Proclamatie 19 mei 2010 Gastspreker: Prof. Marcus du Sautoy, University of Oxford
Op de
proclamatie naar aanleiding van de jubileumeditie van 25 jaar VWO
gaf Prof. Dr. Marcus du
Sautoy
een lezing over "Finding Moonshine: a Mathematician's journey into
Symmetry".
Deze lezing was gebaseerd op zijn boek dat in de Nederlandse editie de naam
'Het symmetrie monster' meekreeg.
Marcus is een vermaard onderzoeker en bestudeert zeta functies, p-adische
Lie-groepen en algebraische meetkunde.
Hij werd aangesteld tot Simonyi professor aan de Universiteit van Oxford,
met als opdracht wetenschappelijk onderzoek toegankelijk te maken voor het
grote publiek.
Hij publiceert populariserende boeken, en werkt sinds vele jaren mee aan radio-
en TV-programma's over wiskunde.
Op de finale van de Junior Wiskunde Olympiade werd een uitdagende 'Sangaku-vraag' gesteld. De vraag en de oplossing vind je in bijlage.
Voor de leerlingen van De Pleinschool
(Kortrijk) was deze jubileumeditie een voltreffer:
Thibout Delabie (leerling van het zesde jaar wetenschappen-wiskunde)
won de VWO-finale en de leerlingen van klas 5L9 waren laureaat van de
VWO-posterwedstrijd.
Je vindt het ontwerp van de poster in
bijlage.
De getallen van 1 tot en met 25
blijken elk een bijzondere link met een mathematisch probleem
of met een wiskundige wetenswaardigheid te hebben
en staan bovendien gerangschikt in een magisch vierkant.
Dit ontwerp diende als
inspiratiebron voor de nieuwe VWO-poster van 2010-2011,
die je kan bewonderen op http://www.vwo.be/vwo/ .
Gustav Theodor Fechner
(1801-1887) was een pionier van de experimentele psychologie.
Hij was o.a. geïntrigeerd door de gulden snede en voerde een aantal
experimenten uit naar de aantrekkingskracht
van het getal phi = (1+√5)/2, dat
ongeveer gelijk is aan 8/5 = 1,6.
Toen hij een reeks rechthoeken toonde
aan een aantal proefpersonen en vroeg welke rechthoek men als 'de
meest harmonische' aanzag
ontdekte hij dat de rechthoek waarvan de afmetingen zich verhouden
als 8:5 de voorkeur van de meesten kreeg.
De resulaten van het onderzoek van
Fechner kan je aflezen op de onderstaande pagina uit het boek Divine Proportion, PHI in Art, Nature and Science van Priya Hemenway
(De Geheime Code, de gulden snede als goddelijke verhouding in kunst, natuur en
wetenschap, Uitgeverij Librero, Kerkdriel 2010).
Edwin Hubble (1889-1953) was een Amerikaans astronoom en kosmoloog.
In de jaren twintig ontdekten astronomen dat het spectrum van bijna alle sterrenstelsels naar het rood verschoven is.
Dit betekent dus dat ze zich van ons vandaan bewegen. In 1929 toonde Edwin Hubble aan dat deze roodverschuiving groter is, naarmate het object verder weg staat.
Deze vaststelling leidde tot de hypothese van het uitdijend heelal en tot de ontwikkeling van de theorie van de Big Bang of de oerknal,
waarbij alles vanuit één punt en op één moment zou kunnen ontstaan zijn.
De wet van Hubble kan in een eenvoudige formule worden uitgedrukt:
v = H0 . d
Hierin is
Ho de Hubbleconstante uitgedrukt in km/s/Mpc, d de afstand tot de aarde in Megaparsec of Mpc (1 Mpc is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar) en v de snelheid (in km/s) waarmee het sterrenstelsel zich van ons verwijdert.
Dit betekent concreet dat de verste objecten in het heelal zich het snelst van ons verwijderen.
Op 24 april 1990 plaatste de NASA een gigantische ruimtetelescoop in een baan om de aarde en noemde hem de Hubbletelescoop, als eerbetoon aan Edwin Hubble.
Deze telescoop bestaat uit een aantal precisie-instrumenten waarmee men de ruimte kan observeren zonder last te ondervinden van de aardse dampkring.
Dit leverde spectaculaire opnames op van sterrenstelsels, exploderende sterren en mysterieuze nevels.
De Hubbletelescoop gezien vanuit de spaceshuttle Discovery.
Hieronder zie je de mysterieuze spirograafnevel, gefotografeerd door de Hubbletelescoop.
Op de website www.apod.nl verschijnt dagelijks een nieuwe ruimtefoto.
De afkorting apod staat voor Astronomy Picture of the Day.
In bijlage vind je een powerpresentatie over de Hubbletelescoop met tien van de meest spectaculaire beelden die de telescoop doorstuurde naar de aarde.
In deze presentatie maak je ook kennis met de planeten van ons zonnestelsel:
Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto (sedert 2006 gedegradeerd tot dwergplaneet).
Een 'ezelsbruggetje' om de namen van de planeten in de juiste volgorde te onthouden zijn de beginletters van de woorden uit het volgende zinnetje:
Maak Van Acht Meter Japanse Stof Uw Nieuwe Pyjama of ook: Mijn Vrouw Apprecieerde Mijn Jongste Stoute Uitspraak Niet. Pech!
IC 418: de Spirograafnevel Astronomy Picture of the Day van 11 april 2010
Met de Hubbletelescoop heeft de mens ongetwijfeld weer zijn grenzen verlegd.
Mogen we hopen dat het derde millennium nieuwe poorten opent naar de 'verovering' van het heelal
en slaagt de mens er in om intelligent buitenaards leven te ontdekken?
Op deze houtgravure uit het boek L' atmosphère météorologique populaire door Camille Flammarion (1842-1925)
slaagt de mens erin de middeleeuwse wereld te doorbreken en ontdekt hij de wondere buitenaardse wereld.
Uit een wetenschappelijke studie (lees de bijdrage op deze blog over de rechthoeken van Fechner) blijkt dat de meeste mensen als ideale afmetingen voor de lengte en de breedte van een rechthoek kiezen voor de verhouding 8:5. Merk op dat 8/5 = 1,6 en volgens Fechner ligt dit getal dicht bij het getal PHI van de gulden snede en is dit de reden waarom men deze verhouding verkiest.
In Genesis 6,15 geeft God aan Noach de opdracht een ark te bouwen: "Als volgt moet gij ze maken: de ark moet driehonderd el lang zijn, vijftig el breed en dertig el hoog".
In Exodus 25,10 lezen we hoe Jahwe aan Mozes de opdracht geeft een ark te plaatsen in een heiligdom om er de verbondsakte in te bewaren: "Ge moet een ark maken van acaciahout, twee en een halve el lang, anderhalve el breed en anderhalve el hoog."
Merk op dat de verhouding 50 : 30 gelijk is aan de verhouding 2,5 : 1,5 of ongeveer 1,66...
PI = 3,14 ...
In 1 Koningen 7, 23 wordt voor het getal pi de benaderde waarde 3 gebruikt, want er is sprake van een waterbekken met een diameter van 10 el en een omtrek van 30 el.
Verder maakte Chiram de Zee, een bekken van gegoten brons van vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el.
God wordt in de christelijke traditie voorgesteld als een Heilige en Goddelijke drie-eenheid: Vader, Zoon en Geest. Als iets in de bijbel belangrijk was, duurde het vaak drie dagen.
Want zoals Jona drie dagen en drie nachten in de buik van een grote vis zat, zo zal de Mensenzoon drie dagen en drie nachten in het binnenste van de aarde verblijven. Matteüs 12, 40
Waarop Jezus hun antwoordde: Breek deze tempel af en in drie dagen zal Ik hem doen herrijzen. Johannes 2,19
Het getal vier wijst op volmaaktheid. Zo zijn er 4 windstreken en 4 elementen (aarde, water, lucht en vuur).
Er werd ook een verlamde bij hem gebracht, die door vier mensen gedragen werd. Marcus 2,3
Hierna zag ik vier engelen bij de vier hoeken van de aarde staan. Zij hielden de vier winden van de aarde in bedwang, om te voorkomen dat er een wind over land of op zee of door de bomen zou waaien. Apokalyps of Openbaring van Johannes 6,1
Toen Jezus daar aankwam, hoorde hij dat Lazarus al vier dagen in het graf lag. Johannes 11,17
Het getal vijf verwijst vaak naar behoeften en verantwoordelijkheden van de mens.
Maar hij zei tegen hen: Geven jullie hun te eten. Ze zeiden: We hebben maar vijf broden en twee vissen. Moeten wij dan eten gaan kopen voor al die mensen?Lucas 9,13
Aan de een gaf hij vijf talent, aan een ander twee, en aan nog een ander één, ieder naar wat hij aankon.Matteüs 25,15
Dan zal het met het koninkrijk van de hemel zijn als met tien meisjes die hun olielampen hadden gepakt en erop uittrokken, de bruidegom tegemoet. Vijf van hen waren dwaas, de andere vijf waren wijs. De dwaze meisjes hadden wel hun lampen gepakt, maar geen extra olie. Matteüs 25, 1-3
Zeven is het heilig getal getal (en 7 = 3 + 4) en komt heel vaak voor in de bijbel:
God schiep de wereld in 6 dagen, waarbij de zevende dag een heilige dag is. Genesis 2,2. Na zeven dagen liet Noach de duif opnieuw vliegen. Genesis 7,10-12. Het water van de Nijl veranderde 7 dagen in bloed. Exodus. 7, 25. We moeten een zondaar 70 keer 7 maal vergeven. Matteüs 18, 22. Er waren 7 broden bij de wonderbare spijziging en er werden 7 manden met brokken opgehaald. Matteüs 15, 34-37, Markus 8, 5-8.
Tien drukt de verantwoordelijkheid uit van de mens tegenover God.
De heer heeft u toen zijn verbond geopenbaard en u bevolen om het uit te voeren: de tien geboden die Hij toen op twee stenen platen heeft gegrift. Deuteronomium 10,13
En als een vrouw tien drachmen heeft en er één verliest, steekt ze toch de lamp aan, veegt het hele huis schoon en zoekt ze alles af tot ze het muntstuk gevonden heeft?Lucas 15,8
Het getal 12 wijst op volmaaktheid (en 12 = 3 x 4).
Twaalf zonen had Jakob.Genesis 35,21
De volgende morgen bouwde hij aan de voet van de berg een altaar en richtte hij twaalf gedenkstenen op, voor elk van de twaalf stammen van Israël één.Exodus 24, 4
Toen de dag aanbrak, riep hij de leerlingen bij zich en koos twaalf van hen uit, die hij apostelen noemde: Simon, aan wie hij de naam Petrus gaf, diens broer Andreas, Jakobus en Johannes, Filippus en Bartolomeüs, Matteüs en Tomas, Jakobus, de zoon van Alfeüs, en Simon, die de IJveraar genoemd wordt, Judas, de zoon van Jakobus, en Judas Iskariot, die een verrader werd. Lucas 6, 13-16
Veertig is het getal dat verwijst naar verandering, ommekeer, loutering en beproeving. Zo duurt bijvoorbeeld de vasten veertig dagen en er zijn veertig dagen tussen de opstanding van Christus (Pasen) en zijn hemelvaart.
Mozes trad de wolk binnen en besteeg de top. Veertig dagen en veertig nachten bleef hij op de berg.Exodus 24, 18
Daarna werd Jezus door de Geest meegevoerd naar de woestijn om door de duivel op de proef gesteld te worden. Nadat hij veertig dagen en veertig nachten had gevast, had hij grote honger.Matteüs 4, 1-2
Zo ontstak de heer in toorn tegen Israël en Hij liet hen veertig jaar lang rondzwerven in de woestijn tot heel de generatie die zich tegen de heer gekeerd had, verdwenen was. Numeri 2,12
In de Apokalyps of Openbaring van Johannes13, 18 komt wellicht het meest merkwaardige getal uit de gehele bijbel voor, nl. 666 of het getal van het beest. Na 2000 jaar bijbelstudie is het nog steeds gissen wie of wat hiermee wordt bedoeld.
Nu komt het aan op scherpzinnigheid! Wie doorzicht heeft, kan het getal van het beest berekenen. Het duidt een mens aan, en het getal van die mens is 666.
Vast staat dat men reeds in de oudheid ontzag had voor het getal 666 en dat men een amulet droeg waarop een magisch vierkant met 6 rijen en 6 kolommen voorkwam met daarin de getallen van 1 tot en met 36. Merk op dat 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666. Dit amulet zou dan bescherming bieden tegen boze geesten. In elke rij, in elke kolom en op beide diagonalen van het vierkant is de som van getallen gelijk aan 111. De zes rijen (of kolommen) geven dan weer 666 als totale som.
6
32
3
34
35
1
7
11
27
28
8
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
9
26
12
36
5
33
4
2
31
Een afdrukversie van deze tekst zit in bijlage.
*****************************************
En nog meer getallenmagie met 666:
de som van kwadraten van de eerste zeven priemgetallen is 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666. en 666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13, waarbij men de middelste term in deze som kan schrijven als het product 6 . 6 . 6.
Collega An Vandersteene is een van de vele ijverige Vlaamse wiskundeleerkrachten die op een eigen website heel wat bruikbaar materiaal verzamelde (voornamelijk voor het 2de, 3de en 4de jaar aso) en ook beschikbaar stelt.
Vraag iemand in elke rij van de onderstaande tabel één getal te omcirkelen en vraag hem dan zo snel mogelijk die vijf getallen bij elkaar op te tellen.
Nog voor hij potlood en papier heeft kunnen nemen, kan jij al zeggen hoeveel de som is.
186
384
681
483
780
285
741
345
147
543
840
642
377
278
773
872
971
179
762
168
564
960
663
366
657
558
954
855
756
459
Hiervoor ga je als volg te werk.
Stel dat de getallen 681, 741, 377, 366 en 954 zijn. Tel de eenheden van de vijf getallen samen: 1 + 1 + 7 + 6 + 4 = 19. Trek dit getal af van 50; dit geeft 50 - 19 = 31. De som van de vijf getallen is dan 3119.
Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) was een Belgische wiskundige.
Hij studeerde in Gent en aan de Ecole Polytechnique in Parijs en werkte als militair in het Belgische leger en in het leger van Napoleon.
Aan de universiteit van Luik doceerde hij mijnbouw.
Hij bewees een merkwaardige stelling, die een verband legt tussen vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde.
Beschouw
een kegel met top V en een vlak dat de kegelmantel snijdt volgens een ellips.
Een willekeurige rechte op de kegelmantel en door de top V
(d. i. een beschrijvende van het kegeloppervlak), snijdt de ellips in een punt
B.
Beschrijf twee bollen in de kegel, één boven en één onder het vlak van de
ellips,
zodat beide bollen raken aan de kegelmantel en aan het vlak van
de ellips.
Dit zijn de zogenaamde bollen van Dandelin.
De stelling van Dandelin zegt nu dat de
raakpunten D en E van de bollen met het vlak van de ellips
precies de twee brandpunten zijn van de ellips.
Het volstaat hiervoor aan te tonen dat de som van de afstanden van een
willekeurig punt op de ellips tot de punten D en E constant is.
Een
ellips is (per definitie) de meetkundige plaats van de punten in een vlak
waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten in dat vlak constant is.
Die twee punten zijn dan de brandpunten van de ellips.
De willekeurige beschrijvende VB snijdt de bollen van Dandelin in de punten A
en C.
Dan is de afstand ½AC½ constant,
d.w.z. onafhankelijk van de gekozen beschrijvende VB.
De raaklijnstukken vanuit een punt aan een bol hebben dezelfde lengte en daarom
is ½BA½= ½BE½en½BC½= ½BD½ .
Hieruit volgt dat ½BE½ + ½BD½ =½BA½ + ½BC½ = ½AC½
en bijgevolg is ½BE½+½BD½constant.
Hierbij is B een willekeurig punt op de ellips en bijgevolg moeten D en E de
brandpunten zijn van de ellips.
In 2006
kon je in het Coffeehouse van het Oostendse kursaal een 'Coupe Belge' eten.
Deze ijscoupe beeldde de stelling van Dandelin op een culinair-visuele manier
uit.
Wiskundige Dirk Huylebrouck zei hierover:
" Het ijsje wordt geserveerd in een kegelvormige coupe, met één kleine bol
aardbei (Walen),
een grote bol banaan (Vlamingen), gescheiden door een taalgrenskoekje,
maar
met zwarte chocoladesaus over beide bollen (Brusselaars)."
Op 1 april stelt men de vragen die men wil (opgelost zien ...)
1. Als je van zwemmen slanker wordt, wat doen walvissen dan verkeerd? 2. Als superlijm alles vastlijmt, waarom dan niet de binnenkanten van de tube? 3. Waarom loopt je neus en ruiken je voeten? 4. Waarom worden bij de executie van ter dood veroordeelden in de VS steriele naalden gebruikt? 5. Als de meeste auto-ongelukken gebeuren in een straal van vijf kilometer rond de woning, waarom gaat dan niet iedereen tien kilometer verderop wonen? 6. Als konijnenpootjes geluk brengen, wat gebeurde er dan met dat konijn? 7. Hoe zorgt men er voor dat herten bij die verkeersborden oversteken? 8. Wat doen weekdieren tijdens het weekend? 9. Hoe plaatst men op een grasplein de bordjes 'Verboden op het gras te lopen'? 10. Waarom zegt men dat je achter jouw computer zit terwijl je er eigenlijk voor zit?
Dit is niet verwonderlijk als je weet dat een voetbal voor heel wat Hollanders een echt symbool is voor inzet en sportieve competitiegeest.
Maar wist je dat een voetbal in feite een veelvlak is (een afgeknotte icosaëder) dat bestaat uit 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken?
Kan je hieruit ook afleiden hoeveel ribben een voetbal heeft?
Dit is één van de vragen die je in de brochure in bijlage terugvindt.
Dit boekje heeft als titel "De Nederlandse Wiskunde Olympiade, 100 opgaven met hints, oplossingen en achtergronden".
Hierin staat een schat aan oefeningen voor al wie houdt van probleemoplossend denken.
Omdat een voetbal bestaat uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken zijn er (12 x 5 + 20 x 6) : 3 = 60 hoekpunten. Je moet hierbij delen door 3 omdat elk hoekpunt behoort tot 3 van de 32 veelhoeken.
Een voetbal heeft (12 x 5 + 20 x 6) : 2 = 90 ribben. Je moet hierbij delen door 2 omdat elke ribbe behoort tot 2 van de 32 veelhoeken.
Algemene term in een rij bepalen en vijfhoeksgetallen
Een vijfhoeksgetal is een geheel getal, dat gevonden kan worden als het aantal punten van gezamenlijke vijfhoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt
en (gedeeltelijk) twee gemeenschappelijke zijden, en met een telkens oplopend aantal punten per zijde. Bron: Wikipedia.
De eerste zes vijfhoeksgetallen zijn 1, 5, 12, 22, 35, 51.
Probleem: vind een formule voor de algemene term van deze rij.
We geven hieronder een efficiënte methode om de algemene term van een 'willekeurige' rij te bepalen.
We vertrekken van een voorbeeldrij: 5, 23, 59, 119, 209 ... en schrijven op de opeenvolgende lijnen hieronder telkens de verschilrij op.
In deze rij is elke term het verschil van de termen die er links- en rechtboven staan:
5 23 59 119 209 18 36 60 90 18 24 30 6 6 0
Merk op dat het proces van het nemen van de verschil hier stopt na 4 stappen.
Dit is meteen een aanduiding dat de algemene term tn van de rij kan uitgedrukt worden met behulp van een veelterm van graad 4 - 1 = 3, m.a.w. tn = an³ + bn² + cn + d.
Welnu, via de verschilrijen kan men gemakkelijk verifiëren dat 209 = 5 . 1 + 18 . 4 + 18 . 6 + 6 . 4 + 0 . 1
, m.a.w. door de eerste termen (in kleur) uit de opeenvolgende verschilrijen te vermenigvuldigen met de getallen uit de vijfde rij van de driehoek van Pascal (1, 4, 6, 4, 1) bekomt men de term 209.
In het algemeen is de n-de term uit deze rij dan gelijk aan
Hierbij zijn de getallen 1, n-1, (n-1)(n-2)/2, (n-1)(n-2)(n-3)/6, ... de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten die voorkomen in de n-de rij van de driehoek van Pascal.
Met deze methode bepalen we nu de uitdrukking voor het n-de vijfhoeksgetal Vn . We vertrekken hiervoor van de rij 1, 5, 12, 22 ... van de vijfhoeksgetallen.
Kan je nu zelf aantonen dat het n-de zeshoeksgetal gelijk is aan Zn = n (2n -1)?
Op het VVWL-congres in Blankenberge (1 en 2
juli 2010) maakte collega Antoine Verroken me erop attent
dat het probleem ook een eenvoudige en evidente oplossing heeft met behulp van
een stelsel.
Hij bezorgde meteen ook enkele referenties van boeken waarin dit probleem wordt behandeld: - Wiskunde zonder omslag (1962, 2de druk), blz. 82 - 97, W. W. Sawyer. Oorspronkelijke titel: Mathematician's delight. - Difference Equations, Walter Kelley and Allan Peterson, 1991. ISBN: 0 - 12 - 403325 - 3.
We illustreren dit met de rij 5,23,59,119,209, ...
Omdat men na vier keer nemen van differenties op de nulrij botst (zie hoger) mag men aannemen dat de algemene term van de rij wordt bepaald door een veelterm van de derde graad: tn = an³ + bn² + cn + d. Nu is t1 = a + b + c + d = 5 t2 = 8a + 4b + 2c + d = 23 t3 = 27a +9b + 3c + d = 59 t4 = 64a + 16b + 4c + d = 119.
Als oplossing van dit stelsel vindt men dan: a = 1, b = 3, c = 2 en d = -1, zodat tn = n³ + 3n² + 2n - 1.
(1 + 2)² = 9 en ook 1³ + 2³ = 9 (1 + 2 + 3)² = 36 en ook 1³ + 2³ + 3³ = 36 (1 + 2 + 3 + 4)² = 100 en ook 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100
Dit blijkt ook verder te kloppen.
WAAROM???
Een visueel bewijs voor het feit dat (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³ zie je hieronder. Het volstaat de kubussen met ribbe 2 en ribbe 3 op de gepaste manier op te delen en dan de bekomen delen tot één vlak vierkant te herschikken. Met dank aan Henri Picciotto. In bijlage vind je een analoog (algemeen) bewijs zonder woorden.
En waarom is (x + 1)² = x² + 2x + 1? Dat kan je dan weer op de onderstaande figuur aflezen
En via de onderstaande figuur kan je begrijpen waarom de som 1 + 2 + 3 + ... + 10 gelijk is aan de helft van het product van 10 en 11.
Het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen vermeerderd met 1 is gelijk aan het kwadraat van een natuurlijk getal.
Bewijs. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 (reken de uitdrukking in het linkerlid distributief uiy) = (n2 + 3n + 1) 2 (gebruik de formule (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc).
Voorbeeld. 16 . 17 . 18 . 19 + 1 = 93 025 = 3052.
Als een natuurlijk getal n gelijk is aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen a en b, dan is ook n3 gelijk aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen.
Bewijs. We maken gebruik van complexe getallen. Omdat i2 = -1 (imaginaire eenheid) is (a + bi)(a - bi) = a2 + b2. Stel n = a2 + b2 (gegeven). Dan is n3 = (a2 + b2)3 = [(a + bi)(a - bi)]3 = (a + bi)3 (a - bi)3 = (a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i) (a3 - 3a2bi - 3ab2 + b3i) = [ (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i] [ (a3 - 3ab2) - (3a2b - b3)i] = (a3 - 3ab2)2 + (3a2b - b3)2.
Was Napoleon Bonaparte (1769-1821) een getalenteerde wiskundige?
In elk geval staat is er in de literatuur een stelling op zijn naam. Het is echter niet duidelijk of er een verband is met Napoleon.
De zogenaamde stelling van Napoleon duikt voor het eerst op in 1825 in de publicatie 'The Ladies' Diary' van Dr. W. Rutherford.
Stelling van Napoleon
Als men op de drie zijden van een willekeurige driehoek buitenwaarts een gelijkzijdige driehoek construeert,
dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.
In bijlage vind je een powerpointpresentatie met een meetkundig bewijs van deze merkwaardige stelling.
Deze stelling houdt verband met
het zogenaamde punt van Fermat (1601-1665)
dat ook bekend staat als het punt van Torricelli (1608-1647).
Dit is het punt binnen een willekeurige driehoek waarvoor de som van de
afstanden tot de drie hoekpunten zo klein mogelijk is.
De constructie ervan is eenvoudig wanneer je gebruik maakt van de drie naar
buiten geconstrueerde gelijkzijdige driehoeken.
Verbind elk nieuw bekomen hoekpunt met het tegenoverliggend hoekpunt van de
oorspronkelijke driehoek ABC.
Het snijpunt van de drie verbindingslijnen is dan het punt van Fermat
(F).
De drie hoeken waaronder men vanuit het punt F de zijden [AB], [BC] en
[CA] ziet, zijn hoeken van 120°.
... een variatie op 'Cogito ergo sum' of 'Je pense donc je suis' van René Descartes (1637)?
Bewijs de zin van jouw bestaan door de volgende vijf logische raadsels op te lossen.
1 Een man staat voor een schilderij met de afbeelding van een man en vertelt ons het volgende:
" Ik heb geen broers en zussen, maar de vader van deze man is mijn vaders zoon". Wie staat er op het schilderij?
2 Een jager verlaat zijn hut vroeg in de morgen en loopt een kilometer naar het zuiden.
Daar ziet hij een beer die hij een kilometer recht naar het oosten achtervolgt, voordat hij in staat is de beer te schieten.
Nadat hij de beer geschoten heeft, sleept hij deze een kilometer recht naar het noorden naar de hut waar hij die morgen vertrok.
Welke kleur heeft de beer?
3 Op een dag ontmoet je Jan en Piet. Jan liegt op maandagen, dinsdagen en woensdagen en spreekt op de andere dagen de waarheid.
Piet liegt op donderdagen, vrijdagen en zaterdagen, maar spreekt op de andere dagen van de week de waarheid.
Ze zeggen het volgende tegen je:
Jan: "Gisteren was één van de dagen waarop ik lieg." Piet: "Gisteren was voor mij één van de dagen waarop ik loog." Welke dag is het vandaag?
4 Er zijn drie schakelaars (A, B en C) waarvan er één is aangesloten op een lamp die zich in een andere kamer bevindt.
Je mag maar één keer naar de kamer lopen om te kijken of de lamp brandt.
Hoe kun je er toch achterkomen welke schakelaar de lamp bedient?
5 Welke dag was het gisteren, als het vier dagen voor overmorgen donderdag was?
Toemaatje:
6 Vul aan met een vorm van het werkwoord kapseizen: Gisteren is er weer een boot ......................................
Het antwoord op vraag 6 vind je in het onderstaande filmpje!
Het antwoord op de andere vragen:
1 Zijn zoon. 2 Wit. De route die de jager volgt kan in drie stappen enkel weer naar zijn hut leiden als hij zich op de noordpool of op de zuidpool bevindt. Maar op de zuidpool zitten geen beren. Het is dus een ijsbeer van op de noordpool. 3 Donderdag. 4 Schakel A aan. Wacht een beetje, schakel A weer uit en schakel dan B aan. Als de lamp brandt, is het schakelaar B. Als ze warm aanvoelt is het schakelaar A en als ze koud is, is het schakelaar C. 5 Vrijdag.
Henricus Hubertus van Aubel (geboren op 20 november 1830 te Maastricht, overleden op 3 februari 1906 te Antwerpen),
was een leraar wiskunde aan het Koninklijk Atheneum van Antwerpen.
Hij bewees een merkwaardige stelling, die in de literatuur bekend staat als de stelling van Van Aubel.
Stelling.
Als men op de vier zijden van een willekeurige vierhoek buitenwaarts telkens een vierkant construeert
en de symmetriemiddelpunten van deze vierkanten overstaand verbindt,
dan bekomt men twee lijnstukken die even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.
Het was collega Edward Jennekens die me op de Dag van de Wiskunde (28 november 2009) in Kortrijk attent maakte op een eenvoudig bewijs van deze stelling door gebruik te maken van draaiingen.
Spelen met letters en woorden is ook voor Nederlandstaligen (en wiskundigen!) een leuk tijdverdrijf. Dit blijkt o.a. uit de onderstaande tekst.
Onze Taal
Het meervoud van slot is sloten. Maar toch is het meervoud van pot geen poten. Evenzo zegt men altijd: één vat en twee vaten, maar zal men zeggen: één kat en twee katen?
Wie gisteren ging vliegen zegt heden: ik vloog. Dus zegt u misschien van wiegen, ik woog? Nee, pardon. Want ik woog is afkomstig van wegen. Maar is nu ik voog een vervoeging van vegen?
En dan het woord zoeken vervoegt men ik zocht, dus hoort bij vloeken misschien ook: ik vlocht? Alweer mis, want dit is afkomstig van vlechten, maar ik hocht is geen juiste vervoeging van hechten.
Bij roepen hoort riep, bij snoepen geen sniep, bij lopen hoort liep, maar bij kopen geen kiep. En evenmin hoort er bij slopen geen sliep.
Want dit is afkomstig van t schone woord slapen. Maar zet nu weer niet: ik riep bij t woord rapen, want dit komt van roepen en u ziet terstond: zo draaien we vrolijk in t cirkeltje rond.
Van raden komt ried, maar van baden geen bied, dit komt van bieden (ik hoop dat u t ziet). Ook komt hiervan: bood, maar van wieden géén wood. U ziet: de verwarring is akelig groot.
Nog talloos veel voorbeelden kan ik u geven. Want gaf hoort bij geven, maar laf niet bij leven. Men spreekt van: wij drinken, wij hebben gedronken, maar niet van: wij hinken, wij hebben gehonken.
t Is: ik weet en ik wist, zo vervoegt men dat, maar schrijft u nu niet bij vergeten: vergist. Dat is een vergissing! Ja moeilijk is t. Het volgende geval is bijna te bont!
Bij slaan hoort: ik sloeg, niet ik sling of ik slond. Bij gaan hoort: ik ging, niet ik goeg of ik gond. Een mannetjeskat noemt men doorgaans een kater. Hoe noemt u een mannetjesrat? Soms een rater?
Zo heeft het Nederlands verschillende kwalen. Niettemin is en blijft het dé taal der talen.
Blijkbaar maakt het niet veel uit in welke volgorde
men de letters van de woorden in een tekst schrijft.
Als de eerste en de laatste letter van elk woord op de juiste plaats staan, dan
blijkt de tekst toch mooi leesbaar te zijn.
Probeer maar eens ...
Vlgones een oznrdeeok op een Eglnese
uvinretsiet mkaat het neit uit in wlkee vloogdre de ltteers in een wrood saatn,
het einge wat blegnaijrk is is dat de eretse en de ltaatse ltteer op de jiutse
patals saatn.
De rset van de ltteers mgoen wllikueirg gpletaast wdoren en je knut vrelvogens
gwoeon lzeen wat er saatt.
Dit kmot odmat we neit ekle ltteer op zcih lzeen maar het wrood als gheeel.
En slaag je er ook in de
ondertaande column zonder klinkers vlot te lezen?
Om je een beetje te helpen staan de ontbrekende klinkers onderaan de tekst
apart afgedrukt.
Wr k k zk p mn ttsnbrd; gn klnkr t bknnn. Wr zn z gblvn? Msschn p vknt, mr dt hddn z dn k wl ns mgn mldn! H kn k n n clmn schrvn zndr klnkrs? Tch hft n ndrzk ngwzn dt mnsn tkstn knnn lzn zndr klnkrs. k hp ht mr, ndrs schrf k dt vrhl ds vr nks.
Ht zl wl n krt clmn wrdn, bn k bng. n d ndr knt k wl ns gd. k hr vk, dt mn clmns vl t lng zn. k kn mtn n prp dn: wtn jll wr mn klnkrs gblvn zn? Ht s tch prttgr lzn ls z r gwn stn. k ms mn klnkrs. k wl z trg.
Vnmrgn, tn k wkkr wrd, wrn z r ng llml. N zn z wg. , d bl gt. vn kkn w dr s. J , z zn r wr! k zl z vlg tssn d wrdn vgn! Srr vr ht ngmk!
aa i oo oe o ij oeeo; ee ie e eee. aa ij e eee? iie o aaie, aa a ae e a oo e ee oe ee! oe a i ou ee ou ije oe ie? o ee ee oeoe aaeee a ee ee ue ee oe ie. I oo e aa, ae ij i i eaa u oo i.
e a e ee oe ou oe, e i a. Aa e aee a oo e ee oe. I oo aa, a ij ou ee e a ij. I a eee ee ooe oe: ee uie aa ij ie eee ij? e i o eie ee a e e eoo aa. I i ij ie. I i e eu.
aoe, oe i ae e, ae e e o aeaa. u ij e e. O, e e aa ee ije ie aa i. a, e ij e ee! I a e u ue e ooe oee! oy oo e oea!
En dan zijn ook nog de palindromen:
woorden die van voor naar achter of van achter naar voor gelezen gelijk
blijven, zoals koortsmeetsysteemstrook.
Er bestaan ook palindroomzinnen:
Baas, neem een racecar, neem een Saab. Nelli plaatst op 'n parterretrap 'n pot staalpillen. Er is daar nog onraad, sire. 'De mooie zeeman nam Anna mee', zei oom Ed. Nora bedroog, o zo goor, de baron.
PHI = (1 + √5)/2 (of ongeveer 1,6)
Een afdrukversie van deze tekst zit in bijlage.
Een afdrukversie van deze tabel zit in bijlage.
