (n > 1) bestaan er natuurlijke getallen a, b en c
zodat 4/n = 1/a + 1/b + 1/c.

Voorbeeld.
Als n = 5 zijn er zelfs twee oplossingen:



Dit is het vermoeden van Erdös-Straus.
Het werd geverifieerd voor alle natuurlijke getallen tot 10¹⁸
maar is nog niet in het algemeen bewezen. 

Bijlagen:
REKENKUNDIGE CURIOSA.pdf (64.2 KB)   

HET PROBLEEM VAN DE VIER ECHTPAREN

n! (lees: n-faculteit) is een algemeen gekend wiskundig symbool.
Daarnaast bestaat ook n!! (n-dubbelfaculteit), waarbij bijvoorbeeld
6!! = 6 x 4 x 2 = 48   en  7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105.

Wiskundigen kennen ook het symbool !n (of zouden dit toch mogen kennen!).
Dit houdt verband met het volgende probleem.
Stel dat 3 personen op 3 stoelen plaatsnemen.
Op hoeveel  manieren kunnen ze dan in een andere volgorde gaan zitten
zodat geen van hen op zijn oorspronkelijke positie blijft zitten?
Het aantal manieren is gelijk aan !3 = 2.
Stel namelijk dat ABC de oorspronkelijke posities aanduiden,
dan zijn BCA en CAB de enige twee permutaties waarbij geen element vast blijft.

!n is een wiskundig symbool dat staat voor het aantal permutaties van n elementen waarbij geen enkel element vast  blijft.
Zo is !1 = 0, !2 = 1, !3 = 2 ...
Dit zijn de zogenaamde montmortgetallen (zoekopdracht op mijn blog: Montmort).
In het Engels spreekt men van subfactorials ('subfaculteiten').
Zie ook op http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement .

*******************************************************************************************************************

Kan je nu het volgende probleem oplossen?

Bij een quiz stelt de presentator aan de kandidaat vier echtparen voor (die telkens uit een man en een vrouw bestaan).
Alleen wordt aan de kandidaat niet verteld wie bij wie hoort. Het is de bedoeling dat hij dit raadt.
Hoe groot is dan de kans dat hij geen enkel koppel juist raadt?

Zo heb je weer iets om over na te denken ...

De oplossing  met wat uitleg over de montmortgetallen zit in bijlage.

Bijlagen:
MONTMORTGETALLEN.pdf (190.2 KB)   

PRIMEUR

Studenten dienen klacht in na 'te moeilijk' examen

Bron: De Standaard.

De derdejaars studenten Architectuur van Gent hebben een klacht ingediend bij de examencommissie over het examen voor het vak gebouwuitrusting.

Dat was zo moeilijk dat maar zeven van de tweehonderd studenten ervoor geslaagd zijn. Drie kwart van de studenten hebben zelfs een nul.

Dat is niet meer ernstig, vinden de studenten.

'Toen ik mijn punten zag, dacht ik eerst dat er een fout gemaakt was', vertelt Silke Swaenepoel.

 'Ik heb nog nooit van mijn leven een 0 behaald'. Silke is lang niet de enige met een grandioze buis op het vak gebouwuitrusting.

Van de 200 derdejaars studenten zijn er maar 7 geslaagd.

Gebouwuitrusting is een technisch vak waarin de studenten leren hoe ze gebouwen moeten aanpassen aan de huidige bouwvoorschriften.

De docent paste voor het examen de giscorrectie toe, en blijkbaar struikelden heel wat studenten daar over.

Een aantal van hen hebben intussen een klacht ingediend bij de examencommissie.

Omdat zoveel studenten niet slaagden werd intussen beslist dat wie wil nog voor de zomer en de tweede zit al kan herkansen op het examen.

'De studenten moeten veel leren en we moeten hen de kans geven om dat stilaan op te bouwen', zegt Carl Bourgeois, vice-decaan en voorzitter van de examencommissie.

 'Daarom werken we aan een oplossing voor deze situatie, maar tegelijkertijd zullen de studenten ooit wel de zelfzekerheid moeten hebben om hier mee om te gaan.'

Een wiskundeprof uit Gent
was voor zijn moeilijke examens gekend.
Al zijn studenten presteerden slecht.
De rector wees hem terecht.
Nu is hij met een lagere wedde content.

15-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ONTMOETEN

Toen ik op de middelbare schoolbanken zat kregen we heel wat vraagstukken voorgeschoteld
die te maken hadden met wandelaars en voertuigen die elkaar ontmoeten of inhalen.
We leerden de opgave te herleiden tot een vergelijking met één onbekende.
Nu zijn dit soort opgaven nog steeds nuttig om onze leerlingen
de techniek van het MATHEMATISEREN aan te leren.

Hieronder vind je vier opgaven uit het LEERBOEK DER ALGEBRA
van N.-J. Schons en C. De Cock, uitgegeven door De Procure in 1963.

Hoeveel kan jij ervan oplossen?


VRAAGSTUK 1
Twee wandelaars gaan elkaar tegemoet uit A en B.
De eerste legt 5 kilometer per uur af en vertrekt uit A om 9 uur.
De tweede legt 6 kilometer per uur af en vertrekt uit B om 10 uur.
De afstand tussen A en B bedraagt 27 kilometer.
Waar en wanneer ontmoeten ze elkaar?



VRAAGSTUK 2
Een bommeltrein die 9 mijl per uur rijdt vertrekt om 9 uur stipt
en 3 uur en 30 minuten na een goederentrein die 4 mijl per uur vordert.
Waar en wanneer rijdt de eerste de tweede voorbij?



VRAAGSTUK 3
Twee steden A en B liggen 64 kilometer van elkaar.
Een fietser die met een constante snelheid rijdt vertrekt om 9 uur uit A en komt in B aan om 13 uur.
's Anderdaags vertrekt hij om 10 uur uit B en rijdt terug naar A met dezelfde constante snelheid.
Op welke plaats is hij twee keer op hetzelfde tijdstip voorbijgekomen?



VRAAGSTUK 4
Bepaal het tijdstip tussen 15 uur en 16 uur
waarop de grote en de kleine wijzer van een uurwerk precies gelijk staan.

Oplossingen in bijlage.

Bijlagen:
Vraagstukken over ontmoeten en inhalen - oplossing.pdf (158 KB)   

VALENTIJN 

Ik sta voor het beslagen raam
en teken een hartje om je naam.
 Ik hoop dat de magie zal werken
en dat je dit op zult merken.
 En mocht je het toch niet hebben gezien
 kijk dan vlug eens op je grafische rekenmachien.

14-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 14

 UITVINDING 14

In tijden waarin heel veel mensen begonnen te reizen
stelde zich meteen ook het probleem om de vaak zware reiskoffers te verplaatsen.
Mr. Robert, een zekere Amerikaan kwam blijkbaar als eerste op het idee
om twee wieltjes te plaatsen aan het ene uiteinde van grote koffers.
Op die manier verloor men weliswaar een beetje plaats in de koffers
maar het transporteergemak compenseerde dit ruimschoots.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 14_oplossing.pdf (208 KB)   

MULTINOMIUM

Via het binomium van Newton hebben we een formule om (a + b)ⁿ te berekenen, met n een natuurlijk getal:

Maar wat doe je met (a + b + c + ... + k + l)^m, met  m een natuurlijke getal?

Hiervoor bestaat de zogenaamde multinomium-formule (die normaal gezien in het secundair onderwijs niet aan bod komt):

Zo is bijvoorbeeld

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc²  + 6abc.

Tijdens een ontspannende zoektocht naar nieuwe VWO-vragen ontdekte ik toevallig
een leuke eigenschap van kwadraatgetallen die je met behulp van de formule voor (a + b + c)² kunt bewijzen.

EIGENSCHAP

Als N = a²  + b² + a²b², waarbij a en b twee opeenvolgende gehele getallen zijn,
dan is N zelf een kwadraatgetal (= het kwadraat van een geheel getal).

Voorbeelden. 

 a = 1 en b = 2   ⇒ N = 1 + 4 + 4 = 9 = 3²

a = 2 en b = 3 ⇒ N = 4 + 9 + 36 = 49 = 7²

a = 99 en b = 100 ⇒ N = 9 801 + 10 000 + 98 010 000 = 98 029 801 = 9 901².

Kan je dit in het algemeen bewijzen?

12-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PROSIT!



Een raadseltje uit 2004:

Fred drinkt gemiddeld per week dubbel zoveel pintjes als Wilma.
Als Fred per week vier pintjes minder zou drinken en Wilma  vier pintjes meer
dan zouden ze er beiden gemiddeld evenveel drinken.
Hoeveel pintjes drinkt Fred gemiddeld per week?

Een raadseltje uit 2014:

Hoeveel pintjes drinken de gemiddelde mannelijke en vrouwelijke Vlaamse student meer per week
dan 10 jaar geleden volgens een recent  grootschalig onderzoek?

1 op de 2 studenten drinkt ongezond veel

 


De helft van de studenten drinkt te veel. Zodanig veel dat het problematisch wordt
volgens de regels van de Wereldgezondheidsorganisatie (WGO).
Dat blijkt uit een onderzoek van verschillende grote Vlaamse universiteiten
en de Vereniging voor Alcohol en Drugsproblemen (VAD).

Mannen drinken meer

Bijna elke student drinkt alcohol, de ene al meer dan de andere. De populairste drank blijft nog altijd bier. Mannelijke studenten drinken wel een pak meer dan vrouwen. Er doen twee keer meer mannen eens per maand aan bingedrinken dan vrouwen en het aantal mannelijke studenten dat het afgelopen half jaar minstens drie keer dronken is geweest, ligt drie keer zo hoog als bij hun vrouwelijke collega's.

Kotstudenten drinken meer

Studenten die op kot zit lopen een pak meer risico om problematisch veel te drinken dan studenten die thuis blijven wonen. Kotstudenten drinken vaker, doen vaker aan bingedrinken en ze scoren slechter op de schaal van de WGO. 

Medicijnen

Ongeveer één op de twintig studenten gebruikt medicijnen. Het gaat dan om zowel kalmeerpillen als stimulerende geneesmiddelen. Vooral in de examenperiodes nemen studenten meer medicijnen in. Ook hier gebruiken mannen weer een pak meer dan vrouwen.

Drugs

Bijna een kwart van de studenten heeft het afgelopen jaar minstens één keer cannabis gebruikt. Ook hier scoren mannen slecht: er zijn niet alleen meer mannelijke gebruikers, ze gebruiken ook regelmatiger. 

20.000 studenten

Voor het onderzoek zijn zo'n 20 000 studenten bevraagd. Uiteindelijk werd daaruit een steekproef van 2 375 studenten getrokken. Die antwoorden werden verwerkt door medewerkers van de UGent, KU Leuven, Universiteit Antwerpen, de Antwerpse hogescholen en de KHLimburg.

Bron: VTM Nieuws

Naar het schijnt is er bij de bevoegde Vlaamse minister een vraag ingediend
om in de omgeving van hogescholen en in de universiteitssteden
een nieuw verkeersbord te plaatsen om te waarschuwen voor overstekende studenten.

11-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ONMOGELIJKE MEETKUNDE

Jos Leys zullen veel wiskundigen ongetwijfeld kennen
van de schitterende wiskundige films 'Dimensions' en 'Chaos'
(zie: www.josleys.com )

Maar blijkbaar waagde hij zich ook aan het schetsen
van een aantal onmogelijke figuren in de stijl van Escher en Reutersvärd.

Ziehier een paar proevertjes.

 

Geniet verder op http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232

11-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

ONMOGELIJK?

De Nederlandse kunstenaar M.C. Escher is o.a. beroemd geworden
door een aantal tekeningen van onmogelijke figuren.
Hij kende een respectabel aantal navolgers waarbij we ongetwijfeld
  Oscar Reutersvärd (Zweden, 1915-2002) (zie elders op mijn blog)
en de Belg Jos de Mey (zie elders op mijn blog) mogen rekenen.


                             Ook  Sandro Del-Prete (Zwitserland, 1937 -) behoort tot dit groepje wiskunstenaars.             
                  




Sandro Del-Prete en zijn eerder artistieke creaties.

Bron: http://www.sandrodelprete.com/

    

        

10-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

MET WISKUNDE HET NOORDEN BEPALEN

Wellicht heb ook jij ooit in de aardrijkskundelessen
enkele praktische regeltjes geleerd om het noorden te bepalen.

We zetten er hier graag twee op een rij waarbij een beetje wiskundekennis volstaat.

Voor het eerste heb je een polshorloge met wijzers nodig.
Heel veel jongeren hebben nu echter een digitaal uurwerk
of ze gebruiken gewoon hun smartphone als klok.

Voor het tweede moet je 's nachts sterren gaan zoeken.
Maar door de overvloedige verlichting en vaak ook door de bewolking
zijn de sterren in heel veel regio's niet meer te zien.

 

 Is een kompas (gratis als App beschikbaar op tablets) dan toch het meest efficiënte middel?

**************************************************************************************************************

Toen Einstein vijf jaar was kreeg hij van zijn vader een kompas en hij verwonderde zich
er blijkbaar direct over dat de naald steeds weer in dezelfde richting ging wijzen.
Zo zie je maar tot wat het gebruik van een kompas op jeugdige leeftijd kan leiden.

Een leraar geografie uit Koeweit
kwam blijkbaar nergens op tijd.
Om geen risico meer te lopen
ging hij een digitaal uurwerk kopen.
Sindsdien is hij het noorden kwijt.

09-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Jos de Mey (1928 - 2007)
was een Vlaamse kunstenaar en binnenhuisarchitect
die een aantal onmogelijke figuren schilderde in de stijl van M.C. Escher.
In zijn schilderijen figureren bovendien personages
uit het werk van René Margritte en Pieter Bruegel de Oude.

Tijdens de Nationale Wiskundedagen in Nederland ontmoette ik Jan M. Broeders
die de grootste privé-collectie van werken van Jos de Mey bezit.
Hij vertelde me vol enthousiasme over de optische illusies,
de wiskundige constructies en de onmogelijke figuren
die voorkomen in het werk van deze Vlaamse kunstenaar.

Referenties:
www.optischefenomenen.nl 
www.arsetmathesis.nl

Wie is 'sant in eigen land'?

      

08-02-2014 om 22:27 geschreven door Luc Gheysens  

DISPHENOÏDE

Een disphenoïde (Grieks: δις = tweemaal, σφηνος = wig, ειδος = vorm)
is een viervlak waarvan de vier zijden congruente scherphoekige driehoeken zijn.

Op de Nationale Wiskundedagen in Nederland 2014 bestond één van de opdrachten
van de 'wisrun' erin uit een envelop een disphenoïde te maken.

Op de onderstaande afbeeldingen zie je hoe je dat zelf kunt uitproberen.

Kan je ook bewijzen dat je hiermee een viervlak bekomt
waarvan de vier zijden congruente driehoeken zijn?

En uiteraard is een regelmatig viervlak een speciaal geval van een disphenoïde.

 

STELLING OVER DE DISPHENOÏDE
De som van de afstanden van een willekeurig punt P
binnen een disphenoïde tot de vier zijvlakken is constant
d.w.z. onafhankelijk van het gekozen punt.

Bewijs.
Verbind het punt P met de vier hoekpunten.
Op die manier is de disphenoïde verdeeld in vier driezijdige piramiden
waarvan het grondvlak dezelfde oppervlakte A heeft.
Noem h₁, h_2^, h₃ en h₄ de afstanden van P tot de vier zijvlakken
en noem V het volume van de dispenoïde.

Dan is V = h₁A/3 ^₊ h₂ A/3 ^₊ h₃ A/3 ^₊ h₄ A/3
zodat h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = 3V/A.

07-02-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens