Op de zesde dag schiep God de mens.
Op de zevende dag rustte hij ...

De bovenstaande afbeelding toont hoe God Adam tot leven wekt.
Het wereldberoemde tafereel is van de hand van Michelangelo
die op 31 oktober 1512 (precies 500 jaar geleden) dit fresco in de Sixtijnse kapel voltooide.

Vergeet niet een virtueel bezoek te brengen aan de Sixtijnse kapel op
http://www.vatican.va/various/cappelle/sistina_vr/index.html .
Via de muisbesturing kan je een 3D-rondwandeling maken
en via het muiswieltje kan je in- en uitzoomen op een gekozen tafereel.

We koppelen hier meteen twee wiskundige raadsels aan vast.

RAADSEL 1
Sneeuwwitje heeft een aantal appels.
Aan de eerste dwerg geeft ze 1 appel en 1/8ste deel van de rest.
Aan de tweede dwerg geeft ze 2 appels en 1/8ste deel van de rest.
Aan de derde dwerg geeft ze 3 appels en 1/8ste deel van de rest.
Aan de vierde dwerg geeft ze 4 appels en 1/8ste deel van de rest.
Aan de vijfde dwerg geeft ze 5 appels en 1/8ste deel van de rest.
Aan de zesde dwerg geeft ze 6 appels en 1/8ste deel van de rest.
De resterende appels geeft ze aan de zevende dwerg.
Nu hebben alle dwergen evenveel appels gekregen.
Hoeveel appels had Sneeuwwitje?

Oplossing. 49 appels.

RAADSEL 2
Een oude man lag op sterven en had een aantal goudstukken die hij onder zijn kinderen zou verdelen.
Het oudste kind kreeg 1 goudstuk en 1/7de deel van de resterende goudstukken.
De tweede kreeg 2 goudstukken en 1/7de deel van de resterende goudstukken.
Enzovoort ...
Het jongste kind kreeg tenslotte de resterende goudstukken
en zo kreeg elk van de kinderen evenveel goudstukken.
Hoeveel kinderen en hoeveel goudstukken had die oude man? 

Oplossing. De man heeft 6 kinderen en 36 goudstukken.

31-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wellicht heb ook jij in de algebralessen geleerd dat
(a + b) (a – b) = a² –  b² .

Maar wist je ook dat de oude Grieken hiervoor een eenvoudig meetkundig bewijs hadden?
Dat kan je (met wat verbeelding) aflezen op de onderstaande figuur!

Het kan ook via de onderstaande figuur.

Gesnapt?

22-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wellicht heb ook jij in de algebralessen geleerd dat
(a + b) (a – b) = a² – b² .

Hieronder presenteren we een eigen bewijs
in de traditie van de Griekse meetkundige aanpak.

En misschien is de onderstaande uitleg nog iets duidelijker?

GESNAPT?

20-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het getal 40 speelt een belangrijke rol in de christelijke tradtie en de bijbel.
Denk maar aan:
- de veertigdaagse vasten
- de tocht van 40 jaar door de Sinaïwoestijn van de Israëlieten onder leiding van Mozes
- het feit dat Hemelvaartsdag 40 dagen na Pasen valt
- het verhaal in het boek Genesis over de zondvloed die 40 dagen en 40 nachten duurde.

Maar hoeveel vierkanten tel jij in de onderstaande figuur?

Oplossing

↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓

19-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

LOGICA MET SNOEPJES

Kan jij het volgende probleempje door logisch redeneren oplossen?

TIP. Kies één snoepje uit het zakje met de aanduiding 'gemengd'.

18-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE EN DE GROOTE OORLOG

Op 17 en 18 oktober 2012 vond in Kortrijk (West-Vlaanderen)
een tweedaags internationaal congres plaats
met als thema 'De Groote Oorlog Her-dacht'
zie: www.her-dacht.be/.

Omdat wiskunde een belangrijke rol speelde
bij het decoderen van de boodschappen in oorlogstijd
en ook omdat we dagelijks (zonder het misschien te beseffen)
in contact komen met allerlei codes
vond ik het opportuun aan dit congres mee te werken
met een lezing over
'Geheime codes of hoe wiskunde een oorlog kan beïnvloeden'.

In de eerste wereldoorlog gebruikte men de zogenaamde ADFGX-code
en in de tweede wereldoorlog de ENIGMA-code.

De tekst van de lezing en de bijhorende powerpointpresentatie vind je in bijlage.

In Flanders Fields
Dr John McCrae
3 mei 1915

Met dank aan Sarah

Voor wie een bevattelijk en mooi geïllustreerd boek zoekt over geheime codes
is dit een absolute aanrader (uitgeverij Quest):

Bijlagen:
GEHEIME CODES - syllabus.doc (2.2 MB)   
Geheime_codes.pptx (3.1 MB)   

André Snijers is leraar en ICT-coördinator in de middenschool Sint-Jan in Beringen.

Hij geeft een werkwinkel op de Dag van de Wiskunde in Kortrijk (zaterdag 24 november 2012) over computergebruik in de eerste graad.

Een bezoekje aan zijn website loont de moeite!

Deze website heeft een aantal deelrubrieken.

	Natuurlijke getallen ordenen.		Natuurlijke getallen    vermenigvuldigen en delen.		Breuken : begrip en ordenen.
	Natuurlijke getallen optellen.		Natuurlijke getallen :    alle hoofdbewerkingen.		Bewerkingen met              breuken.
	Natuurlijke getallen aftrekken.		Kommagetallen : ordenen en    bewerkingen.		Getallenkennis.
	Natuurlijke getallen optellen en  aftrekken.		Lengtematen.		Lijnen en hoeken.
	Natuurlijke getallen  vermenigvuldigen.		Massamaten, inhoudsmaten,    tijdsmaten en gewichtsmaten.		Logisch denken  ( 1 ).
	Natuurlijke getallen delen.		Delers en veelvouden.		Logisch denken  ( 2 ).

	Bewerkingen met   natuurlijke   getallen  ( 1 ).		Percent.		Meetkundige lichamen.
	Bewerkingen met natuurlijke    getallen  ( 2 ).		Gemiddelde.		De schaal.
	Bewerkingen met kommagetallen    en natuurlijke getallen.		Metend rekenen.    Soorten lijnen.		Grafieken en diagrammen.
	Delers, veelvouden, deelbaarheid,    ggd en kgv.		Oppervlaktematen en landmaten.		Logisch denken  ( 1 ).
	Breuken  ( 1 ).		Vlakke figuren.		Logisch denken  ( 2 ).
	Breuken  ( 2 ).		Inhoudsmaten en volumematen.		Interessante rekenprogramma's.

http://www.snijersandre.net/

Ga vlug eens kijken!

11-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In het apachengezin van Winnetou en Pocahontas zijn er 15 kinderen
die telkens anderhalf jaar verschillen in leeftijd.
Shadoogie, de oudste is 8 keer zo oud als Little Shadow, de jongste van de bende.
Hoe oud is Little Shadow?

Luister bij het oplossen van dit probleem even mee naar
Peace Pipe, een zalige en bijna vergeten hit van The Shadows.

10-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

372 en 273 zijn een koppel spiegelgetallen
omdat in het ene getal dezelfde cijfers staan als in het andere
maar in omgekeerde volgorde.

Bestaan er koppels spiegelgetallen
waarvan de kwadraten ook weer spiegelgetallen zijn?

Jawel!

12² = 144 en 21² = 441 
13² = 169 en 31² = 961

102² = 10404 en 201² = 40401 
103² = 10609 en  301² = 90601 
112² = 12544 en  211² = 44521 
113² = 12769 en 311² = 96721 

1012² = 1024144 en 2101² = 4414201 
1112² = 1236544 en 2111² = 4456321 
1212² = 1468944 en 2121² = 4498641 
2012² = 4048144 and 2102² = 4418404 

05-10-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

WISKUNDE AAN DE KASTEELPOORT



Voor de poort van het kasteel van Baron Lucas van Cuerna staat een poortwachter.
Je komt er alleen binnen als je de afspraak kent over het wachtwoord.

Op een dag kwamen drie bezoekers bij het kasteel aan.

Tot de eerste zei de poortwachter: "TWAALF."
De bezoeker antwoordde: "ZES" en mocht naar binnen gaan.

Tot de tweede bezoeker zei de poortwachter: "ZES."
De bezoeker antwoordde: "DRIE" en mocht eveneens naar binnen gaan.

En toen kwam de derde bezoeker aan de beurt.
De poortwachter zei: "TIEN"
waarop de bezoeker antwoordde: "VIJF."
Tot zijn verbazing werd hij niet toegelaten.

Weet jij waarom?
En wat had hij moeten antwoorden?

:Oplossing in bijlage. 

Bijlagen:
OPLOSSING - Wiskunde aan de kasteelpoort.pdf (70.5 KB)   

Wist je dat ...

381 654 729 een merkwaardige eigenschap bezit?
Het is het enige natuurlijk getal waarin de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 precies één keer voorkomen
en dat de volgende eigenschap bezit:
 - het getal zelf is deelbaar door 9
 - laat je het laatste cijfer weg, dan is het bekomen getal deelbaar door 8
 - laat je weer het laatste cijfer weg, dan is het bekomen getal deelbaar door 7
 - enzovoort ... tot je nog maar één cijfer overhoudt en dat is natuurlijk deelbaar door 1.

381 654 729 / 9 = 42 406 081
38 165 472 / 8 = 477 068
3 816 547 / 7 = 545 221
381 654 / 6 = 63 609
38 165 / 5 = 7 633
3 816 / 4 = 954
381 / 3 = 127
38 / 2 = 19
3 / 1 = 3


2 521 een merkwaardige eigenschap bezit?
Als je 2 521 knikkers hebt
en je rangschikt ze in groepjes
van 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 of 2,
dan hou je telkens één knikker over.
Het is het kleinste natuurlijk getal met deze eigenschap.

2 521 = 10 x 252 + 1
2 521 = 9 x 280 + 1
2 521 = 8 x 315 + 1
2 521 = 7 x 360 + 1
2 521 = 6 x 420 + 1
2 521 = 5 x 504 + 1
2 521 = 4 x 630 + 1
2 521 =  3 x 840 + 1
2 521 = 2 x 1 260 + 1

26-09-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

RAADSEL

Mijn broer is vier keer zo oud als ik was,
toen hij zo oud was als ik nu ben. 
Mijn broer is 40.
 Hoe oud ben ik?

Eén minuut bedenktijd.
Bekijk ondertussen dit Youtube-filmpje ...



Antwoord.
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓

Ik ben 25 jaar.
Want toen mijn broer zo oud was,
(dat is dus 15 jaar geleden) was ik pas 10.
En 40 is precies 4 keer 10.

25-09-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Waarom is (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ?

Deze formule drukt (meetkundig gezien) uit dat
een kubus waarvan de zijden een lengte a + b hebben
kan opgedeeld worden in 2 kubussen (a³ en b³)
en 2 keer drie balken. (3 keer a²b en 3 keer ab²).

In 3D zit dat als volgt in elkaar:

Bron: www.mathematische-basteleien.de

24-09-2012 om 11:21 geschreven door Luc Gheysens  

TO SEE IS TO BELIEVE

Ziehier een mooi visueel bewijs
van de stelling van Pythagoras.
(Hermann Baravalle 1945)

Dit bewijs ligt helemaal in de lijn
van het oorspronkelijke 'Griekse bewijs'
uit de Elementen van Euclides.

.........

Bron: www.mathematische-basteleien.de

Maar kan je uitleggen waarom dit een geldig bewijs is ?

24-09-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In Vlaanderen is er nogal wat te doen rond het boek
'De voedselzandloper' van dokter Kris Verburgh.
Deze jonge dokter verwijst in zijn goed gedocumenteerde bestseller
o.a. naar de uitspraak van Hippocrates (460-370 v. Ch., grondlegger reguliere geneeskunde)
 'Wat dan ook de vader van de ziekte is, de moeder is altijd een verkeerde voeding'.

In de onderste helft van de zandloper vind je de gezonde voedingsstoffen
die de ongezonde uit de bovenste helft moeten vervangen.



We koppelen hier graag een wiskundig probleempje aan.
Je beschikt over twee zandlopers.
 De kleinste heeft een looptijd van 3 minuten
en de grootste van 4 minuten.
Hoe kan je hiermee 5 minuten afmeten?

Oplossing.
Laat beide zandlopers tegelijk lopen.
Wanneer de kleinste zandloper na 3 minuten is doorgelopen, begin je de tijd te meten.
De grootste loopt dan nog één minuut verder door.
Wanneer die volledig is doorgelopen, draai je hem om en wanneer hij weer is doorgelopen
zijn er precies 5 minuten voorbij.

20-09-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

RA RA RA ...

Voor 2 betaalde mijn broer 6 euro.
Voor 36 betaalden mijn ouders 12 euro.
Voor 12 betaalde mijn vrouw eveneens 12 euro.
Weet je dan hoeveel mijn zus betaalde voor 144?

Oplossing in bijlage.


Het emoticon bestaat dertig jaar  
Bron: Het Nieuwsblad, woensdag 19 september 2012.

Het is tegenwoordig niet meer weg te denken uit het internet- en gsm-verkeer
en viert vandaag zijn dertigste verjaardag: het emoticon. 

  
 Officieel geldt professor Scott E. Fahlman van de Carnegie Mellon University in Pittsburgh
als de eerste die een smiley gebruikte.

In een interne elektronische boodschap aan zijn studenten
hanteerde hij op 19 september 1982
een dubbelpunt, streep en naar rechts afbuigend haakje 
als een manier om humor aan zijn boodschap toe te voegen.

= J

Bijlagen:
RA RA RA - oplossing.pdf (109.2 KB)   

Ziehier een leuke getallenpriramide
voor liefhebbers van rekensommen met derdemachten!

1 =  1³
   2 + 3 + 4 = 9 = 1 + 8 = 1³ + 2³ 
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 = 8 + 27 = 2³ + 3³
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 91 = 27 + 64 = 3³ + 4³
17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 189 = 64 + 125 = 4³ + 5³

enzovoort ...

Op de n-de rij staat dan de som
(n²  –  2n + 2) + (n² – 2n + 3) + ... + n²
die volgens de formule voor de som van 2n   –  1 opeenvolgende termen uit een rekenkundige rij
gelijk is aan (n² – 2n + 2 + n²)(2n   –  1)/2 = 2n³   –  3n² + 3n   –  1
en dit is precies gelijk aan (n   –  1)³ + n³.



Leuk om te weten:  (4 + 9 + 1 + 3)³ = 4913.



1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 ...  worden soms ook de kubusgetallen genoemd.
Ze komen op een natuurlijke manier te voorschijn
wanneer je opeenvolgende oneven getallen bij elkaar optelt:



 

18-09-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een eigenzinnige wiskundeleraar uit Trier
maakte sommen op een eigenwijze manier.
Van de 10 Arabische cijfers (die iedereen kent)
negeerde hij er 9 permanent:
hij gebruikte enkel en alleen het cijfer 4.



Wist je dat 4 het enige getal is in de Nederlandse taal dat even veel letters telt als het getal zelf aangeeft?
Dit geeft aanleiding tot een leuke vaststelling.
Neem een willekeurig getal, spel het overeenkomstig woord en tel het aantal letters.
Doe dit opnieuw met het bekomen getal/woord.
Ga zo door ... en je komt steeds weer op vier uit.
Bron: wikipedia.

Voorbeeld.
35 = VIJFENDERTIG  telt 12 letters.
12 = TWAALF telt 6 letters.
6 = ZES telt 3 letters.
3 = DRIE en dit woord telt 4 lettters!



Kan je met 4 vieren en via de vier hoofdbewerkingen (+, -, x en :)
als resultaat alle cijfers van 0 tot en met 9 bekomen?
Dat kan!

OPLOSSING.
 4 + 4  –  4  –  4 = 0
(4 + 4) : (4 + 4) = 1
(4 : 4) + (4 : 4) = 2
(4 + 4 + 4) : 4 = 3
(4  – 4) : 4 + 4 = 4
((4 x 4) + 4) : 4 = 5

Probeer nu zelf eens om de uitkomsten 6, 7, 8 en 9 te bekomen.

Oplossing in bijlage.

Leuk om te weten: 10 lukt ook wel op de volgende manier: (44  – 4) : 4.

Vandaag gaat de 'nieuwe' Vlaamse TV-zender VIER van start.
Wie naar VIER kijkt, wordt tussen de programma's door overspoeld door irritante reclamespotjes.
Gelukkig hebben we een digicorder.
Zo kunnen we interessante programma's opnemen en doorspoelen bij reclameblokjes.

Bijlagen:
Vier vieren - puzzel.pdf (66 KB)   

Sommige spookdiertjes planten zich voort volgens een eigenaardige wetmatigheid.
Stel dat je een jong paar spookdiertjes hebt.
Na één maand zijn ze nog een onvolwassen paar.
Na twee maanden zijn ze volwassen en planten ze zich voort.
Zo komt er dan één maand later een nieuw jong paar bij.
Eens dat een paar volwassen is, zorgt het een maand later telkens voor een nieuw jong paar.

Hoeveel paren spookdiertjes zijn er dan in totaal na 2, 3, 4, 5 ...  maanden?
Het antwoord kan je aflezen op het onderstaande schema.



De rij 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9 ...   noemen we de spookrij.
Hierin is vanaf de vierde term elke term gelijk aan de som van de vorige term
en de term die drie plaatsen eerder in de rij staat.
Zo is 4 = 3 + 1, 6 = 4 + 2, 9 = 6 + 3 enzovoort.

In de bijlage bewijzen we dat de verhouding p_n/p_n-1 van twee opeenvolgende termen uit de spookrij
nadert naar het getal ξ = 1,46557...
dat oplossing is van de vergelijking x³ = x² + 1.

Bijlagen:
De spookrij.pdf (201.4 KB)   

Bij het begin van het nieuwe schooljaar
laait het debat over de kwaliteit van ons wiskunde-onderwijs
en over het nut van het 'zuiver wiskundig denken' weer op.

Nochtans zijn er 10 goede redenen waarom wiskunde zo geweldig is.

1. Je wordt er blij van.
2. De sterke verhalen over wiskunde en wiskundigen zijn talrijk.
3. Het wapent je tegen denkfouten.
4. Het is goed voor je burgerschap.
5. Het kan je geld besparen.
6. Je kunt er rijk mee worden.
7. Zelfs het nutteloze is nuttig. 
8. De hele wereld verwiskundigt.
9. Je kunt er mensen mee vermaken.
10. God is zelf een wiskundige.

Meer uitleg hierover lees je in de bijlage (bron: De Standaard).

En mocht je toch nog je twijfels hebben,
kijk dan even hoe de mens erin slaagde
- met behulp van de wiskunde -
de robotjeep Curiosity te laten landen op Mars!

Bijlagen:
10 goede redenen waarom wiskunde zo geweldig is.pdf (114.8 KB)