Leonhard Euler formuleerde ooit het volgende schijnbaar eenvoudige probleem: bestaat er een balk waarvan de lengte, de breedte en de hoogte een gehele waarde hebben en waarvan ook de lengte van de zijvlaksdiagonalen een geheel getal is?
Dit is een zogenaamd Diofantisch probleem, waarbij men een stelsel van drie vergelijkingen moet oplossen en waarbij de oplossingen gehele getallen moeten zijn:
x² + y² = a² x² + z² = b² y² + z² = c².
Het was een zekere Paul Halcke die in 1719 als eerste een oplossing vond voor dit probleem. Voor x = 44, y = 117 en z = 240 is a = 125, b = 244 en c = 267. Dit kan men controleren met behulp van de stelling van Pythagoras.
Ga eens na dat dit ook het geval is bij de balken met de volgende afmetingen: 1) x = 85, y = 132, z = 720 2) x = 160, y = 231, z = 792 3) x = 240, y = 252, z = 275 4) x = 140, y = 480, z = 693.
Tot op heden is er echter nog niemand in geslaagd de perfecte balk te vinden waarbij ook de lengte d van de lichaamsdiagonalen een geheel getal is. Dit levert een bijkomende vergelijking op : x² + y² + z² = d².
Op de bovenstaande figuur zie je hoe een regelmatige vijfhoek ABCDE vier keer na elkaar over een hoek van 72° wordt gekanteld (een rotatie over een hoek van 72° met als centra van de rotatie achtereenvolgens de punten E, F, G en H). De vijfhoek rolt dus als het ware over een rechte lijn. Het punt A komt zo achtereenvolgens in de posities P, Q, R en S terecht.
Wat blijkt nu (via een controle met GeoGebra)? De oppervlakte van de vijfhoek APQRS is precies drie maal de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE.
Hieronder zie een 'bewijs zonder woorden' van P. Mallinson voor een kantelende regelmatige tienhoek. Merk op dat de oppervlakte van elk (roze) driehoekje dat boven de (rode) veelhoekige lijn uitsteekt gelijk is aan de oppervlakte van een (wit) driehoekje onder deze veelhoekige lijn. Hierdoor klopt dit bewijs!
Het leuke aan dit verhaal is dat hieruit volgt dat de oppervlakte onder één boog van een cycloïde precies gelijk is aan drie maal de oppervlakte van de cirkel die deze cycloïde genereert.
In de bijlage berekenen we deze oppervlakte op de klassieke manier met behulp van de integraalrekening.
Ziehier een bewijs zonder woorden - in de Griekse stijl - voor de formule voor de som van de derdemachten van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n+1)2/4.
Deze som van n termen uit het rechterlid kan je dan direct berekenen met behulp van de formule voor de n-de partieelsom van een rekenkundige rij en zo vind je dat
Eigenschap van een veeltermfunctie van de derde graad
Een merkwaardige eigenschap van veeltermfuncties van de derde graad
Stel dat f een derdegraadsfunctie is met als functievoorschrift f(x) = k(x a)(x b)(x c) met k ≠ 0 en a ≠ b ≠ c ≠ a. De nulwaarden zijn a, b en c. Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (a+ b)/2. Dan gaat de raaklijn in P ((a+b)/2, f((a + b)/2) aan de grafiek van f door het punt (c, 0).
Voorbeeld.
f(x) = (1/6)(x 4)(x + 2)(x + 6). De nulpunten van de functie f zijn A(-6, 0), B(-2, 0) en C(4, 0) Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: (-2 + 4)/2 = 1. De raaklijn in het punt P(1, f(1)) = (1, -10,5) gaat dan door het derde nulpunt (-6,0).
Controle van de eigenschap via de App DESMOS.
Controleer nu zelf via eens (via berekening) : 1) de raaklijn in het punt (-4, f(-4)) gaat door het punt (4, 0) (-4 is immers het gemiddelde van -6 en -2) 2) de raaklijn in het punt (-1, f(-1))) gaat door het punt (-2, 0) (-1 is immers het gemiddelde van -6 en 4). Met het rekenwerk voor het algemeen bewijs (zie bijlage) ben je voor een tijdje zoet!
Elders op mijn blog kan je al heel wat informatie en eigenschappen vinden in verband met driehoeksgetallen. Hieronder zie je de 'meetkundige' voorstelling van de eerste 7 driehoeksgetallen.
We voegen hier nu een eenvoudige gekende eigenschap aan toe. Maak zelf eens de som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen en je zult vaststellen dat dit steeds een kwadraatgetal oplevert.
Zo is bijvoorbeeld 6 + 10 = 16 = 42 10 + 15 = 25 = 52.
Een 'Grieks' bewijs zonder woorden zie je op de onderstaande afbeeldingen.
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
Een algebraïsch bewijs volgt uit het feit dat het n-de driehoeksgetal gelijk is aan Dn = n(n + 1)/2. Dan is Dn-1 + Dn = (n 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n(n 1 + n + 1)/2 = n.2n/2 = n2 .
Een regelmatige vlakvullingof betegeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken, vierhoeken ...). Deze komen in hun hoekpunten samen. De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken. We kunnen bewijzen dat er maar drie soorten regelmatige betegelingen mogelijk zijn: met driehoeken, vierkanten en zeshoeken.
Het bewijs hiervan vind je in de onderstaande bijlage.
Er bestaan echter ook heel wat niet-regelmatige vlakvullingen, waarbij verschillende soorten veelhoeken worden gebruikt. Je kunt hiermee zelf gaan experimenteren op http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/taprats/applet.html. Een gekend voorbeeld hiervan is de Penrose-betegeling waarin er twee soorten tegels voorkomen: de zogenaamde vlieger en pijl. Een Penrose-betegeling herhaalt zichzelf nooit en is dus niet-periodiek. Dat betekent dat je een Penrose-betegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Lees meer hierover op http://www.kennislink.nl/publicaties/penrose-betegelingen-in-middeleeuwse-islamitische-mozaieken .
In 1891 bewees de Russische kristallograaf E.S. Fedorov dat er precies 17 verschillende behangpatronen mogelijk zijn:
In het artikel in bijlage over islamitische kunst legt Prof. Jan van de Craats uit hoe men tot die 17 patronen komt. In zijn classificatie op blz. 9 vertrekt hij van de kleinste rotatiehoek die in het patroon kan voorkomen. Voor n = 1: geen rotatiehoek. Voor n = 2: een hoek van 360°/2 = 180°. Voor n = 3: een hoek van 360°/3 = 120°. Voor n = 4: een hoek van 360°/4 = 90°. Voor n = 6: een hoek van 360°/6 = 60°.
Deze patronen komen o.a. voor in het Alhambra in Granada en ze inpireerden de Nederlandse grafische kunstenaar M.C. Escher voor zijn beroemde vlakvullingen.
Ik heb me altijd al verbaasd over de formule voor de som van de kwadraten van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n:
De formule blijkt 'weinig symmetrisch' te zijn en om 'een mysterieuze reden' moet er gedeeld worden door 6.
Hieronder zie 'een Grieks bewijs' zonder woorden voor deze formule. We gaan er van uit dat je weet dat 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
De oppervlakte van de linkse figuur (met n = 4) is dan gelijk aan 3(12 + 22 + ... + n2) en ook aan (2n+1)(1 + 2 + ... + n). Hieruit volgt dan direct de gewenste formule!
Een kleine
berekening leert dat bij de Belgen DAGELIJKS ongeveer 3,3 miljoen euro in
rook opgaat.
Alle Belgen bezitten samen goed 800
miljard euro.
In dat netto financieel vermogen zit alles: cash, spaarrekeningen, kasbonnen,
aandelen, obligaties enzovoorts,
en alle schulden van de particulieren zijn ervan afgetrokken.
En het dikt aardig aan, een jaar geleden was het nog maar 750 miljard.
Van die 800 miljard staat nu 240 miljard op spaarboekjes. Nog nooit was dat zo
veel.
Dat is opmerkelijk, want geld op een
spaarboekje levert nauwelijks nog iets op.
Een klassieke spaarrekening bij een grote bank biedt je nu een rente van 0,70
procent (basisrente plus getrouwheidspremie).
Dat betekent dat je voor elke 10 000 euro die een jaar op een spaarrekening
blijft staan maar 70 euro rente ontvangt.
Vandaag ligt de inflatie al
boven 1 procent.
Dat is niet hoog, want de Europese Centrale Bank (ECB) streeft naar een
inflatie van juist onder de 2 procent.
Een gemiddeld rendement op een spaarboekje van 0,70 procent en een
inflatie van 1,20 procent wil wel zeggen
dat de spaarder reëel verarmt en niet weinig: als er 240 miljard op de
spaarboekjes staat
en de reële spaarrente (rente min inflatie) min 0,5 procent bedraagt,
gaat jaarlijks 1,2 miljard euro aan koopkracht in rook op.
Dat komt neer op ongeveer 3,3 miljoen euro per dag.
Vertrekkend van de som- en verschilformules bewijst men in het secundair onderwijs de gomiometrische formules voor de dubbele hoek:
sin 2α = 2 sinα cos α cos 2α = cos2α sin2α.
Hieronder presenteren we een 'bewijs zonder woorden' voor beide formules. We gaan ervan uit dat je weet dat de oppervlakte van een willekeurige driehoek gelijk is aan het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek:
"Geef me een plaats om te staan en ik beweeg de aarde" Archimedes (3de eeuw v. Chr.)
Met deze beroemde uitspraak verwijst Archimedes naar het hefboompricipe: MACHT x MACHTARM = LAST x LASTARM.
Als Archimedes dus zou beschikken over een hefboom die lang genoeg is, een steunpunt en de juiste plaats waar hij zou kunnen staan, dan zou hij in principe de aarde kunnen optillen.
Het hefboomprincipe vindt zijn dagelijkse toepassing in heel wat gebruiksvoorwerpen: een koevoet, een notenkraker, een suikertang, riemen van een roeiboot, een kroonkurkwipper, een slagboom, een schaar, de voorarm, een vorkheftruck, een knoflookpers, een nagelknipper, een trektang ...
Stel dat Bert 570 N weegt (ongeveer 58 kg) en Ernie 380 N (ongeveer 39 kg). Ze zitten beiden op een wip en Bert bevindt zich op 90 cm van het steunpunt. Hoe ver moet Ernie dan gaan zitten aan de andere kant van het steunpunt opdat de wip in evenwicht zou blijven?
In bijlage zit een gebruiksklare werktekst voor een les over hefbomen. Met dank aan collega Nele Vanderbusse.
"Dat niemand hier binnentrede zonder kennis van de geometrie."
Dit opschrift stond boven de ingang van de Academie die Plato in 387 v. Chr. in Athene oprichtte. Dit was in feite de eerste universiteit ter wereld. De leerlingen kregen er onderricht in de filosofie en de wiskunde die in die tijd voornamelijk meetkundig geïnspireerd was. In feite bewezen de oude Grieken ook heel wat eigenschappen uit de getallenleer op een louter meetkundige manier;
Hieronder vermelden we een voorbeeld met een typisch voorbeeld met een 'Grieks' bewijs.
De alternerende kwadratensommen (in het linkerlid) leveren blijkbaar de driehoeksgetallen op:
Onmogelijke figuren en getrukeerde foto's hebben een magische uitstraling. Met behulp van computerprogramma's slaagt nu haast iedereen erin te 'fotoshoppen'.
In het Nederlands wiskundetijdschrift Pythagoras verschenen regelmatig leuke knutselfiguren.
Hieronder staan twee gekende onmogelijke figuren afgebeeld.
De linkse figuur is gemaakt uit een rechthoekig stuk papier dat ik met een schaar enkele keren heb ingeknipt. Kan je die namaken?
De rechtse vlakke figuur bestaat uit twee verschillende vierkanten die enkele keren zijn ingeknipt en dan in elkaar geschoven. Merk op dat er geen losse stukjes bij zijn. Probeer die maar eens na te maken!
Oplossingen vind je o.a. in het boek De Pythagoras Code (Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2011).
Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (598 668) was een Indiase wiskundige en astronoom. Hij wordt gezien als de uitvinder van het getal nul. Hij hield zich o.a. bezig met het oplossen van vergelijkingen van de eerste en tweede graad en gebruikte hiervoor algebraïsch rekenwerk. Hij paste ook als eerste algebra toe om problemen uit de astronomie op te lossen. Bron: wikipedia.
Hij is vooral bekend voor het bewijs van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek:
waarbij s gelijk is aan de halve omtrek van de koordenvierhoek, d.w.z.
Brahmagupta bewees nog een andere merkwaardige stelling voor een koordenvierhoek.
In bijlage zit een bewijs van deze stelling en van de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek. Hopelijk val je van de elegantie hiervan niet achterover!
Doordat de Griekse wiskundigen eeuwen geleden zochten naar een oplossing voor de kwadratuur van de cirkel, zochten ze meteen ook op een aantal aanverwante problemen.
In mijn eigen schooltijd leerden we bijvoorbeeld nog hoe je een vierkant construeert (met passer en liniaal) dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven veelhoek.
STAP 1. Construeer een (n-1)-hoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven n-hoek. We illusteren dit aan de hand van de constructie van een driehoek CDE die dezelfde oppervlakte heeft als de gegeven vierhoek ABCD. Kan je uitleggen hoe deze constructie verloopt en waarom ze correct is?
Door deze stap n-3 keer na elkaar toe te passen kan je dan een n-hoek omvormen tot een driehoek met dezelfde oppervlakte.
STAP 2 Construeer een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven driehoek. Hieronder heeft het vierkant PQRS dezelfde oppervlakte als de driehoek ABC. Kan je verklaren waarom deze constructie correct is?
Wie er 35 euro voor over heeft, krijgt van
in het pretpark Walibi een Speedy Pass, waarmee hij elke wachtrij mag voorbijlopen. Wouter
Rogiest van de UGent rekende uit welke invloed de speedy pass heeft op de
wachttijd voor de gewone bezoeker.
Met de hulp van de wachtlijntheorie berekende hij dat
de wachttijd voor de gewone bezoeker zou verdubbelen als de helft van de
bezoekers van Walibi een speedy pass zou nemen.
Ziehier de formules waarmee je de gemiddelde wachtiijd aan een attractie kunt berekenen:
De eerste formule levert de gemiddelde wachttijd van een willekeurige klant, in een systeem dat werkt zonder pasje, W0.
De tweede en derde formule gelden in een systeem met pasje, en leveren de gemiddelde wachttijd van een klant mét (W1) en een klant zonder pasje (W2). In de formules komen drie variabelen voor.
· a, 0<a<1, de fractie van bezoekers met een pasje, bijv. 0,10 als 1 op de 10 een pasje heeft. · r, 0≤r<1, de bezettingsgraad van de attractie, bijv. 0,95 voor een attractie die 95% van de tijd gebruikt wordt. · S, S>0, de vaste bedieningstijd per klant, bijv. 6 seconden, voor een attractie die om de drie minuten 30 bezoekers bedient.
Op de onderstaande grafiek kan je zien hoe de wachttijd van de gewone bezoeker toeneemt naarmate er meer bezoekers over een pasje beschikken.
Indien minder dan 10 procent van de bezoekers een speedy
pass heeft, dan blijft de extra wachttijd voor de bezoekers zonder speedy pass
echter beperkt.
Problematisch zou het wel worden als bezoekers met een speedy
pass een bepaalde attractie verschillende keren na mekaar doen.
Walibi liet eerder al verstaan dat het maximum 500 speedy passen per dag zou
verkopen, dus wellicht blijft de hinder eerder beperkt.
Heel wat studenten blijken problemen te hebben met partiële integratie. Zeker wanneer deze techniek enkele keren na elkaar moet toegepast worden. Er bestaat echter een eenvoudig rekenschema waarmee je deze problemen omzeilt.
De methode kan toegepast worden in twee gevallen: 1) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = sin ax of f(x) = cos ax; 2) bij integratie van het product van een veeltermfunctie en een functie met als voorschrift f(x) = eax. Hierbij is a een reëel getal.
WERKWIJZE 1. Maak twee kolommen. In de linkse kolom leid je de veeltermfunctie verschillende keren na elkaar af tot je 0 bekomt. In de rechtse kolom integreer je de andere functie evenveel keer na elkaar. 2. Trek diagonaalsgewijze pijlen (zie onderstaande voorbeelden). Hiermee weet je welke term uit de linkse en de rechtse kolom je met elkaar moet vermenigvuldigen: de eerste uit de linkse met de tweede uit de rechtse enzovoort. 3. Zet bij die pijlen afwisselend een plusteken en een minteken. Een plusteken geeft aan dat je het teken van het gemaakte product behoudt. Een minteken geeft aan dat je het teken verandert. 4. Tel de bekomen producten samen.
Twee eenvoudige voorbeelden illustreren deze werkwijze.
Zopas kocht ik dit boek van Herman Boel aan. De titel alleen al (666 is het bijbelse getal van het beest) daagde me uit. Ik wou wel eens willen weten of er ook leugens bij waren die verwijzen naar getallen. En ja hoor!
Zo blijkt het aantal poten van een duizendpoot te variëren tussen 20 en 382. Het aantal paar poten van een duizendpoot is blijkbaar steeds oneven.
We hebben geen twee neusgaten, maar vier waarvan er twee uitwendig zichtbaar zijn. De andere twee zitten in onze neus!
Men zegt wel eens dat een hondenjaar of een kattenjaar telt voor zeven mensenjaren. Ook dit is niet juist. Kleinere honden leven doorgaans langer dan grote honden en gemiddeld gezien leeft een kat langer dan een hond. De onderstaande tabel geeft correctere informatie over de leeftijd van katten.
Bron: Dierenkliniek Vrieselaar
En wil je weten waarom de kans op kop en munt niet gelijk is bij het opgooien van een muntstuk? Koop dan vlug dit leuke boek aan!
Een wiskundige formule voor geluk: de werkelijkheid gedeeld door verwachtingen.
Wiskundige formules hebben vaak een magische uitstraling althans voor wie ze begrijpt.
Hieronder stel ik een zelfbedachte formule voor, die ik om diverse redenen merkwaardig vind: ze bevat de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking. De getallen 0, 1, π, e en i komen erin voor. De wiskundige functies sin en ln (sinus en logarithmus naturalis) worden toegepast. Beide functies verwijzen nog naar de tijd dat het Latijn de taal van de wetenschappers was. Het getal 666 (het bijbelse getal van het beest) duikt hierin op. Over de merkwaardige eigenschappen van dit getal lees je meer op mijn blog via de zoekopdracht getallen in de bijbel.
Om een duistere reden kan je de geldigheid van deze formule niet controleren met een grafisch rekentoestel zoals de TI-84. Met de TI-Nspire en door gewoon een beetje na te denken lukt het dan weer wel!
En ken je deze formule om het volume van een pizza te berekenen?
In de bijlage berekenen we deze oppervlakte op de klassieke manier
In bijlage zit een bewijs van deze stelling 
