Algemene term in een rij bepalen en vijfhoeksgetallen
Een vijfhoeksgetal is een geheel getal, dat gevonden kan worden als het aantal punten van gezamenlijke vijfhoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt
en (gedeeltelijk) twee gemeenschappelijke zijden, en met een telkens oplopend aantal punten per zijde. Bron: Wikipedia.
De eerste zes vijfhoeksgetallen zijn 1, 5, 12, 22, 35, 51.
Probleem: vind een formule voor de algemene term van deze rij.
We geven hieronder een efficiënte methode om de algemene term van een 'willekeurige' rij te bepalen.
We vertrekken van een voorbeeldrij: 5, 23, 59, 119, 209 ... en schrijven op de opeenvolgende lijnen hieronder telkens de verschilrij op.
In deze rij is elke term het verschil van de termen die er links- en rechtboven staan:
5 23 59 119 209 18 36 60 90 18 24 30 6 6 0
Merk op dat het proces van het nemen van de verschil hier stopt na 4 stappen.
Dit is meteen een aanduiding dat de algemene term tn van de rij kan uitgedrukt worden met behulp van een veelterm van graad 4 - 1 = 3, m.a.w. tn = an³ + bn² + cn + d.
Welnu, via de verschilrijen kan men gemakkelijk verifiëren dat 209 = 5 . 1 + 18 . 4 + 18 . 6 + 6 . 4 + 0 . 1
, m.a.w. door de eerste termen (in kleur) uit de opeenvolgende verschilrijen te vermenigvuldigen met de getallen uit de vijfde rij van de driehoek van Pascal (1, 4, 6, 4, 1) bekomt men de term 209.
In het algemeen is de n-de term uit deze rij dan gelijk aan
Hierbij zijn de getallen 1, n-1, (n-1)(n-2)/2, (n-1)(n-2)(n-3)/6, ... de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten die voorkomen in de n-de rij van de driehoek van Pascal.
Met deze methode bepalen we nu de uitdrukking voor het n-de vijfhoeksgetal Vn . We vertrekken hiervoor van de rij 1, 5, 12, 22 ... van de vijfhoeksgetallen.
Kan je nu zelf aantonen dat het n-de zeshoeksgetal gelijk is aan Zn = n (2n -1)?
Op het VVWL-congres in Blankenberge (1 en 2
juli 2010) maakte collega Antoine Verroken me erop attent
dat het probleem ook een eenvoudige en evidente oplossing heeft met behulp van
een stelsel.
Hij bezorgde meteen ook enkele referenties van boeken waarin dit probleem wordt behandeld: - Wiskunde zonder omslag (1962, 2de druk), blz. 82 - 97, W. W. Sawyer. Oorspronkelijke titel: Mathematician's delight. - Difference Equations, Walter Kelley and Allan Peterson, 1991. ISBN: 0 - 12 - 403325 - 3.
We illustreren dit met de rij 5,23,59,119,209, ...
Omdat men na vier keer nemen van differenties op de nulrij botst (zie hoger) mag men aannemen dat de algemene term van de rij wordt bepaald door een veelterm van de derde graad: tn = an³ + bn² + cn + d. Nu is t1 = a + b + c + d = 5 t2 = 8a + 4b + 2c + d = 23 t3 = 27a +9b + 3c + d = 59 t4 = 64a + 16b + 4c + d = 119.
Als oplossing van dit stelsel vindt men dan: a = 1, b = 3, c = 2 en d = -1, zodat tn = n³ + 3n² + 2n - 1.
(1 + 2)² = 9 en ook 1³ + 2³ = 9 (1 + 2 + 3)² = 36 en ook 1³ + 2³ + 3³ = 36 (1 + 2 + 3 + 4)² = 100 en ook 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100
Dit blijkt ook verder te kloppen.
WAAROM???
Een visueel bewijs voor het feit dat (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³ zie je hieronder. Het volstaat de kubussen met ribbe 2 en ribbe 3 op de gepaste manier op te delen en dan de bekomen delen tot één vlak vierkant te herschikken. Met dank aan Henri Picciotto. In bijlage vind je een analoog (algemeen) bewijs zonder woorden.
En waarom is (x + 1)² = x² + 2x + 1? Dat kan je dan weer op de onderstaande figuur aflezen
En via de onderstaande figuur kan je begrijpen waarom de som 1 + 2 + 3 + ... + 10 gelijk is aan de helft van het product van 10 en 11.
Het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen vermeerderd met 1 is gelijk aan het kwadraat van een natuurlijk getal.
Bewijs. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 (reken de uitdrukking in het linkerlid distributief uiy) = (n2 + 3n + 1) 2 (gebruik de formule (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc).
Voorbeeld. 16 . 17 . 18 . 19 + 1 = 93 025 = 3052.
Als een natuurlijk getal n gelijk is aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen a en b, dan is ook n3 gelijk aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen.
Bewijs. We maken gebruik van complexe getallen. Omdat i2 = -1 (imaginaire eenheid) is (a + bi)(a - bi) = a2 + b2. Stel n = a2 + b2 (gegeven). Dan is n3 = (a2 + b2)3 = [(a + bi)(a - bi)]3 = (a + bi)3 (a - bi)3 = (a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i) (a3 - 3a2bi - 3ab2 + b3i) = [ (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i] [ (a3 - 3ab2) - (3a2b - b3)i] = (a3 - 3ab2)2 + (3a2b - b3)2.
Was Napoleon Bonaparte (1769-1821) een getalenteerde wiskundige?
In elk geval staat is er in de literatuur een stelling op zijn naam. Het is echter niet duidelijk of er een verband is met Napoleon.
De zogenaamde stelling van Napoleon duikt voor het eerst op in 1825 in de publicatie 'The Ladies' Diary' van Dr. W. Rutherford.
Stelling van Napoleon
Als men op de drie zijden van een willekeurige driehoek buitenwaarts een gelijkzijdige driehoek construeert,
dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.
In bijlage vind je een powerpointpresentatie met een meetkundig bewijs van deze merkwaardige stelling.
Deze stelling houdt verband met
het zogenaamde punt van Fermat (1601-1665)
dat ook bekend staat als het punt van Torricelli (1608-1647).
Dit is het punt binnen een willekeurige driehoek waarvoor de som van de
afstanden tot de drie hoekpunten zo klein mogelijk is.
De constructie ervan is eenvoudig wanneer je gebruik maakt van de drie naar
buiten geconstrueerde gelijkzijdige driehoeken.
Verbind elk nieuw bekomen hoekpunt met het tegenoverliggend hoekpunt van de
oorspronkelijke driehoek ABC.
Het snijpunt van de drie verbindingslijnen is dan het punt van Fermat
(F).
De drie hoeken waaronder men vanuit het punt F de zijden [AB], [BC] en
[CA] ziet, zijn hoeken van 120°.
... een variatie op 'Cogito ergo sum' of 'Je pense donc je suis' van René Descartes (1637)?
Bewijs de zin van jouw bestaan door de volgende vijf logische raadsels op te lossen.
1 Een man staat voor een schilderij met de afbeelding van een man en vertelt ons het volgende:
" Ik heb geen broers en zussen, maar de vader van deze man is mijn vaders zoon". Wie staat er op het schilderij?
2 Een jager verlaat zijn hut vroeg in de morgen en loopt een kilometer naar het zuiden.
Daar ziet hij een beer die hij een kilometer recht naar het oosten achtervolgt, voordat hij in staat is de beer te schieten.
Nadat hij de beer geschoten heeft, sleept hij deze een kilometer recht naar het noorden naar de hut waar hij die morgen vertrok.
Welke kleur heeft de beer?
3 Op een dag ontmoet je Jan en Piet. Jan liegt op maandagen, dinsdagen en woensdagen en spreekt op de andere dagen de waarheid.
Piet liegt op donderdagen, vrijdagen en zaterdagen, maar spreekt op de andere dagen van de week de waarheid.
Ze zeggen het volgende tegen je:
Jan: "Gisteren was één van de dagen waarop ik lieg." Piet: "Gisteren was voor mij één van de dagen waarop ik loog." Welke dag is het vandaag?
4 Er zijn drie schakelaars (A, B en C) waarvan er één is aangesloten op een lamp die zich in een andere kamer bevindt.
Je mag maar één keer naar de kamer lopen om te kijken of de lamp brandt.
Hoe kun je er toch achterkomen welke schakelaar de lamp bedient?
5 Welke dag was het gisteren, als het vier dagen voor overmorgen donderdag was?
Toemaatje:
6 Vul aan met een vorm van het werkwoord kapseizen: Gisteren is er weer een boot ......................................
Het antwoord op vraag 6 vind je in het onderstaande filmpje!
Het antwoord op de andere vragen:
1 Zijn zoon. 2 Wit. De route die de jager volgt kan in drie stappen enkel weer naar zijn hut leiden als hij zich op de noordpool of op de zuidpool bevindt. Maar op de zuidpool zitten geen beren. Het is dus een ijsbeer van op de noordpool. 3 Donderdag. 4 Schakel A aan. Wacht een beetje, schakel A weer uit en schakel dan B aan. Als de lamp brandt, is het schakelaar B. Als ze warm aanvoelt is het schakelaar A en als ze koud is, is het schakelaar C. 5 Vrijdag.
Henricus Hubertus van Aubel (geboren op 20 november 1830 te Maastricht, overleden op 3 februari 1906 te Antwerpen),
was een leraar wiskunde aan het Koninklijk Atheneum van Antwerpen.
Hij bewees een merkwaardige stelling, die in de literatuur bekend staat als de stelling van Van Aubel.
Stelling.
Als men op de vier zijden van een willekeurige vierhoek buitenwaarts telkens een vierkant construeert
en de symmetriemiddelpunten van deze vierkanten overstaand verbindt,
dan bekomt men twee lijnstukken die even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.
Het was collega Edward Jennekens die me op de Dag van de Wiskunde (28 november 2009) in Kortrijk attent maakte op een eenvoudig bewijs van deze stelling door gebruik te maken van draaiingen.
Spelen met letters en woorden is ook voor Nederlandstaligen (en wiskundigen!) een leuk tijdverdrijf. Dit blijkt o.a. uit de onderstaande tekst.
Onze Taal
Het meervoud van slot is sloten. Maar toch is het meervoud van pot geen poten. Evenzo zegt men altijd: één vat en twee vaten, maar zal men zeggen: één kat en twee katen?
Wie gisteren ging vliegen zegt heden: ik vloog. Dus zegt u misschien van wiegen, ik woog? Nee, pardon. Want ik woog is afkomstig van wegen. Maar is nu ik voog een vervoeging van vegen?
En dan het woord zoeken vervoegt men ik zocht, dus hoort bij vloeken misschien ook: ik vlocht? Alweer mis, want dit is afkomstig van vlechten, maar ik hocht is geen juiste vervoeging van hechten.
Bij roepen hoort riep, bij snoepen geen sniep, bij lopen hoort liep, maar bij kopen geen kiep. En evenmin hoort er bij slopen geen sliep.
Want dit is afkomstig van t schone woord slapen. Maar zet nu weer niet: ik riep bij t woord rapen, want dit komt van roepen en u ziet terstond: zo draaien we vrolijk in t cirkeltje rond.
Van raden komt ried, maar van baden geen bied, dit komt van bieden (ik hoop dat u t ziet). Ook komt hiervan: bood, maar van wieden géén wood. U ziet: de verwarring is akelig groot.
Nog talloos veel voorbeelden kan ik u geven. Want gaf hoort bij geven, maar laf niet bij leven. Men spreekt van: wij drinken, wij hebben gedronken, maar niet van: wij hinken, wij hebben gehonken.
t Is: ik weet en ik wist, zo vervoegt men dat, maar schrijft u nu niet bij vergeten: vergist. Dat is een vergissing! Ja moeilijk is t. Het volgende geval is bijna te bont!
Bij slaan hoort: ik sloeg, niet ik sling of ik slond. Bij gaan hoort: ik ging, niet ik goeg of ik gond. Een mannetjeskat noemt men doorgaans een kater. Hoe noemt u een mannetjesrat? Soms een rater?
Zo heeft het Nederlands verschillende kwalen. Niettemin is en blijft het dé taal der talen.
Blijkbaar maakt het niet veel uit in welke volgorde
men de letters van de woorden in een tekst schrijft.
Als de eerste en de laatste letter van elk woord op de juiste plaats staan, dan
blijkt de tekst toch mooi leesbaar te zijn.
Probeer maar eens ...
Vlgones een oznrdeeok op een Eglnese
uvinretsiet mkaat het neit uit in wlkee vloogdre de ltteers in een wrood saatn,
het einge wat blegnaijrk is is dat de eretse en de ltaatse ltteer op de jiutse
patals saatn.
De rset van de ltteers mgoen wllikueirg gpletaast wdoren en je knut vrelvogens
gwoeon lzeen wat er saatt.
Dit kmot odmat we neit ekle ltteer op zcih lzeen maar het wrood als gheeel.
En slaag je er ook in de
ondertaande column zonder klinkers vlot te lezen?
Om je een beetje te helpen staan de ontbrekende klinkers onderaan de tekst
apart afgedrukt.
Wr k k zk p mn ttsnbrd; gn klnkr t bknnn. Wr zn z gblvn? Msschn p vknt, mr dt hddn z dn k wl ns mgn mldn! H kn k n n clmn schrvn zndr klnkrs? Tch hft n ndrzk ngwzn dt mnsn tkstn knnn lzn zndr klnkrs. k hp ht mr, ndrs schrf k dt vrhl ds vr nks.
Ht zl wl n krt clmn wrdn, bn k bng. n d ndr knt k wl ns gd. k hr vk, dt mn clmns vl t lng zn. k kn mtn n prp dn: wtn jll wr mn klnkrs gblvn zn? Ht s tch prttgr lzn ls z r gwn stn. k ms mn klnkrs. k wl z trg.
Vnmrgn, tn k wkkr wrd, wrn z r ng llml. N zn z wg. , d bl gt. vn kkn w dr s. J , z zn r wr! k zl z vlg tssn d wrdn vgn! Srr vr ht ngmk!
aa i oo oe o ij oeeo; ee ie e eee. aa ij e eee? iie o aaie, aa a ae e a oo e ee oe ee! oe a i ou ee ou ije oe ie? o ee ee oeoe aaeee a ee ee ue ee oe ie. I oo e aa, ae ij i i eaa u oo i.
e a e ee oe ou oe, e i a. Aa e aee a oo e ee oe. I oo aa, a ij ou ee e a ij. I a eee ee ooe oe: ee uie aa ij ie eee ij? e i o eie ee a e e eoo aa. I i ij ie. I i e eu.
aoe, oe i ae e, ae e e o aeaa. u ij e e. O, e e aa ee ije ie aa i. a, e ij e ee! I a e u ue e ooe oee! oy oo e oea!
En dan zijn ook nog de palindromen:
woorden die van voor naar achter of van achter naar voor gelezen gelijk
blijven, zoals koortsmeetsysteemstrook.
Er bestaan ook palindroomzinnen:
Baas, neem een racecar, neem een Saab. Nelli plaatst op 'n parterretrap 'n pot staalpillen. Er is daar nog onraad, sire. 'De mooie zeeman nam Anna mee', zei oom Ed. Nora bedroog, o zo goor, de baron.
Op 10 november 1969 begon in de Verenigde Staten Sesame Street,
een educatief programma dat kinderen in achterstandswijken spelenderwijs van hun leerachterstand wilde afhelpen.
De eerste aflevering van de Vlaams-Nederlandse versie werd pas op 4 februari 1976 uitgezonde
Zoals je hierboven kunt zien, gebruikte de zoekmachine Google zelfs speciale logo's om de 40ste verjaardag te herdenken.
In heel wat afleveringen leerden Bert en Ernie de kinderen tellen en eenvoudige bewerkingen uitvoeren met getallen.
De telspecialist in Sesamstraat is Graaf Tel (Count von Count in de Engelstalige versie),
die dwangmatig alles begint te tellen: vleermuizen, muzieknoten, het aantal keer dat de telefoon rinkelt ...
Mijn lievelingspersonage uit Sesamstraat is echter Grover: een blauwe, luidruchtige paniekzaaier en een brokkenpiloot.
Hieronder kan je een typisch fragment bekijken met sheriff Grover in de hoofdrol. En wist je dat er wonderpaarden bestaan die iets hebben met wiskunde?
'Bewijs' kent in onze samenleving verschillende betekenissen
1. Je kunt bewijzen dat
je Belg bent door je paspoort te tonen (als je tenminste geen vals
paspoort hebt).
2. In de rechtspraak is het bewijs die informatie die aantoont dat de verdachte
datgene heeft gedaan waarvan hij beschuldigd wordt.
3. Een wetenschappelijk bewijs bestaat uit waarnemingen (na onderzoek) die een
hypothese of theorie bevestigen of ontkrachten.
4. Een wiskundig bewijs bestaat uit het aantonen dat een bepaalde bewering
(stelling) waar is, uitgaande van bepaalde axiomas.
Als je in de wiskunde een vermoeden
kunt bewijzen heb je een stelling.
Kijk maar naar de onderstaande voorbeelden.
Vermoeden:De
formule n2 + n + 41 levert voor elk positief geheel getal n een
priemgetal. Bewijs: n = 1 invullen levert het priemgetal 43, n = 2
invullen levert het priemgetal 47, n = 3 invullen levert het priemgetal 53
Maar bij n = 41 levert de formule het getal 1763 en dat getal is deelbaar door
41 en 43 en dus geen priemgetal.
Je hebt een tegenvoorbeeld gevonden en bijgevolg is het vermoeden niet waar.
Vermoeden (laatste stelling
van Fermat): De vergelijking xn + yn = zn heeft
geen gehele oplossingen voor x, y en z als n een geheel getal is groter dan 2.
Pierre de Fermat krabbelde rond 1630
in de kantlijn van een boek dat hij een eenvoudig bewijs had gevonden voor deze
stelling,
maar dat er te weinig plaats was om het volledig bewijs neer te schrijven.
Fermat overleed echter kort daarop en eeuwenlang zochten wiskundigen naar een
sluitend bewijs
(of een tegenvoorbeeld om aan te tonen dat de stelling niet geldig is).
Pas in 1994 slaagde Andrew Wiles er in via geavanceerde wiskundige
technieken dit vermeoden te bewijzen.
We mogen dus terecht spreken van de laatste stelling van Fermat.
Vermoeden (van Goldbach): Elk even getal groter dan 2 is op minstens één manier te schrijven als de som van twee priemgetallen. Tot op vandaag is niemand erin geslaagd dit vermoeden te bewijzen en met computers vindt men ook geen tegenvoorbeeld.
Vermoeden: De som van de hoeken van een driehoek (d.w.z. van elke driehoek) is 180°.
Een klassiek bewijs bestaat er in
door het hoekpunt A een rechte te tekenen die evenwijdig is met BC.
Door gebruik te maken van het feit dat verwisselende binnenhoeken gelijk zijn
en het feit dat de drie aangeduide hoeken in A samen een gestrekte hoek
vormen,
volgt hieruit dat de som van de drie hoeken van driehoek ABC gelijk is aan
180°.
Vermoeden: Overstaande hoeken zijn gelijk.
In een filmpje van de Nederlandse schooltelevisie wordt dit vermoeden op een visuele manier wordt bewezen.
Voor de stelling van Pythagoras zijn er zeker meer dan 100 bewijzen beschikbaar.
De bovenstaande figuur geeft zelfs een 'bewijs zonder woorden'. Kan je uitleggen waarom dit een valabel bewijs is voor de stelling van Pythagoras?
Op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ kan je al meer dan 80 verschillende bewijzen vinden voor deze fundamentele stelling uit de vlakke Euclidische meetkunde.
In 2008 publiceerden Benoit Baudelet en Michel Sebillo in Losanges een nieuw en erg origineel bewijs.
Collega Hugo Staelens nam het op in zijn rubriek 'Uit de klas geklapt...' in het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs nr. 138 (2009). Je vindt het bewijs in bijlage.
De tweede bijlage bevat een eenvoudig visueel bewijs van de stelling van Pythagoras. Kan je uitleggen waarom dit een geldig bewijs is?
De laatste bijlage is een werktekst over de stelling van Pythagoras, waarin een aantal originele bewijzen in opdrachtvorm zijn opgenomen.
Voor heel wat wiskundigen (o.a. Prof. Jan van de Craats) is de onderstaande legpuzzel het favoriete bewijs voor de stelling van Pythagoras!
In het Internationaal Jaar van de Sterrenkunde 2009 past het om de Kuifjesstrip De geheimzinnige ster terug eens boven te halen. In deze strip heeft Professor Hippolytus Kalys berekend dat op een bepaalde dag precies om 8 uur 12 minuten en 30 seconden een enorme vuurbal in botsing zal komen met de aarde. Hij bedelft Kuifje meteen onder de papieren waarop hij de berekeningen heeft uitgevoerd.
Ook in de strip Kuifje in Afrika komt een tafereeltje uit een wiskundeles voor. In de oorspronkelijke editie Kuifje in Congo ging het echter om een geschiedenisles waarin Kuifje aan enkele negertjes uit de toenmalige Belgische kolonie uitleg geeft over de geschiedenis van België. In de latere versies van deze strip vraagt Kuifje aan de negertjes hoeveel twee plus twee is. Ze blijven echter het antwoord schuldig...
In augustus 2007 diende Mbutu Monondo Bienvenue, een Congolese student in België, een aanklacht in bij de officier van justitie in Brussel over de strip. De man vond het album een belediging voor alle Congolezen en noemde het stripverhaal racistisch, o.a. omdat alle Congolezen hierin als dom werden afgeschilderd. Hij eiste een symbolische schadevergoeding van 1 euro, alsmede dat het album uit de handel zou worden genomen
In de Kuifjesstrips lopen echter heel wat exentrieke geleerde heren rond. De meest bekende is ongetwijfeld professor Trifonius Zonnebloem, die voor het eerst opduikt in De schat van scharlaken Rackham, het elfde Kuifjesverhaal. Zonnebloem is een geniale uitvinder, verstrooid en doof op het lachwekkende af. Het is echter ook een romantische ziel, die enerzijds de ambitieuze droom koestert om de eerste mens op de maan te zetten, maar anderzijds een nieuwe rozenvariëteit kweekt. Hij noemt de roos Bianca en weet hiermee de imposante operadiva Bianca Castafiore te charmeren.
Hergé vond zijn inspiratie voor de figuur van professor Zonnebloem bij de Auguste Piccard, een eminent Zwitserse geleerdeen hoogleraar aan de Vrije Universiteit Brussel. Piccard slaagde erin om in 1931 met een luchtballon hoger te klimmen in de stratosfeer dan wie ook voor hem, nl. tot op 15.781 meter hoogte. In 1960 daalde zijn zoon Jacques Piccard met de bathyscaaf van zijn vader af tot op een diepte van 10.916 meter, het diepste punt op aarde, in de Marianentrog.
Trifonius Zonnebloem Professor Auguste Piccard (1884-1962)
Op 20 oktober 2009 overleed Jef Nys, de geestelijke vader van Jommeke en pionier van de Vlaamse kinderstrip.
Jef was een bescheiden, maar gerespecteerd man. Op zijn gedachtenisprentje staat de volgende tekst te lezen:
Wat is het wat een mens tot mens maakt?
Niet zijn rijkdom, niet zijn macht, niet zijn te grote functie of hoge titel. Mensen die bouwen aan hun eigen gewichtigheid vallen heel licht uit.
Wat een mens tot een mens maakt is wel: zijn eenvoud, zijn goedheid en liefde, zijn rechtschapenheid ...
Het eerste stripalbum van Jommeke De jacht op een voetbal verscheen in 1959.
De vriendjes van Jommeke duiken pas op in album nr. 2 De zingende aap en Professor Gobelijn verschijnt op het toneel in album nr. 4 De purperen pillen.
In album nr. 227 Het brein van Gobelijn zit Jommeke te piekeren over een wiskundig vraagstukje, dat Filiberke blijkbaar in een-twee-drie kan oplossen.
In bijlage vind je dit vraagstukje (en de oplossing).
In 1964 verscheen het favoriete album nr. 26 van Jef Nys : Kinderen Baas.
Daarin test Professor Gobelijn de wiskundekennis van Jommeke door hem te vragen een ingewikkelde formule uit te werken.
Jommeke heeft echter geluk want er blijkt een fout in de opgave te zitten, waardoor het probleem onoplosbaar is.
Zo zie je maar dat studenten ook al eens een wiskundige meevaller kunnen hebben (zie bijlage)!
De afkorting DIN staat voor Deutsches Institut für Normung, de Duitse nationale normeringsinstantie die gevestigd is in Berlijn. In 1920 dook voor het eerst de DIN-norm op voor papierformaat nl. DIN-A4.
De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het eerstvolgende vel steeds een tweemaal zo grote (of kleine) oppervlakte heeft.
De verhouding tussen de lange en de korte zijde is zo, dat wanneer het vel over de lange zijde in twee wordt geknipt
(dus de oppervlakte gehalveerd), er twee kleinere rechthoeken onstaan die gelijkvormig zijn met de grotere rechthoek.
Dus als k de korte zijde en l de lange zijde van een blad papier uit de A-serie is, geldt:
ofwel
ofwel
Hieruit blijkt dat de verhouding tussen de lange en korte zijde de vierkantswortel uit 2 is.
De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 vierkante meter.
Met de berekende verhouding levert dat een vel op van 1189 mm bij 841 mm.
Door deling volgt hieruit de complete serie:
naam
lengte
breedte
A0
1189 mm
841 mm
A1
841 mm
594 mm
A2
594 mm
420 mm
A3
420 mm
297 mm
A4
297 mm
210 mm
A5
210 mm
148 mm
A6
148 mm
105 mm
A7
105 mm
74 mm
A8
74 mm
53 mm
A9
53 mm
37 mm
A10
37 mm
26 mm
A11
26 mm
18 mm
Kijk eens na of postzegels ook een A-formaat hebben!
Hieronder zie je een leuke postzegel uit Australië waarop allusie wordt gemaakt op het verband tussen graden Celsius en graden Fahrenheit.
Ken je de formule voor de omzetting van graden Celsius naar graden Fahrenheit (en omgekeerd)?
Het Vlaams wiskundetijdschrift Uitwiskeling bestaat 25 jaar
Dit jaar viert het wiskundetijdschrift Uitwiskeling zijn zilveren jubileum.
Reeds 25 jaar lang wil Uitwiskeling nieuwe ideeën aanreiken voor de klaspraktijk.
Dit tijdschrift van en voor leraren heeft ook een webstek: www.uitwiskeling.be.
je vindt er o.a. een overzicht van alle vorige jaargangen, een korte beschrijving van de inhoud van de volgende nummers, applets en links naar andere sites.
Interessant zijn ook de werkbladen die de redactie ter beschikking stelt.
Als smaakmaker vind je in bijlage vijf werkbladen over statistiek uit het nummer 18/1 van december 2001.
De Guidonische lettergrepen zijn de oud-Latijnse benamingen van de zes tonen van het hexachord, ut-re-mi-fa-sol-la, een groep van zes opeenvolgende tonen.
De zes benamingen werden in de 11e eeuw bedacht door Guido van Arezzo.
Pas in de 19e eeuw werd er een zevende toon aan het stelsel toegevoegd en in sommige landen de ut vervangen door do.
De Guidonische lettergrepen werden in de Middeleeuwen gebruikt om zangers direct van het blad te leren zingen, zonder voorstudie van het materiaal.
De namen werden ontleend aan de - in die dagen overbekende - hymne Ut quaeant laxis, een hymne van Paolo Diacono (Paolo di Varnefrido (720-799)) ter ere van Johannes De Doper.
In de Latijnse tekst hieronder herken je ongetwijfeld de noten ut-re-mi-fa-sol-la-si als beginwoord of beginletters van de woorden:
UT queant laxis REsonare fibris
MIra gestorum FAmuli tuorum,
SOLve polluti LAbii reatum,
Sancte Iohannes.
Het octaaf is in de muziek het interval tussen twee tonen waarvoor geldt dat de frequentie van de ene toon precies het dubbele is van die van de andere.
In dat verband wordt de toon met de dubbele frequentie wel het octaaf van de andere toon genoemd.
Het woord octaaf is afgeleid van het Latijnse octavus, dat "achtste" betekent.
Een diatonische toonladder (dat is de basistoonladder van de westerse muziek) bestaat namelijk uit acht noten, en beslaat precies een octaaf,
dat wil zeggen dat de eerste en de achtste noot precies een factor twee in toonhoogte verschillen.
Bron: Wikipedia.
Hieronder staat een octaafafstand tussen twee tonen C aangeduid op een pianoklavier.
Sinds het begin van de 19de eeuw worden piano's meestal gestemd volgens de zogenaamde evenredige twaalftoonstemming.
Dit betekent dat men het octaaf indeelt in 12 intervallen.
Wanneer men vertrekt van een toon met frequentie ν (bv. de la, die volgens internationale afspraak overeenkomt met een toon van 440 Hz),
bekomt men zo een meetkundige rij van 13 deelpunten of 12 intervallen met frequenties ν, kν, k2ν, k3ν, ..., k11ν, k12ν.
Dit komt overeen met een octaaf en dan volgt hieruit dat k12ν = 2ν (nl. verdubbeling van de frequentie).
Dit betekent dat de factor k gelijk is aan 21/12 (de twaalfdemachtswortel van 2 = 12 √2 ).
Volgens de sensatiewet van Fechner ervaren we deze prikkels (die een meetkundige rij met reden 21/12 vormen) als opeenvolgende termen van een rekenkundige rij.
Die rij bekomt men door van de bovenstaande meetkundige rij de 2log te nemen: 2log ν, 1/12 + 2log ν, 2/12 + 2log ν, ..., 11/12 + 2log ν, 1 + 2log ν.
Merk op dat dit een rekenkundige rij is met verschil 2log 21/12 = 1/12.
Een mooie toepassing van de meetkundige rij met reden 21/12 vindt men in de afstanden tussen de zogenaamde frets (ijzeren staafjes op de hals) van een gitaar.
Als we de afstand van de kam tot een bepaalde fret aanduiden met di en de afstand van de kam tot de daaronder liggende fret met di+1, dan is de di /di+1 = 21/12.
Dezelfde regelmaat vindt men ook terug bij orgelpijpen. Hieronder zie je hiervan een visuele voorstelling.
De langste pijp meet bv. 200 cm en door telkens de lengte van een pijp te delen door 12 √2 krijg je lengte van de volgende pijp. Bron: www.wisfaq.nl.
Je vindt hierbij nog drie bijlagen.
Rijen 1. Een tekst van UHasselt in het kader van 'Geboeid door Wiskunde en Wetenschappen'. Deze tekst behandelt o.a. de rij van Fibonacci, rekenkundige en meetkundige rijen, fractalen (driehoek van Sierpinski en sneeuwvlok van Koch).
Rijen 2. Een bewerking van de vorige tekst door collega Leon Lenders (Bree). Hierbij zit een originele bijdrage over 'een harmonische stapel bakstenen'.
Rijen en frets op een gitaar, door Martijn de Bruijn en Ramon Handulle (Technische Universiteit Delft).
Voor wie meer wil weten over de plaatsing van de frets op een elektrische of een akoestische gitaar.
"Maar wanneer zal ik de sterrenhemel maken, dat schilderij dat ik voortdurend in mijn hoofd heb?" (Vincent Van Gogh, Sterrenhemel boven de Rhône, Musée d' Orsay, Parijs)
We komen en we gaan
Jij hield je vast aan zekerheid Jij noemde elke ster bij naam Ik zei: 'Ik wil verwonderd zijn' Omdat we komen en we gaan
De wetenschap mag weten Het wonder blijft bestaan Ik weet maar één ding zeker De rest mag je vergeten Wij komen en wij gaan
De priesters mogen preken Ik blijf er ver vandaan Ik weet maar éénn ding zeker De rest mag je vergeten Eén waarheid blijft bestaan We komen en we gaan ...
De Vlaamse architecten Voet-Theuns (www.voet-theuns.be) zijn de wiskundige knobbels achter de phi-link-tafel.
In de afmetingen is het gulden getal phi = (1 + √5)/2 verwerkt en men kan verschillende tafels op heel diverse manieren tot één geheel aan elkaar linken.
Dit verklaart meteen de naam phi-link-tafel.
Het feit dat de tafels op heel veel manieren tegen elkaar kunnen geschoven worden heeft
o.a. te maken met het feit dat drie van de vier zijden even lang zijn, dat één van de hoeken 60° is en één van de hoeken een rechte hoek is.
We voegen hierbij twee bijlagen: - een brochure met uitleg over de exacte afmetingen van de philinktafels en verschillende configuraties; - een werkopdracht waarin je moet bewijzen waarom het getal phi opduikt in de verhouding van de afmetingen van de zijden van de philinktafel.
Door op het blauw gekleurde begrip te klikken, krijg je meteen bijkomende uitleg vanuit MathWorld van Eric Weisstein.
Wil je weten wat er speciaal is aan jouw geboortedatum (een getal van 8 cijfers: ddmmjjjj), tik dan dit getal in op http://www.coolnumbers.com/
Ik deed zelf even de test met de datum van gisteren (8 september 2009), tikte hiervoor 08092009 in en ontdekte zo dat het getal 8 092 009 een priemgetal is.
Wil je te weten komen wat er bijzonder is met een bepaalde rij getallen, tik dan de eerste vijf termen in (gescheiden door komma's ) op de volgende website (kies Use Database):
Ik deed de test met twee rijen: - voor 4,7,12,19,28 ontdekte het programma vlot de uitdrukking voor de algemene term a(n) = n² + 3 - de rij 4,7,11,18,29 blijkt een rij Lucasgetallen te zijn, waarbij vanaf de derde term elk getal de som is van de twee voorgaande termen.
