Over magische vierkanten valt er heel wat te vertellen. Op mijn blog lees je hier meer over.
Verbazingwekkend is echter de unieke magische zeshoek waarin de getallen van 1 tot en met 19 voorkomen. In deze magische figuur is de som van de getallen in alle richtingen (door de pijltjes aangegeven) gelijk aan 38.
Waarom 38? Reden: 1 + 2 + 3 + ... + 19 = 190 en vertikaal bekenen zijn er 5 kolommen binnen deze zeshoek waarin je telkens dezelfde som moet bekomen: 190/5 = 38.
De Katholieke Universiteit Leuven besliste om vanaf het komende academiejaar een ijkingstoets aan te bieden aan beginnende bachelors die van plan zijn een opleiding burgerlijk ingenieur, burgerlijk ingenieur-architect, bio-ingenieur of een opleiding wiskunde of fysica te volgen.
Via deze niet-bindende toets hopen ze de studenten een realistisch beeld op te hangen van de nodige wiskundekennis bij de aanvang van hun studies in het hoger onderwijs. Meteen engageert de universiteit zich om studenten die behoorlijk maar toch eerder zwak scoren een passend bijsturingstraject aan te bieden.
De toets wordt afgenomen in Leuven en in Kortrijk op 4 juli 2012.
Op 9 juni 1934 (precies 78 jaar geleden) dook Donald Duck voor het eerst op in de tekenfilm 'The Wise Litte Hen' van Walt Disney.
Wist je dat dit impulsief eendje ook de hoofdrol speelt in een wiskundige animatiefilm van Walt Disney uit 1959 met de titel 'Donald in Mathmagic Land'?
Hieronder kan je een fragment bekijken waarbij Donald Duck ons leert hoe Pythagoras het verband legde tussen muziek en breuken.
In de film komen diverse onderwerpen aan bod: wiskunde en architectuur (gulden snede), wiskunde en sport (o.a. biljarten), wiskunde in de natuur, het begrip onenidig ...
De film eindigt met een uitspraak van Galilei: "Mathematics is the alphabet with which God has written the universe".
Fractalen blijven tot de verbeelding spreken van veel wiskundigen.
Een fractal kan je omschrijven als een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op een steeds kleinere schaal herhaalt.
Met S duidt men de schaalfactor waarbij 1/S de factor is waarmee de figuur telkens wordt verkleind.
N is het aantal kopieën van de oorspronkelijke figuur die bij elke volgende stap aan de figuur wordt toegevoegd.
De dimensie D van een fractal is dan gedefinieerd door
SD = N
of ook via: D = log N / log S.
Voorbeeld. Bij de onderstaande Pythagorasboom is S = √2 en N = 2 zodat de dimensie D = 2.
Hieronder zie je hoe de Kochkromme ontstaat. Het wordt een kromme met een oneindige lengte maar de oppervlakte onder de kromme (in het groen aangeduid op de figuur bovenaan deze pagina) is eindig.
Bij deze kromme worden telkens 4 kopieën gemaakt van de vorige figuur en worden de lijnstukjes 3 keer korter De dimensie van de Kochkromme is bijgevolg D = log 4 log 3 ≈ 1,26.
De dimensie van de onderstaande driehoek van Sierpinski is gelijk aan D = log 3/log 2 ≈ 1,585.
Voor het tapijt van Sierpinski vertrekt men van een vierkant (= fase 0) en bekomt men als dimensie D = log 8/log 3 ≈ 1,8928.
De spons van Menger is een driedimensionale fractal waarbij het vertrekpunt (fase 0) een kubus is en de dimensie is D = log 20/ log 3 ≈ 2,7268.
Dit onderwerp is uiteraard geschikt voor een wiskundige eindwerkje in het secundair onderwijs (zie bijlage).
Bij het maken van redeneringen kan je botsen op een zogenaamde vicieuze cirkel. Hieronder staat een leuk voorbeeld dat we vonden op de website www.mobielvlaanderen.be : :
Ook in de wiskunde duiken dergelijke redeneringen geregeld op. Hieronder zie je bijvoorbeeld een bewijs voor de fameuze stelling van Pythagoras via de grondformule van de goniometrie, die zelf weer een gevolg is van de stelling van Pythagoras.
Deze redenering was de aanleiding om samen met college Koen De Naeghel te zoeken naar een alternatief en nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras door gebruik te maken van lineaire algebra.
Het bewijs vind je in bijlage in een Nederlandstalige en een Engelstalige versie.
Is dit een geldig bewijs of zit hierin een vicieuze cirkel verscholen? Wie zegt het ons???
Waarom heeft de regenboog de vorm van een cirkelboog?
De regeldruppels weerkaatsen via een bepaalde breking het licht van de zon.
Opdat een regendruppeltje bijdraagt tot het feit dat u een regenboog ziet, moet de hoek tussen de zon en uzelf, gezien vanuit de druppel 42° zijn.
De druppels die daaraan voldoen liggen dan blijkbaar vanuit uw standpunt gezien in een cirkel aan de hemel. Prof.dr. Paul Hellings, hoogleraar toegepaste wiskunde (groep T - Leuven) geeft u een meer gedetailleerde uitleg op http://www.ikhebeenvraag.be/vraag/26205 .
In feite ziet iedereen die naar een regenboog kijkt een 'persoonlijke regenboog'.
De regenboog lijkt zich daarom ook samen met de waarnemer te verplaatsen zodat ze dus 'een bewegende optische illusie' is.
Vanuit een vliegtuig of vanop een hoog torengebouw kunt u een regenboog als een volledige cirkel zien, zoals blijkt uit het onderstaande youtube-filmpje.
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De schijngestalten van de maan en een sinusfunctie
De schijngestalten van de maan zijn welbekend: nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan, laatste kwartier en terug nieuwe maan.
Een cyclus duurt 28 dagen. Bij eerste en laatste kwartier is 25 % van de maan zichtbaar verlicht, bij volle maan is dat 100 % en bij nieuwe maan 0 %. Als we de cyclus laten starten bij nieuwe maan (dag 0), dan kan een wiskundige zich de vraag stellen hoeveel procent van de maan zichtbaar verlicht is na 3,5 dagen, na 10,5 dagen, na 17,5 dagen en na 24,5 dagen (zie onderstaande figuur).
Voor de oplossing maken we gebruik van een algemene sinusfunctie met als voorschrift
f(x) = 50 sin [(π/14)( x 7)] + 50.
Jouw wiskundeleraar kan je ongetwijfeld uitleggen hoe ik aan dit voorschrift kom!
Dan levert f(3,5) = f(24,5) de waarde 14,64 % op en f(10,5) = f(17,5) geeft 85,36 %.
Controleer zelf de waarden van f(0), f(7), f(14), f(21) en f(28).
Na hoeveel dagen is een kwart van de maan zichtbaar verlicht?
Voor de liefhebbers van integralen: bereken eens de bepaalde integraal van de bovenstaande functie tussen de grenzen 0 en 28. Verklaar het gevonden resultaat.
Een oudere vent uit Ploegsteert had nooit graag wiskunde gestudeerd. Hij kende toch in elk geval een mooie eigenschap van ieder getal. Was hij dan toch getallen-teerd?
STELLING. Elk natuurlijk getal heeft een speciale eigenschap.
Bewijs uit het ongerijmde. Stel dat V de verzameling is van de natuurlijke getallen zijn die geen speciale eigenschap hebben. Als deze verzameling niet leeg is, dan zit hierin een kleinste natuurlijk getal. Dit getal heeft dan de speciale eigenschap dat het het kleinste natuurlijk getal is zonder speciale eigenschap. Dit is meteen een contradictie met het feit dat het in de verzameling V zit. Q.E.D.
************** Je kunt je bijvoorbeeld afvragen welke bijzondere eigenschap het getal 176 heeft. Het antwoord zit in een magische vierkant, waarin we de digitale cijfertypes gebuiken.
In het magisch vierkant 1 is de som van de vier getallen in elke horizontale rij, in elke verticale kolom en op de twee diagonalen gelijk aan 176. Dit getal noemt men dan de magische constante van het vierkant. Wanneer je nu dit vierkant op zijn kop zet (ondersteboven houdt) bekom je het magisch vierkant 4. Merkwaardig genoeg is de magische constante opnieuw 176. Door op het vierkant 1 een andere meetkundige transformatie uit te voeren (weet je ook welke?) bekom je de magische vierkanten 3 en 4. Wat is hier de magische constante?
En als je toch nog twijfels hebt over het feit dat elk natuurlijk getal een speciale eigenschap heeft, kijk dan eens op een van de volgende websites:
Slechts twee Belgische wiskundigen hebben in België een standbeeld gekregen.
In Brugge staat het standbeeld van Simon Stevin. In Brussel staat Adolphe Quetelet. Aan hem hebben we o.a. het woord 'wiskunde' te Hij is voornamelijk bekend voor danken. Hij verving immers 'mathematica' door het invoeren van de Body Mass Index, die het Nederlandse woord 'wiskonst'. ook wel de Quetelet-index wordt genoemd.
Slechts twee Belgische wiskundigen wonnen ooit de prestigieuze Fields-medaille. Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, kan men deze onderscheiding als de tegenhanger ervan beschouwen. Kwatongen beweren dat er geen Nobelprijs voor wiskunde is omdat de vrouw van Alfred Nobel een affaire had met de Zweedse wiskundige Gosta Mittag-Leffler. Dat het hier om een roddel gaat valt niet te betwijfelen: Alfred Nobel is immers nooit getrouwd geweest... De Fields-medaille is genoemd naar een Canadese wiskundige en ze wordt om de vier jaar uitgereikt aan wiskundigen die niet ouder zijn dan 40 jaar en een bijzondere verdienste hebben op het vlak van de wiskunde.
Pierre Deligne (geboren in Brussel in 1944) ontving de Fields-medaille in 1978.
Jean Bourgain (geboren in Oostende in 1954) ontving de Fields-medaille in 1994.
Beide professoren werkten aan de bijzonder hoog aangeschreven School of Mathematics van het Institute for Advanced Study in Princeton.
In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade editie 2011-2012 dook een verrassend vraagstukje op waarbij er op het eerste gezicht te weinig gegevens zijn om het te kunnen oplossen:
In de etalage van een juwelier ligt een collectie ringen die alle uit zowel goud als zilver bestaan, telkens in een andere samenstelling. De ringen zijn even zwaar. De mooiste ring, volgens mijn persoonlijke smaak, bevat één vijfde van de totale massa aan goud in de collectie en één zevende van de totale massa aan zilver. Hoeveel ringen liggen er in de etalage?
Het duikt op in de bijbel: "Simon Petrus ging weer aan boord en sleepte het net aan land. Het was vol grote vissen, honderdrieënvijftig stuks, en ofschoon het er zo veel waren, scheurde het net niet." (Joh. 21, 11)
153 = 13 + 53 + 33 En op basis van deze eigenschap kan je een leuk cijferspelletje spelen. Neem er even een rekenmachientje bij!
Start met een willekeurig getal met 3 verschillende cijfers. Maak vervolgens de som van de derdemachten van deze drie cijfers. Herhaal dit procédé met de cijfers van de bekomen som. Ga zo door ... tot de som niet meer verandert.
Voorbeeld. We starten met 231. 23 + 33 + 13 = 36 33 + 63 = 243 23 + 43 + 33 = 99 93 + 93 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 en dan verandert het resultaat niet meer.
Zoekertje: kan je een startgetal van 3 cijfers kiezen zodat dit procédé eindigt op 370, 371 of 407? Deze getallen hebben immers dezelfde merkwaardige eigenschap: 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73.
Men noemt ze narcistische getallen. Dit zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun cijfers tot de macht het aantal cijfers van het getal.
Hier heb je een narcistisch getal met 4 cijfers: 1634
1634 = 14 + 64 + 34 + 44
PS. Volgens de Griekse mythologie was Narcissus een beeldschone jongeling die verliefd was op zijn eigen spiegelbeeld. Meteen had hij ook te maken met een onmogelijke liefde.
In een perfecte wereld ... zou het bewijs van heel wat wiskundige stellingen veel eenvoudiger moeten zijn.
Daarom stellen we hier een nieuw bewijs voor van de stelling van Pythagoras.
De vlieger van Pythagoras
Op de linkse figuur staat een vierhoek afgebeeld die men een vlieger noemt. Deze vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken. Wanneer je deze twee driehoeken op een andere manier tegen elkaar plaatst, bekom je de rechtse figuur, die een gelijkbenige driehoek is. Uiteraard hebben beide figuren dezelfde oppervlakte.
Een gekende formule voor de oppervlakte van een driehoek is de volgende: "De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek".
Door deze formule op beide figuren toe te passen, bekom je een vrij eenvoudig bewijs van de stelling van Pythagoras.
Eigenschap van de fibonaccigetallen zonder woorden
De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... blijft heel veel wiskundigen fascineren.
Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen. Als we deze rij getallen voorstellen met F0, F1, F2, ... , Fn , ... dan kan men in het algemeen bewijzen dat
Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5 en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook? En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?
Gaspard Monge (1746 - 1818) was een eminente Franse wiskundige die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.
Aan hem danken we één van de mooiste stellingen uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen. Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.
Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels. Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen. Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.
In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.
Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs' waarbij de cirkels bekeken worden als de doorsnede van een vlak met drie bollen.
Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.
Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden.
Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze. Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?
Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.
Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit
deze top-12 die momenteel nog in leven is.
Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste
eeuw.
Vierkanten blijken heel wat wiskundigen (en niet-wiskundigen) te fascineren.
Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies. Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen. Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.
Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.
Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.
1
De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4. Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.
De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.
De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.
En waar zit 5? Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE] maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!
Van de Belgische kinderen tussen de 10 en de 12 jaar heeft 21 procent overgewicht. Zo'n 6 procent heeft extreem overgewicht. België scoort daarmee na Noorwegen het best van zeven onderzochte Europese landen. Dat meldde het academisch ziekenhuis van de Vrije Universiteit Amsterdam. Bron: Het Nieuwsblad 26/04/2012
Om na te gaan of een volwassen persoon al dan niet overgewicht heeft, kan men de zogenaamde Body Mass Index (BMI) berekenen. De BMI werd geïntroduceerd in de 19deeeuw door de Belgische statisticus Adolphe Quetelet, en wordt daarom in Nederland en België ook vaak Queteletindex(QI) genoemd.
De BMI van een volwassen persoon wordt als volgt berekend (en om helemaal correct te zijn zou er in de teller van de formule moeten 'lichaamsmassa' staan):
Op http://www.voedingswaardetabel.nl/bereken/bmi/ staan er naast de afbeelding van Quetelet twee schuifknoppen, waar je door te klikken op het minteken (-) of het plusteken (+) jouw lichaamsgewicht en jouw lichaamslengte kunt instellen. Meteen ken je dan jouw BMI en weet je of je eventueel overgewicht hebt. Een normale BMI-waarde ligt tussen 18 en 25.
Als je bij een constante BMI-waarde de lichaamsmassa (in kg) uitdrukt in functie van de lichaamslengte (in m), bekom je een kwadratische functie met als grafiek een parabool. Hieronder staan er 4 dergelijke parabolen afgebeeld, nl. voor de BMI-waarden 18, 25, 30 en 40. Bron: wikipedia.
In bijlage vind je twee eenvoudige problemen in verband met de BMI.
Tijdens een klasbezoek in het derde jaar secundair onderwijs in een Brugse school gebruikte de lerares een leuk ezelsbruggetje om de leerlingen te helpen bij het oplossen van opgaven over recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden: de OPQR-regel.
Omgekeerd evenredige grootheden > Product is constant Recht evenredige grootheden > Quotiënt is constant
Even testen?
Een ploeg bouwvakkers kan een ruwbouw afwerken in 10 dagen. Als er 8 bouwvakkers meer waren, dan zou het werk in 6 dagen klaar zijn. Hoe groot is de ploeg?
Oplossing. Het gaat hier om omgekeerd evenredige grootheden (constant product): x . 10 = (x + 8) . 6 waaruit volgt dat x = 12. De ploeg bestaat uit 12 arbeiders.
Als we 5 minuten douchen gebruiken we 40 liter water. Hoeveel liter water gebruiken we als we 8 minuten douchen?
Oplossing. Het gaat hier om recht evenredige grootheden (constant quotiënt):
waaruit volgt dat x = 64. Als we 8 minuten douchen gebruiken we 64 liter water.
En dit is logisch voor wie nog de regel van drieën kent want in 1 minuut verbruiken we blijkbaar 8 liter water...
En als één persoon onder de douche 8 liter water gebruikt in een minuut
hoeveel liter water gebruiken twee personen dan onder de douche?
De 17-jarige Vlaming Luca Brecel is de jongste speler ooit die deelnam aan het WK snooker. Ongetwijfeld geeft hij hiermee nieuwe impulsen aan heel wat jonge snookerspelers en biljarters.
Met namen als Raymond Ceulemans, Ludo Dielis, Eddy Merckx, Frédéric Caudron ... heeft België al een heel rijke biljarttraditie opgebouwd.
De link tussen wiskunde en biljarten is trouwens niet ver te zoeken.
Weet jij met hoeveel ballen het snookerspel wordt gespeeld? (Antwoord: 22)
En hoeveel rode ballen zijn er in het spel? (Antwoord: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)
Wat is de hoogste score die men (zonder toegekende strafpunten) kan behalen bij het snookerspel? (Antwoord: maximum break = 147 punten)
Een snookerprobleem. Hieronder staat een snookertafel afgebeeld. De speler die aan de beurt is moet met bal A proberen de rode bal B te raken. Omdat andere gekleurde ballen hem verhinderen rechtstreeks of via één band naar bal B te spelen, besluit hij via de rechterband en daarna via de bovenste korte band naar B toe te spelen. In de richting van welk punt moet hij dan bal A spelen: P, Q, R of S?
:
In de bijlage kunt u genieten van een powerpointpresentatie met o.a. enkele bewegende optische illusies.
De oplossing vind je in de bijlage.
Lees de bijlage!
1
