Het duikt op in de bijbel: "Simon Petrus ging weer aan boord en sleepte het net aan land. Het was vol grote vissen, honderdrieënvijftig stuks, en ofschoon het er zo veel waren, scheurde het net niet." (Joh. 21, 11)
153 = 13 + 53 + 33 En op basis van deze eigenschap kan je een leuk cijferspelletje spelen. Neem er even een rekenmachientje bij!
Start met een willekeurig getal met 3 verschillende cijfers. Maak vervolgens de som van de derdemachten van deze drie cijfers. Herhaal dit procédé met de cijfers van de bekomen som. Ga zo door ... tot de som niet meer verandert.
Voorbeeld. We starten met 231. 23 + 33 + 13 = 36 33 + 63 = 243 23 + 43 + 33 = 99 93 + 93 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 en dan verandert het resultaat niet meer.
Zoekertje: kan je een startgetal van 3 cijfers kiezen zodat dit procédé eindigt op 370, 371 of 407? Deze getallen hebben immers dezelfde merkwaardige eigenschap: 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73.
Men noemt ze narcistische getallen. Dit zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun cijfers tot de macht het aantal cijfers van het getal.
Hier heb je een narcistisch getal met 4 cijfers: 1634
1634 = 14 + 64 + 34 + 44
PS. Volgens de Griekse mythologie was Narcissus een beeldschone jongeling die verliefd was op zijn eigen spiegelbeeld. Meteen had hij ook te maken met een onmogelijke liefde.
In een perfecte wereld ... zou het bewijs van heel wat wiskundige stellingen veel eenvoudiger moeten zijn.
Daarom stellen we hier een nieuw bewijs voor van de stelling van Pythagoras.
De vlieger van Pythagoras
Op de linkse figuur staat een vierhoek afgebeeld die men een vlieger noemt. Deze vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken. Wanneer je deze twee driehoeken op een andere manier tegen elkaar plaatst, bekom je de rechtse figuur, die een gelijkbenige driehoek is. Uiteraard hebben beide figuren dezelfde oppervlakte.
Een gekende formule voor de oppervlakte van een driehoek is de volgende: "De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek".
Door deze formule op beide figuren toe te passen, bekom je een vrij eenvoudig bewijs van de stelling van Pythagoras.
Eigenschap van de fibonaccigetallen zonder woorden
De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... blijft heel veel wiskundigen fascineren.
Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen. Als we deze rij getallen voorstellen met F0, F1, F2, ... , Fn , ... dan kan men in het algemeen bewijzen dat
Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5 en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook? En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?
Gaspard Monge (1746 - 1818) was een eminente Franse wiskundige die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.
Aan hem danken we één van de mooiste stellingen uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen. Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.
Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels. Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen. Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.
In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.
Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs' waarbij de cirkels bekeken worden als de doorsnede van een vlak met drie bollen.
Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.
Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden.
Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze. Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?
Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.
Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit
deze top-12 die momenteel nog in leven is.
Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste
eeuw.
Vierkanten blijken heel wat wiskundigen (en niet-wiskundigen) te fascineren.
Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies. Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen. Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.
Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.
Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.
1
De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4. Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.
De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.
De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.
En waar zit 5? Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE] maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!
Van de Belgische kinderen tussen de 10 en de 12 jaar heeft 21 procent overgewicht. Zo'n 6 procent heeft extreem overgewicht. België scoort daarmee na Noorwegen het best van zeven onderzochte Europese landen. Dat meldde het academisch ziekenhuis van de Vrije Universiteit Amsterdam. Bron: Het Nieuwsblad 26/04/2012
Om na te gaan of een volwassen persoon al dan niet overgewicht heeft, kan men de zogenaamde Body Mass Index (BMI) berekenen. De BMI werd geïntroduceerd in de 19deeeuw door de Belgische statisticus Adolphe Quetelet, en wordt daarom in Nederland en België ook vaak Queteletindex(QI) genoemd.
De BMI van een volwassen persoon wordt als volgt berekend (en om helemaal correct te zijn zou er in de teller van de formule moeten 'lichaamsmassa' staan):
Op http://www.voedingswaardetabel.nl/bereken/bmi/ staan er naast de afbeelding van Quetelet twee schuifknoppen, waar je door te klikken op het minteken (-) of het plusteken (+) jouw lichaamsgewicht en jouw lichaamslengte kunt instellen. Meteen ken je dan jouw BMI en weet je of je eventueel overgewicht hebt. Een normale BMI-waarde ligt tussen 18 en 25.
Als je bij een constante BMI-waarde de lichaamsmassa (in kg) uitdrukt in functie van de lichaamslengte (in m), bekom je een kwadratische functie met als grafiek een parabool. Hieronder staan er 4 dergelijke parabolen afgebeeld, nl. voor de BMI-waarden 18, 25, 30 en 40. Bron: wikipedia.
In bijlage vind je twee eenvoudige problemen in verband met de BMI.
Tijdens een klasbezoek in het derde jaar secundair onderwijs in een Brugse school gebruikte de lerares een leuk ezelsbruggetje om de leerlingen te helpen bij het oplossen van opgaven over recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden: de OPQR-regel.
Omgekeerd evenredige grootheden > Product is constant Recht evenredige grootheden > Quotiënt is constant
Even testen?
Een ploeg bouwvakkers kan een ruwbouw afwerken in 10 dagen. Als er 8 bouwvakkers meer waren, dan zou het werk in 6 dagen klaar zijn. Hoe groot is de ploeg?
Oplossing. Het gaat hier om omgekeerd evenredige grootheden (constant product): x . 10 = (x + 8) . 6 waaruit volgt dat x = 12. De ploeg bestaat uit 12 arbeiders.
Als we 5 minuten douchen gebruiken we 40 liter water. Hoeveel liter water gebruiken we als we 8 minuten douchen?
Oplossing. Het gaat hier om recht evenredige grootheden (constant quotiënt):
waaruit volgt dat x = 64. Als we 8 minuten douchen gebruiken we 64 liter water.
En dit is logisch voor wie nog de regel van drieën kent want in 1 minuut verbruiken we blijkbaar 8 liter water...
En als één persoon onder de douche 8 liter water gebruikt in een minuut
hoeveel liter water gebruiken twee personen dan onder de douche?
De 17-jarige Vlaming Luca Brecel is de jongste speler ooit die deelnam aan het WK snooker. Ongetwijfeld geeft hij hiermee nieuwe impulsen aan heel wat jonge snookerspelers en biljarters.
Met namen als Raymond Ceulemans, Ludo Dielis, Eddy Merckx, Frédéric Caudron ... heeft België al een heel rijke biljarttraditie opgebouwd.
De link tussen wiskunde en biljarten is trouwens niet ver te zoeken.
Weet jij met hoeveel ballen het snookerspel wordt gespeeld? (Antwoord: 22)
En hoeveel rode ballen zijn er in het spel? (Antwoord: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)
Wat is de hoogste score die men (zonder toegekende strafpunten) kan behalen bij het snookerspel? (Antwoord: maximum break = 147 punten)
Een snookerprobleem. Hieronder staat een snookertafel afgebeeld. De speler die aan de beurt is moet met bal A proberen de rode bal B te raken. Omdat andere gekleurde ballen hem verhinderen rechtstreeks of via één band naar bal B te spelen, besluit hij via de rechterband en daarna via de bovenste korte band naar B toe te spelen. In de richting van welk punt moet hij dan bal A spelen: P, Q, R of S?
Op een eiland heeft een piraat een schat begraven. Op dat eiland staan drie eiken (op de plaatsen A, B en C). De plaats E waar de piraat de schat heeft begraven heeft hij als volgt bepaald.
Hij wandelde van eik A naar eik B, nam daar een kwartdraai naar rechts en wandelde naar een punt D1 dat even ver van B ligt als A van B. Hij wandelde dan van eik A naar eik C, nam daar een kwartdraai naar links en wandelde naar een punt D2 dat even ver ligt van C als A van C. Hij begroef de schat in het punt E halverwege tussen D1 en D2.
De schat van de zeerover - GeoGebra Dynamisch werkblad
Daarna vertrok de piraat enkele maanden op strooptocht. Toen hij op het eiland terugkeerde om zijn schat op te graven stelde hij vast dat iemand de eik A had omgehakt en er was geen spoor meer te bekennen van de plaats waar hij had gestaan.
Toch slaagde de piraat er in de plaats waar de schat begraven lag exact te bepalen. Hoe deed hij dat?
Tip. Maak de bovenstaande tekening met GeoGebra en versleep dan het punt A.
In zijn Liber Assumptorum bestudeert Archimedes twee merkwaardige figuren die zijn opgebouwd met behulp van halve cirkels: de salinon (Grieks voor zoutschaaltje) en de arbelos (Grieks voor schoenmakersmes).
salinon arbelos
Een salinon is opgebouwd met behulp van 4 halve cirkels en heeft een verticale symmetrieas. Een arbelos is opgebouwd met behulp van 3 halve cirkels.
Archimedes bewees:
1. De oppervlakte van de salinon is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk dat het hoogste en het laagste punt van de salinon verbindt.
2. De oppervlakte van de arbelos is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met als diameter het lijnstuk [CD] zoals aangeduid op de onderstaande figuur (C is het punt waar de twee kleinere cirkelbogen elkaar ontmoeten, D ligt op de grootste cirkelboog en CD staat loodrecht op AB).
Merk op: een arbelos met een verticale symmetrieas is een bijzonder geval van een salinon.
Graag merken we ook nog de volgende eigenschap op: de totale omtrek van de arbelos hangt niet af van de ligging van C op het lijnstuk [AB].
Kan je de drie vermelde eigenschappen ook bewijzen?
Oplossing in bijlage. Graag zelf eerst even zoeken a.u.b.
Sigiswald wil drie stoelen (gelijk geprijsd), een
tafeltje en een spiegel kopen.
Hij ziet het setje van zijn dromen staan in de WEBA,
maar helaas heeft hij niet genoeg geld bij zich om de 5 artikelen samen te
kopen.
Hij kan wel 4 van de 5 artikelen kopen.
Afhankelijk van zijn keuze kosten 4 artikelen 1264, 1364 of 1800 euro.
Dat kan hij allemaal betalen.
Hoeveel euro kosten de vijf artikelen samen?
Het antwoord en nog veel meer leuke raadsels vind je op http://www.debacker.info/raadsels.asp . Hieronder kan je meteen nog meegenieten van mijn favoriete WEBA-promotieclip.
Pasen doet je ongetwijfeld denken aan paaseieren. Het meest beroemde ei is echter het 'ei van Columbus'.
De anekdote over het ei van Columbus werd voor het eerst opgeschreven in 1565 door de Italiaanse historicus Girolamo Benzoni in zijn boek Historia del Nuevo Mundo (Geschiedenis van de Nieuwe Wereld):
Christoffel Columbus werd na zijn terugkeer uit Amerika (waarvan men toen nog aannam dat het Indië was) bij een diner bij kardinaal Mendoza in 1493 door Spaanse edellieden voorgehouden dat het niet zo moeilijk was geweest om Indië te ontdekken, andere kundige mensen hadden dat ook wel gekund. Columbus antwoordde niet direct, maar vroeg om een ei en wedde met de aanwezigen dat het hen niet zou lukken het ei zonder enige hulp rechtop te laten staan. Ze probeerde het allemaal zonder succes. Columbus pakte toen het ei en maakte één kant plat door het op tafel te tikken. Het ei bleef nu rechtop staan. De aanwezigen begrepen wat Columbus bedoelde: als iemand eenmaal heeft laten zien hoe iets gedaan moet worden, weet iedereen hoe het moet.
Bron: wikipedia.
In het leuke Nederlands wiskundetijdschrift Volgens Bartjens verschijnt elke keer een rubriek met uitdagende probleempjes en wiskundige wetenswaardigheden. Hieronder staat een voorbeeld afgedrukt. Kan jij de uitkomst vinden zonder rekenmachine? En wat is er zo merkwaardig in deze rekensom?
Wist je dat het hoogtepunt van een driehoek de volgende merkwaardige eigenschap heeft: het spiegelbeeld van het hoogtepunt t.o.v. elk van de drie zijlijnen van de driehoek ligt op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
Gevolg. De oppervlakte van driehoek ABC is de helft van de oppervlakte van de zeshoek AH"CH'BH'''.
Teken een scherphoekige driehoek ABC. De hoogtelijnen snijden de omgeschreven cirkel een tweede keer in de punten A', B' en C'. Dan is het hoogtepunt van driehoek ABC het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek A'B'C'.
Teken een willekeurige driehoek ABC. Trek door elk hoekpunt een rechte evenwijdig met de overstaande zijde. De snijpunten van deze paren rechten bepalen de driehoek A'B'C'. Het hoogtepunt van driehoek ABC is dan het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek A'B'C'.
Probeer dit eens zelf te bewijzen.
Tip: de vierhoeken C'ACB en AB'CB zijn parallellograms en A is dus het midden van [B'C'].
Als H het hoogtepunt is van een scherphoekige driehoek Δ ABC, dan zijn de omgeschreven cirkels van Δ HAB, Δ HBC en Δ HCA even groot als de omgeschreven cirkel van Δ ABC.
Probeer dit eens zelf te bewijzen.
Hint. In Δ ABC en Δ HBC hebben de hoeken ∠CAB en ∠CHB dezelfde sinuswaarde omdat het supplementaire hoeken zijn (waarom?). Maak dan gebruik van de sinusregel in beide driehoeken en meerbepaald van het verband (welk?) dat deze regel heeft met de straal van de omgeschreven cirkel.
In 2008 kregen de deelnemers aan de
IMO-competitie
(IMO = International Mathematical Olympiad)
een pittige eerste meetkundevraag voorgeschoteld.
Ze moesten immers een merkwaardige stellingbewijzen over het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek waarbij 4 cirkels een rol spelen. Wij voegden er zelfs nog een vijfde cirkel aan toe.
OPGAVE
Stel dat H het hoogtepunt is van een scherphoekige driehoek ABC. De cirkel met als middelpunt het midden Ma van de zijde [BC] door H snijdt die zijde in twee punten A1 en A2 . De cirkel met als middelpunt het midden Mb van de zijde [AC] door H snijdt die zijde in twee punten B1 en B2 . De cirkel met als middelpunt het midden Mc van de zijde [AB] door H snijdt die zijde in twee punten C1 en C2 . Dan liggen de 6 punten A1 , A2 , B1 , B2 , C1 en C2 op een cirkel. Bovendien is het middelpunt M van die cirkel het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
De laatste vaststelling is het gevolg van het feit dat de middelloodlijn van [AB], [BC] en [CA] ook de middelloodlijnen zijn van [A1A2], [B1B2] en [C1C2].
Voor een bewijs van de stelling verwijzen we naar de bijlage (zie Geometry - Problem 1).
Lees de bijlage!
1
Oplossing in bijlage.
