De Griekse filosoof Zeno (ca. 490-430 v. Chr.) bedacht een aantal paradoxenom aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende is ongetwijfeld de paradox van Achilles en de schildpad.
Achilles houdt een loopwedstrijd tegen een schildpad. Bij de start heeft de schildpad 100 meter voorsprong en we nemen aan dat Achilles slechts 20 keer sneller loopt dan de schildpad. Als Achilles dus het startpunt van de schildpad bereikt, heeft deze zelf weer 5 meter afgelegd. Achilles legt nu deze 5 meter af, maar in die tijd heeft de schildpad weer5/20 = 0,25 meter afgelegd. Achilles legt zo achtereenvolgens 100, 5, 5/20, 5/400, meter af en aan deze rij komt nooit een einde, m.a.w. Achilles slaagt er nooit in de schildpad in te halen.
Minder gekend is ongetwijfeld de paradox van het Hilberthotel, een denkbeeldig hotel met oneindig veel kamers die allemaal bezet zijn.
Op een dag komt een nieuwe gast bij de receptie aan en vraagt of er nog een plaatsje vrij is. De hotelmanager ziet hierin geen probleem. Hij verplaatst de persoon uit kamer 1 naar kamer 2, de persoon uit kamer 2 naar kamer 3, enzovoort. Op die manier komt kamer 1 vrij voor de nieuwe gast.
Maar wat doet de hotelmanager als er op een dag oneindig veel nieuwe gasten zich komen aanmelden. Weet hij ze dan ook allemaal weer een kamer te geven? En wat als er oneindig veel bussen met oneindig veel gasten arriveren?
De oplossing hiervan en van een aantal aanverwante problemen lees je in bijlage 2.
Er bestaan drie soorten leugens: leugens om bestwil, opzettelijke leugens en statistieken. (Benjamin Disraeli, Engels auteur en bekend politicus, 1850).
De Franse wis- en natuurkundige en filosoof Blaise Pascal (1623-1662) legde omstreeks 1650 samen met Pierre de Fermat (1601-1665) de grondslagen voor de waarschijnlijkheids-rekening. Pascal ontdekte algauw dat het berekenen van winstkansen niet zo eenvoudig was en ongetwijfeld zal hij wel op een aantal schijnbare tegenstrijdigheden zijn gebotst.
Zo legde de goklustige edelman Chevalier de Méré (1607-1684) in 1654 het volgende probleem voor aan zijn vriend Pascal. Als je met één dobbelsteengooit, zijn er 6 mogelijke uitkomsten en met twee dobbelstenen zijn er 6 x 6 = 36 mogelijke resultaten. Uit ervaring blijkt dat wedden op minstens 1 keer 6 werpen met één dobbelsteen in 4 worpen voordelig is (meer dan 50% kans), terwijl wedden op minstens 1 keer een dubbele 6 gooien in 24 worpen met twee dobbelstenen nadelig is (minder dan 50% kans). Nochtans is 4/6 gelijk aan 24/36. Hoe kan dat?
Pascal vond hiervoor een correcte wiskundige verklaring door de kansen op de juiste manier te berekenen. Als je 4 keer werpt met één dobbelsteen is de kans op minstens 1 keer 6 gelijk aan 1 (5/6)4» 51,77%.Maar als je 24 keer dobbelt met twee stenen is de kans op minstens één keer een dubbele 6 gelijk aan 1 (35/36)24» 49,14%.
Wie ietwat vertrouwd is met kansberekening en met statistiek, zal beseffen dat je binnen deze tak van de wiskunde vaak met haast onverklaarbare anomalieën af te rekenen hebt. Ken je het driedeurenprobleem? Al gehoord van de paradox van Simpson, die je zal doen twijfelen aan de correctheid van veel statistieken? Wist je dat er dobbelstenen bestaan waarmee je altijd kan winnen?
Het niet stellen van voorwaarden, een onoplettendheid in het rekenwerk, het verkeerd toepassen van een rekenregel, een foutieve redenering leiden soms tot grappige en onmogelijke resultaten. Zo zal elke leraar bij het verbeterwerk al wel eens moeite hebben gehad om de fout in een bewijs of een rekenwerk te ontdekken.
Kan jij direct zeggen waar de fout zit in het volgende verhaaltje?
Drie studenten hebben in een bar elk voor 10 euro drank verbruikt. Ze betalen elk 10 euro aan de kelner. De gastvriendelijke patroon zegt aan de kelner: Het zijn nieuwe klanten. Geef hen maar 5 euro terug. De kelner besluit echter aan elke student 1 euro terug te geven en stopt zo 2 euro in zijn eigen zak.
Blijkbaar hebben de studenten nu elk 9 euro betaald en heeft de kelner zelf 2 euro verdiend. Maar 3 keer 9 euro plus 2 euro maakt samen slechts 29 euro. Waar is dan de resterende euro gebleven van de 30 euro die de studenten samen hebben betaald?
In bijlage 1 tonen we o.a. aan dat 1 = 2, dat 10 = 13 en dat alle inwoners van Erps-Kwerps even oud zijn. Vind jij telkens de fout in de redenering?
Logo voor de pi-dag (14 maart) ontworpen door Peter Raedschelders.
Wat is pi?
Volgens een wiskundige: Pi is het getal dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter.
Volgens een natuurkundige: Pi is 3,1415927 ± 0,00000005.
Volgens een ingenieur:Pi is 3,14.
Het symbool π (deeerste letter van het Griekse woord περίμετρος voor omtrek) werd in 1706 voor het eerst gebruikt door de Engelsman William Jones. Het wordt ook deconstante van Archimedes (287-212 v.C.)genoemd, omdat deze Griekse wiskundige een ingenieuze manier vond om pi te berekenen met behulp van in- en omgeschreven regelmatige veelhoeken bij een cirkel. Men spreekt ook van het Ludolfiaans getal, waarmee men verwijst naar Ludolf van Ceulen (1540-1610) - een Nederlandse wiskundige die rond 1600 de eerste 35 decimalen van pi berekende.
In de voorbije eeuwen hebben heel wat befaamde en minder bekende wiskundigen een elegante formule gevonden om het getal pi te berekenen. Je kunt een indrukwekkende lijst terugvinden op http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html .
Op pi-dag, 14 maart, wordt wereldwijd op verschillende wiskundeafdelingen van universiteiten feest gevierd. Pi-dag wordt op 14 maart gevierd, omdat in de Amerikaanse schrijfwijze voor data 14 maart geschreven wordt als 3/14 en 3,14 is de driecijferige benadering voor π(bron: wikipedia).
Je leest heel wat wetenswaardigheden over π in bijlage 3. We proberen ook aan te tonen dat pi misschien wel gelijk is aan 3,14 of aan 4 ...
Omstreeks 1500 werden in Italië wedstrijden georganiseerd voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen. Niccolo Fontana (ca. 1500-1557) , bijgenaamd Tartaglia (letterlijk de stotteraar) ontdekte een formule die een oplossing leverde voor de derdegraadsvergelijking x³ = ax + b.
Girolamo Cardano (1501-1576) publiceerde als eerste deze formule in zijn Ars Magna (1545) en daarom spreken we nu over de formule van Cardano. Deze wiskundige, medicus, filosoof en astroloog was één van de meest kleurrijke figuren uit de 16de eeuw. Omdat hij een horoscoop van het leven van Christus publiceerde, werd hij een tijdlang gevangen gezet wegens ketterij. Het verhaal gaat dat hij de juiste datum van zijn overlijden voorspelde. In 1576 pleegde hij zelfmoord
Het was echter een tijdgenoot Rafael Bombelli (1526-1572) die door het toepassen van de formule van Tartaglia op de vergelijking x³ = 15x + 4 als bij toeval de complexe getallen introduceerde.
De complexe getallen zouden echter pas tot volle bloei komen vanaf de 18de eeuw met figuren als Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss en Abraham de Moivre.
Als je bij het rekenen met complexe getallen de rekenregels voor reële getallen toepast, of rekenregels voor complexe getallen verkeerd toepast, bots je op een aantal merkwaardige vaststellingen, zoals blijkt uit de berekeningen in bijlage 4.
Omstreeks 300 v. Chr. tekende Euclides in 13 boeken 465 stellingen op. Deze Elementen van Euclides gelden als één van de meest invloedrijke werken uit de wiskunde en eeuwenlang zouden deze boeken ook het standaardwerk vormen voor het onderwijs. De eerste niet zo adequate gedrukte versie van de Elementen dateert van 1482 (een vertaling uit het Arabisch; de eerste vertaling uit het Grieks volgde in 1505). In tegenstelling tot wat men soms denkt, bevatten deze boeken niet enkel stellingen over meetkunde maar ook over getallenleer en (meetkundige) algebra.
Het is niet ondenkbaar dat Euclides een aantal meetkundige paradoxen kende en misschien zijn er in de loop van de eeuwen dergelijke geschriften hierover verloren gegaan. Wanneer men vertrekt van een foutieve tekening en hierop begint een redenering te maken, kan men komen tot het 'bewijs' van een onmogelijke stelling.
Wist je dat het mogelijk is te 'bewijzen' dat elke driehoek gelijkbening is, dat een rechte hoek even groot is als een stompe hoek en dat er cirkels bestaan met twee verschillende middelpunten?
Deze en andere resultaten uit de vlakke meetkunde tonen we aan in bijlage 6.
Het is merkwaardig om vast te stellen hoe moeilijk we grote getallen kunnen inschatten. Veronderstel dat iemand je vraagt om alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 1 miljoen op papier neer te schrijven, ermee rekening houdend dat je één cijfer per seconde kunt opschrijven en dat je bereid bent om 8 uur per dag hieraan te werken. In hoeveel tijd denk je dit klusje te kunnen klaren? Een dag, een paar dagen, een week ?
Om deze vraag te beantwoorden berekenen we eerst hoeveel cijfers je in totaal zult moeten opschrijven:
Van 1 tot en met 9:9 x 1 = 9 cijfers
van 10 tot en met 99:90 x 2=180 cijfers
van 100 tot en met 999:900 x 3=2 700 cijfers
van 1 000 tot en met 9 999: 9 000 x 4=36 000 cijfers
van 10 000 tot en met 99 999: 90 000 x 5=450 000 cijfers
van 100 000 tot en met 999 999:900 000 x 6=5 400 000 cijfers
In 8 uur gaan er 8 x 60 x 60 = 28 800 seconden, zodat aan een werkritme van 8 uur per dag het schrijfwerk 5 888 896 : 28 800 of ongeveer 205 dagen zou duren! Heb je er bijvoorbeeld een idee van hoeveel voorouders je hebt en in hoeveel verschillende standen men een kubus van Rubik kan draaien? Weet je waar de naam GOOGLE vandaan komt?
In 1953 tekende Paul Curry, een goochelaar uit New York, een driehoek die hij op twee verschillende manieren in drie stukken verdeelde. Zo toonde hij aan dat een gebied met een oppervlakte van 15 cm² even groot is als een gebied van 16 cm². Sindsdien spreekt men in de wiskundige literatuur ook over de driehoek van Curry.
De paradox wordt hierboven afgebeeld. In de bovenste figuur is de helft van de totale rechthoek opgevuld door een driehoek, die op zijn beurt in drie stukken is opgedeeld: een grote en een kleine driehoek en een rechthoek met een oppervlakte van 3 x 5 = 15 vierkantjes. Door nu de twee driehoeken van plaats te verwisselen, slaagt men er blijkbaar in de halve rechthoek weer op te vullen met de twee driehoeken en met een rechthoek met een oppervlakte van 2 x 8 = 16 vierkantjes. Via drogredeneringen slaagt men er ook in aan te tonen dat 58 = 59 = 60, dat alle cirkels even lang zijn en dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek even lang is als de beide rechthoekszijden samen.
Sedert het ontstaan van het wetenschappelijk denken zijn er heel wat paradoxale verschijnselen verklaard. Toch blijven er nog heel wat vragen onopgelost. Wat is het verschijnsel tijd? Is de vraag of het heelal eindig of oneindig is, geen verkeerde vraag? Hoe is het leven op aarde ontstaan? Wat is het bewustzijn? Nemen we via onze zintuigen de werkelijkheid waar zoals ze is, of is alles slechts een illusie?
In de voorbije eeuwen lagen er heel wat merkwaardige experimenten en geniale inzichten aan de basis van de vooruitgang van de wetenschappen. Een concreet voorbeeld:
Galileo Galilei (1564-1642) beweerde dat een licht en een zwaar voorwerp even snel vallen, hoewel iedereen zag dat een pluim trager viel dan een blokje lood.. Hij zou dit experimenteel bewezen hebben door van op de toren van Pisa twee voorwerpen met een verschillend gewicht in aanwezigheid van verschillende hoogleraren en studenten naar beneden te laten vallen. De bron van deze overlevering isVincenzio Viviani, die de laatste twee jaren van Galilieis leven zijn assistent was en in 1657 de eerste biografie over Galiliei bijeenschreef. Het ultieme bewijs, voor zover nog nodig was, is gegeven door Apollo-15-astronaut David Scott, die op de maan een hamer en een veer van een valk tegelijk en van op dezelfde hoogte liet vallen. Je kan het filmpje van dit experiment bekijken op http://www.youtube.com/watch?v=PE81zGhnb0w
Nu stelt men nog altijd de intrigerende vraag wat er sneller valt: een kilo pluimen of een kilo lood. En welke van deze twee zou je het liefst op je tenen laten vallen?
We verzamelden een aantal analoge intrigerende verhalen uit de wetenschappen in bijlage 8.
In de literatuur en het dagelijkse leven duiken heel wat paradoxen op die te maken hebben met logica. De meest beroemde is ongetwijfeld de paradox van de leugenaar of paradox van Epimenides, een Kretenzische filosoof uit de 6de eeuw v. Chr.
Hij beweerde: Alle Kretenzers zijn leugenaars, waarmee hij bedoelde dat een Kretenzer altijd liegt. De vraag is nu of Epimenides die zelf een Kretenzer was, de waarheid sprak?
Als hij de waarheid spreekt, dan is hij zelf een leugenaar omdat hij een Kretenzer is. Maar als hij liegt, dan is zijn uitspraak ook een leugen en zou hij dus zelf geen leugenaar zijn.
Heel wat logische raadseltjes blijven wiskundigen intrigeren. Denk maar aan de intrigerende vraag: Wat was er het eerst: de kip of het ei?
Ook doordenkertjes stellen ons soms voor logische problemen. Enkele voorbeelden:
·Gelezen in een nascholingsbericht:
De cursus Hoe omgaan met teleurstellingen kan helaas niet doorgaan.
·Aankondiging in een Japans dagblad tijdens de tweede wereldoorlog:
Zelfmoordpiloten gevraagd, liefst met ervaring.
·Is kinderloosheid erfelijk?
·Als je schoonouders geen kinderen hebben, is de kans reëel dat jij niet getrouwd raakt.
·Waarom heeft een mens nooit wat hij wil hebben? Als hij zou willen wat hij had, dan zou hij hebben wat hij wil. Maar aangezien hij nooit wil wat hij heeft, heeft hij niet wat hij wil.
·Dokter, ik heb hallucinaties..
Dat beeld je je maar in.
·Gelezen in het uitstalraam van een opticien:
Als u hier niet ziet wat u zoekt, bent u aan het juiste adres.
·Ik heb de indruk dat niemand het met mij eens is.
Dat is niet waar!
·Jij zoekt overal iets achter.
Waarom zeg je dat?
·Mijn minderwaardigheidscomplex is niet zo groot als dat van mijn buurman.
Vierkant voor Wiskunde organiseert in Nederland wiskundekampen en publiceerde reeds een hele reeks Doeboekjes. Via puzzels en denkspelletjes stellen ze ook jouw creatief talent op de proef.
Wiskundeproblemen
In onderstaande tabel staan de wiskundeproblemen, die de medewerkers op hun puzzelmarkten gebruiken. Het moeilijkheidsniveau loopt van makkelijk (A) naar moeilijk (F). Klik voor de antwoorden op de letter boven de kolom.
De benadering van p die hieronder wordt beschreven is voor het eerst uitgevoerd door de Franse wiskundige George Buffon (George Louis Leclerc Comte de Buffon, 1707-1788). Deze wijze van benadering staat bekend als de naaldenproef van Buffon.
Op een stuk papier worden evenwijdige lijnen getekend elk op een afstand 2a van elkaar. Vervolgens wordt er bij herhaling een naald of tandenstoker met lengte 2l, waarbij a groter is dan l, willekeurig op het papier geworpen, waarbij het aantal keren, dat de naald een punt gemeen heeft met een lijn wordt geteld (we noemen zo'n situatie een "treffer").
Via een eenvoudige wiskundige redenering (zie bijlage) toonde Buffon aan dat de verhouding tussen het aantal treffers en het aantal worpen (bij benadering) dan gelijk is aan (2l)/(πa).
Wanneer men dus de proef uitvoert met naalden of tandenstokers die even lang zijn als de afstand tussen twee lijnen dan isde verhouding tussen het aantal treffers en het aantal worpen (bij benadering) gelijk aan 2/π.
In het bovenstaande zinnetje staat onder elk woord het aantal letters ervan vermeld. Op die manier kan je meteen de eerste 12 cijfers na de komma van het getal pi onthouden!
Er is een leuke experimentele manier om pi te benaderen. Teken een vierkant en teken hierbinnen een kwartcirkel met als middelpunt een hoekpunt van het vierkant. Plaats nu lukraak een aantal stippen binnen het vierkant. We spreken van een 'treffer' wanneer de stip in de kwartcirkel ligt. Dan is het aantal treffers gedeeld door het totale aantal geplaatste stippen bij benadering gelijk aan π/4. Weet je ook waarom?
Via het onderstaande programma kan je dit experiment simuleren op jouw grafische rekenmachine (TI-83/TI-84). Via de instructies in het blauw wordt het experiment ook gevisualiseerd.
Vooraf kan je het grafisch scherm opmaken om de zaak te visualiseren:
Leuker dan je denkt en leuker als je denkt! Deze website is het resultaat van een pentominoproject, gestart in het toenmalige TID Ronse, België (nu K.S.O. Glorieux Ronse) in 1999. Het project is in hoofdzaak uitgewerkt door leerlingen van het 2e,3e en 4e jaar secundair onderwijs in de lessen wiskunde, technologische opvoeding en in hun vrije tijd.
En er is nog veel meer te beleven op de website van Odette:
Op de site van de Volkskrant Bètacanon werd het hele jaar 2007 een lijst van vijftig 'onderwerpen' gepresenteerd die iedere Nederlander en Vlaming met interesse voor de exacte wetenschappen en techniek zou moeten weten. Een commissie van acht hoogleraren, voorgezeten door Spinozaprijswinnaar Robbert Dijkgraaf, heeft de lijst samengesteld.
De Powers of Ten is een korte documentaire uit 1977 die de relatieve verhoudingen van dingen van microscopisch tot kosmisch niveau toont in machten van tien.
De film start met een picknick in een park; waarbij het beeld één meter doorsnede heeft. Vervolgens wordt er traag uitgezoomd: eerst naar een beeld met tien meter (of 101m) doorsnede, daarna 100 meter (102m), dan 1 kilometer (103m). Zo wordt duidelijk dat de picknick plaats vindt in Chicago, Illinois, USA. Dit gaat zo verder tot het beeld 1026 meter, of de grootte van het zichtbare heelal, als doorsnede heeft. De camera zoomt dan terug in: eerst op ons melkwegstelsel, dan op ons zonnestelsel, de aarde, terug op Chicago, het park en de picknick. Daar aangekomen gaat de camera door, om de negatieve machten van tien te verkennen, naar de hand van een man, de huid, de cellen, de celkern, het DNA de moleculen, de atomen tot de protonen en quarks (de doorsnede van het beeld bedraagt dan 10-18 meter).
Het idee van de film komt uit het boek Cosmic View van Kees Boeke. De film is gemaakt door de befaamde ontwerpers Ray en Charles Eames.
Pythagoras
