Heel wat studenten blijken problemen te hebben met partiële integratie. Zeker wanneer deze techniek enkele keren na elkaar moet toegepast worden. Er bestaat echter een eenvoudig rekenschema waarmee je deze problemen omzeilt.
De methode kan toegepast worden in twee gevallen: 1) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = sin ax of f(x) = cos ax; 2) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = eax. Hierbij is a een reëel getal.
WERKWIJZE 1. Maak twee kolommen. In de linkse kolom leid je de veeltermfunctie verschillende keren na elkaar af tot je 0 bekomt. In de rechtse kolom integreer je de andere functie evenveel keer na elkaar. 2. Trek diagonaalsgewijze pijlen (zie onderstaande voorbeelden). Hiermee weet je welke term uit de linkse en de rechtse kolom je met elkaar moet vermenigvuldigen: de eerste uit de linkse met de tweede uit de rechtse enzovoort. 3. Zet bij die pijlen afwisselend een plusteken en een minteken. Een plusteken geeft aan dat je het teken van het gemaakte product behoudt. Een minteken geeft aan dat je het teken verandert. 4. Tel de bekomen producten samen.
Twee eenvoudige voorbeelden illustreren deze werkwijze.
Zopas kocht ik dit boek van Herman Boel aan. De titel alleen al (666 is het bijbelse getal van het beest) daagde me uit. Ik wou wel eens willen weten of er ook leugens bij waren die verwijzen naar getallen. En ja hoor!
Zo blijkt het aantal poten van een duizendpoot te variëren tussen 20 en 382. Het aantal paar poten van een duizendpoot is blijkbaar steeds oneven.
We hebben geen twee neusgaten, maar vier waarvan er twee uitwendig zichtbaar zijn. De andere twee zitten in onze neus!
Men zegt wel eens dat een hondenjaar of een kattenjaar telt voor zeven mensenjaren. Ook dit is niet juist. Kleinere honden leven doorgaans langer dan grote honden en gemiddeld gezien leeft een kat langer dan een hond. De onderstaande tabel geeft correctere informatie over de leeftijd van katten.
Bron: Dierenkliniek Vrieselaar
En wil je weten waarom de kans op kop en munt niet gelijk is bij het opgooien van een muntstuk? Koop dan vlug dit leuke boek aan!
Een wiskundige formule voor geluk: de werkelijkheid gedeeld door verwachtingen.
Wiskundige formules hebben vaak een magische uitstraling althans voor wie ze begrijpt.
Hieronder stel ik een zelfbedachte formule voor, die ik om diverse redenen merkwaardig vind: ze bevat de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking. De getallen 0, 1, π, e en i komen erin voor. De wiskundige functies sin en ln (sinus en logarithmus naturalis) worden toegepast. Beide functies verwijzen nog naar de tijd dat het Latijn de taal van de wetenschappers was. Het getal 666 (het bijbelse getal van het beest) duikt hierin op. Over de merkwaardige eigenschappen van dit getal lees je meer op mijn blog via de zoekopdracht getallen in de bijbel.
Om een duistere reden kan je de geldigheid van deze formule niet controleren met een grafisch rekentoestel zoals de TI-84. Met de TI-Nspire en door gewoon een beetje na te denken lukt het dan weer wel!
En ken je deze formule om het volume van een pizza te berekenen?
In de onderstaande opgave komt het getal φ (gulden snede) op een verrassende manier te voorschijn.
In een rechthoek ABCD wordt de driehoek BFE getekend waarbij E op [AD] ligt en F op [CD] en zo dat ΔABE, ΔBCF en ΔFDE dezelfde oppervlakte hebben. Als |CF| = a en |FD| = b, toon dan aan dat b/a = φ.
Stappenplan.
1. Toon aan dat uit het gegeven en met de notaties op de figuur geldt dat (a + b)d = a(c + d) = bc. 2. Toon aan dat dit de volgende twee vergelijkingen oplevert: bd = ac en bc = a(c + d). 3. Substitueer c = bd/a in de tweede vergelijking en toon aan dat b² = ab + a². 4. Maak hiervan een vierkantsvergelijking in b/a en los op.
Merk op: dan is ook c/d = φ.
Collega Marco Swaen uit Amsterdam bezorgde onlangs een originele oplossing (in bijlage).
Hieronder zie je twee 'bewijzen zonder woorden' voor de formule die onder de figuren staat vermeld. Een 'Griekse manier' van bewijzen. WISKUNDE ZIE JE!
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... De beroemde rij van Fibonacci komt op een verrassende manier te voorschijn in de zogenaamde Fibonaccidriehoek die hieronder staat afgebeeld.
Het rooster bestaat uit gelijkzijdige driehoekjes waarvan de zijden lengte 1 hebben.
De lengte van de zijden van de gele ruiten zijn de opeenvolgende getallen uit de rij van Fiboancci. Bij elk gelijkbenig trapezium (in het rood op de linkse figuur) zijn de lengtes van de kleine basis, van de twee opstaande zijden en van de grote basis drie opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci.
Elk gelijkbenig trapezium is de som van een parallellogram en een gelijkzijdige driehoek. Men ziet direct dat de lengte van de grote basis van elk trapezium de som is van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en bijgevolg zelf een Fibonaccigetal is.
Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917) was een Duitse wiskundige die het volgende probleem formuleerde:
Stel dat er slechts muntstukken met twee verschillende waarden in omloop zijn. Wat is dan het grootste bedrag dat je NIET kunt betalen in muntstukken?
Neem het voorbeeld van een fictief land waar men enkel met muntstukken van 4 en van 5 cent kan betalen. Dan blijkt dat men de waarden van 1, 2, 3, 6, 7 en 11 cent niet kan betalen. Bovendien is 11 cent het hoogste bedrag dan men met die twee soorten munten niet kan betalen! 11 is het zogenaamde Frobeniusgetal voor de twee getallen 4 en 5.
Het was de Engelse wiskundige James Joseph Sylvester (1814 - 1897) die in 1884 de volgende formule bewees voor dit probleem:
Als a en b geen gemeenschappelijke priemfactor hebben dan is het Frobeniusgetal voor a en b gelijk aan ab (a + b).
Met a = 4 en b = 5 komt men zo aan 4 x 5 (4 + 5) = 11.
Een leuk probleem om zelf eens over na te denken is het volgende.
Bij McDonald's verkoopt men Chicken McNuggets is drie verschillende verpakkingen: pakjes met 6 nuggets, met 9 nuggets en met 20 nuggets. Wat is dan het grootste aantal nuggets dat men niet kan bestellen via pakjes van deze drie verschillende soorten?
Wie snel de oplossing wil weten, bekijkt best direct het onderstaande filmpje.
Wiskunde in beeld en het probleem van de rakende cirkels
Vandaag ontving ik het schitterend geïllustreerde geschenkboek Wiskunde in beeld. Met dank aan de organisatoren van de Vlaamse Wiskunde Olympiade!
Daarin viel mij oog op een eenvoudig probleem uit de vlakke meetkunde dat ook een verrassende oplossing heeft.
Vertrek van twee elkaar snijdende cirkels. Waar liggen de middelpunten van de cirkels die aan beide cirkels raken en die ook volledig binnen één van de twee gegeven cirkels gelegen zijn?
Blijkbaar ligt het middelpunt M van elk van deze cirkels op een ellips die de middelpunten A en B van de twee gegeven cirkels als brandpunten heeft.
Het bewijs is vrij eenvoudig als je weet dat de verzameling van de punten uit het vlak waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is, een ellips is.
Bij dit probleem is |AM| + |BM| = |AC| + |CM| + |BM| = |AC| + |DM| + |MB| = |AC| + |BD| en dit is precies gelijk aan de som van de stralen van de twee gegeven cirkels!
Op 29 mei 1953 (precies 60 jaar geleden) bereikte de Nieuw-Zeelandse bergbeklimmer Edmund Hillary samen met de sherpa Tenzing Norgay als eerste de top van de Himalaya.
Meteen een reden om even stil te staan bij het begrip stijgingspercentage.
Bij een helling van 10 % stijgt het wegdek 10 meter op een afstand van 100 meter. Op de bovenstaande figuur is dan Δh/d = 10/100. In de praktijk is de horizontale afstand d echter moeilijk op te meten zodat men dan beter zijn toevlucht kan nemen tot de afstand l die men op het wegdek aflegt. Voor kleinere stijgingsprecentages geeft dit geen groot verschil voor de bijhorende hellingshoek α:
Stijgingspercentages met de bijkhorende hellingshoeken. Bron: wikipedia.
WEETJE. Wist je dat de Himalaya niet de hoogste berg is op aarde? Alles hangt er immers van af hoe men de meting uitvoert. De Himalaya steekt 8 848 meter uit boven het zeeniveau. Wanneer men echter de hoogte van een berg opmeet vanaf de voet tot aan de top, dan blijkt de Mauna Kea met de eerste prijs weg te lopen!
DeMauna Kea is een slapende vulkaan en gelegen in de grote oceaan op Hawaï. Vanaf zeeniveau meet deze berg 4 205 meter, maar gerekend vanaf de zeebodem meet hij 10 203 meter. Hiermee is de Mauna Kea de hoogste berg totalitair gezien op aarde.
Aan Archimedes wordt de volgende 'vergeten stelling' uit de vlakke meetkunde toegeschreven.
De lijnstukken [AC] en [CB] vormen een gebroken koorde in een cirkel (met |AC| > |CB|). Als P het midden is van de boog ACB en als M het voetpunt is van de loodlijn uit P op [AC] dan is M ook het midden van de gebroken koorde.
Op het eerste gezicht is dit een vrij logisch resultaat maar het bewijs ervan vraagt toch wat creativiteit!
Misschien geraak je wel enthousiast over deze stelling als je de twee bewijzen ervan in bijlage bekijkt ?!
Dit is ongetwijfeld het meest verbluffende magische vierkant dat bovendien de eigenschappen heeft van een sudoku!
In dit vierkant staan alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 81. De som van de 9 getallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom en op de twee diagonalen is gelijk aan 369. De som van de 9 getallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 369.
Als men alle getallen in dit vierkant kwadrateert, bekomt men opnieuw een magisch vierkant dat weer dezelfde eigenschappen heeft als het vierkant zelf! De som van de 9 kwadraatgetallen op elke horizontale rij, in elke vertikale kolom en op de twee diagonalen is gelijk aan 20 049. De som van de 9 kwadraatgetallen in elk 3x3-deelvierkant (geel of blauw) is 20 049.
Een vlakke meetkundige figuur die je kunt verdelen in kleinere even grote figuren die allemaal gelijkvormige zijn met de oorspronkelijk figuur noemt men (met een Engelse term) een rep-tile (rep = repetitief, herhaald, tile = tegel). Hierboven staan een collectie rep-tiles afgebeeld. Bron: wikipedia.
Wanneer men dan elke deelfiguur op dezelfde manier weer gaat opdelen in nog kleinere gelijkvormige deelfiguren ontstaat een fractal. Hieronder illustreren we dit aan de hand van een gelijkzijdige driehoek die eerst wordt opgedeeld in vier kleinere gelijkzijdige driehoeken. Als men dit procédé blijft herhalen op de deelfiguren onstaat de zogenaamde Sierpinski-fractal.
Weetje. Tot op heden is er slechts één vijfhoekige reptile gevonden: de zogenaamde sphinx.
Een gulden rechthoek is een rechthoek waarvan de verhouding van de lengte tot breedte gelijk is aan het getal φ van de gulden snede.
De gulden rechthoek speelt een bijzondere rol in de kunst. Zo blijkt de voorgevel van het Parthenon perfect te passen binnen een gulden rechthoek. De Griekse letter φ (phi) zou dan ook verwijzen naar Phidias, de bouwheer van deze tempel.
Voor de constructie met passer en liniaal van een gulden rechthoek verwijzen praktisch alle bronnen naar de bovenstaande linkse figuur. Ik vraag me af waarom men het niet doet volgens de rechtse figuur die vertrekt van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden lengte 1, 2 en √5 hebben. Toch veel eenvoudiger?
Een dergelijke rechthoekige driehoek kan je bovendien 'opvullen' met vijf kleinere congruente driehoeken die gelijkvormig zijn met de grote driehoek, zoals je op de bovenstaande figuur ziet.. We hebben hier dus een mooi voorbeeld van een rep-tile (zie voorgaande rubriek op mijn blog).
Hoe ver ligt de horizon als je kijkt vanop een toren met hoogte h?
Stel dat h jouw ooghoogte is en dat we voor de gemiddelde aardstraal R de waarde 6 370 km nemen. Via de stelling van Pythagoras kunnen we dan hiermee berekenen hoe ver je kunt zien (d.w.z. op welke afstand D de horizon ligt):
D² = (h + R)² R² zodat D² = 2Rh + h².
Hierbij is h² verwaarloosbaar klein ten opzichte van de term 2Rh, zodat D ≈ √(2Rh).
Rekening houdend met de waarde van R kunnen dan bij benadering stellen dat D = 3,6 . √h waarbij de ooghoogte h in meter is uitgedrukt en D in kilometer.
Begin mei 2013 werd op het One World Trade Center in New York (op de plaats waar de Twin Towers stonden) als sluitstuk een antenne geplaatst. De toren werd hiermee 541,325 meter hoog. Als je weet dat 1 voet overeenkomt met 0,3048 meter dan blijkt dat de toren 1776 voet hoog is. En 1776 is niet toevallig het jaar van de Amerikaanse onfhankelijkheidsverklaring!
Kan je nu ook berekenen hoe ver de arbeiders konden zien toen ze die antenne plaatsten? En hoe ver ziet een persoon de horizon als zijn ooghoogte 1,70 meter bedraagt?
Waarom is de verhouding van de lengte van de diagonalen tot de lengte van de zijden gelijk aan het getal φ (gulden snede)?
Dit betekent m.a.w. dat de diagonalen lengte φ hebben als de zijden lengte 1 hebben!
Gebruik hiervoor de onderstaande figuur en de gekende goniometrische waarde (zie bijlage)
En wist je dat er in een icosaëder (regelmatig twintigvlak) drie gulden rechthoeken verscholen zitten. Dit zijn rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte tot de breedte gelijk is aan φ.
Enthousiast voor wiskunde door een paar eenvoudige rekentrucs
ENTHOUSIAST VOOR WISKUNDE
Misschien breng je jouw leerlingen wat enthousiasme bij voor het vak wiskunde via enkele eenvoudige rekentrucs. Hieronder staan er twee vermeld. Bron: Eugene P. Northrop, Riddles in Mathematics, Penguin Books, 1944.
REKENTRUC 1 Doel: iemands leeftijd en geboortemaand raden.
Vraag iemand de volgende bewerkingen uit te voeren: 1) verdubbel jouw leeftijd 2) verhoog het resultaat met 5 3) vermenigvuldig de uitkomst met 50 4) tel hierbij het getal (van 1 tot 12) dat overeenkomt met jouw geboortemaand 5) trek hiervan 365 af (het aantal dagen van een jaar dat geen schrikkeljaar is) 6) geef me het eindresultaat.
Als je bij dit eindresultaat 115 optelt, bekom je een getal van 4 cijfers. De eerste twee geven de leeftijd en de laatste twee geven de geboortemaand. Weet je ook waarom dit klopt?
REKENTRUC 2 Doel: het aantal gegooide ogen raden van drie opeenvolgende worpen met een dobbelsteen.
Laat iemand 3 keer na elkaar gooien met een dobbelsteen. Vraag om telkens het aantal gegooide ogen te noteren. Laat de volgende bewerkingen uitvoeren: 1) verdubbel het aantal ogen van de eerste worp 2) tel hierbij 5 op 3) vermenigvuldig de uitkomst met 5 4) tel hierbij het aantal ogen op van de tweede worp 5) vermenigvuldig de uitkomst met 10 6) tel hierbij het aantal ogen van de derde worp 7) geef me de einduitkomst.
Trek hiervan 250 af en je bekomt een getal van 3 cijfers. Deze cijfers geven precies het aantal ogen van elke worp!. Kan je dit ook verklaren?
Op de Dag van de Wiskunde (19 november 2011) aan de Kulak in Kortrijk
gaven Riggy Van de Wiele en Jef De Langhe een erg gewaardeerde uiteenzetting
over de geschiedenis van de wiskunde aan de hand van GeoGebra. Je vindt de
volledige tekst in bijlage.
In deze tekst staan ook de bewijzen van enkele merkwaardige stellingen
uit de vlakke meetkunde die je hieronder op mijn blog terugvindt.
In hun exposé hadden ze het ook over de kwadratuur van de cirkel.
In een poging om dit probleem op te lossen slaagde Hippocrates van Chios (470 -
410 v. Chr.) er in
te bewijzen dat de som van de oppervlakten van de twee gele maantjes
op de onderstaande figuur gelijk is aan de oppervlakte van de rode rechthoekige
driehoek ABC.
Het kort bewijs maakt gebruik van de stelling van Pythagoras en staat onder
de figuur vermeld.
Als je dit bewijs gesnapt hebt, dan dagen we je uit de onderstaande meerkeuzevraag
uit de JWO-competitie van 2008 op te lossen.
Voor wie er niet direct aan uit geraakt, hebben we de oplossing in bijlage gestopt.
Hippocrates van Chios was een Griekse wiskundige die leefde rond 430 v. Chr. Hij schreef een invloedrijk werk Stoicheia over meetkunde en het is vrijwel zeker dat Euclides zich hierop baseerde voor zijn eigen meetkundeboeken (Elementen).
Op de onderstaande figuur staat een opgave die een variatie geeft op de eigenschap van de maantjes van Hippocrates.
Vanuit het hoekpunt A van een rechthoekige driehoek ABC laat men de loodlijn neer op de zijde [AB]. H is het voetpunt van deze loodlijn. Met de middens van de zijden [AB], [AC], [BC], [AH], [BH] en [CH] tekent men vijf cirkels zoals op de figuur. Toon aan dat de som van de oppervlakten van de vier maantjes A1 + A2 + A3 + A4 gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC.
Lemniscaat van Bernoulli en het symbool voor oneindig
De Engelse wiskundige John Wallis (1616-1703) gebruikte in zijn werk Arithmetica infinitorum (1656) voor het eerst het symbool ∞ voor oneindigheid.
Dit symbool heeft de vorm van een lemniscaat (Grieks: λημνίσκος, band, lint). Deze wiskundige kromme werd beschreven doorvoorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694) en wordt daarom ook de lemniscaat van Bernoulli genoemd.
Zoals je op de bovenstaande figuur kunt zien bestaat er een mooie constructiemethode (bijvoorbeeld met GeoGebra) voor deze kromme. Vertrek van twee cirkels met als middelpunt (2,0) en (-2,0) met als straal 2√2. Deze cirkels gaan dan ook door (0,2) en (0,-2). Neem daarna een variabel punt op beide cirkels zodat het lijnstuk dat die twee punten verbindt de constante lengte 4 heeft. De meetkundige plaats van het midden van dat lijnstuk zal dan de lemniscaat bepalen.
De lemniscaat van Bernouilli is ook de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F1 = (-a,0) en F2 = (a,0) gelijk is aan a²:
Eeuwen geleden reeds waren de Griekse wiskundigen en de volgelingen van Pythagoras in het bijzonder in de ban van de gehele getallen.
Zo onderzochten ze de eigenschappen van de zogenaamde veelhoeksgetallen (figuurlijke of figuratieve getallen). De bekendste soorten zijn de driehoeksgetallen en de vierhoeksgetallen (kwadraten). Hieronder staan naast deze twee soorten ook de vijf- en zeshoeksgetallen afgebeeld. Uiteraard is er van elke soort een oneindig doorlopende rij getallen.
Maar wist je dat er een algemene formule bestaat voor het n-de p-hoeksgetal G(n,p)?
Collega Marco Swaen uit Amsterdam 
.
.
