Om een stelsel van n lineaire vergelijkingen op te lossen
waarbij de determinant van de coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul
bestaat er een elegante oplossingsmethode die gebruik maakt van determinanten:

DE REGEL VAN CRAMER

die we hieronder vermelden voor een 3 x 3 - stelsel.

Gabriel Cramer (1704 - 1752) was een Zwitserse wiskundeprof die werkte aan de Universiteit van Genève.
In 1750 publiceerde hij een boek over algebraïsche krommen
waarin hij o.a. bewees dat een vlakke kromme van de n-de graad
in het algemeen bepaald is door n(n+3)/2 punten.
Zo is bijvoorbeeld een kegelsnede (tweedegraadskromme) bepaald door 5 punten. 

In de bijlage bij dit werk publiceert hij een methode om stelsel op te lossen, die nu bekend staat als de regel van Cramer.
Hiermee gaf hij een aanzet tot de ontwikkeling van de theorie van determinanten.

Een kort bewijs van deze regel vind je in de bijlage.

Bijlagen:
De regel van Cramer - bewijs.pdf (177.8 KB)   

 

PROBLEEM 8

UITVINDING 8

Deze snelle driewieler was een uitvinding van een zekere
Mr. Vossner uit Philadelphia.
Hij bedacht een ingenieus systeem om de beweging van de pedalen
over te brengen op de grote wielen van deze fiets.
Eén toer met de pedalen resulteerde in twee volledige toeren van de wielen
zodat men terecht kon spreken van een snelle driewieler.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 8_oplossing.pdf (216.1 KB)   

EEN MERKWAARDIGE SOM

Een bewijs zonder woorden zie je hieronder!

Bron: Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 5 

***********************************************************************************************

Collega Daniël Tant bezorgde me een bewijs 'met woorden':

27-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SOM VAN EEN MEETKUNDIGE REEKS

Een gelijkbenig trapezium kan je opdelen in vier congruente gelijkbenige trapeziums

en hiermee bewijs je 'zonder woorden ' dat

1/4 + 1/16 + 1/64 + ...  = 1/3.

Dit is een bijzonder geval van een algemene formule voor de som van een meetkundige reeks.

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden voor deze algemenere formule.

Gezien?

26-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STANGENVLINDERS

Een constructie bestaat uit twee stangen van lengte 18 cm en twee stangen van lengte 10 cm,
die scharnierend aan elkaar bevestigd zijn. We verwaarlozen de breedte en de dikte van de staven.
Wanneer de stangen scharnieren rond de punten A, B, C en D ontstaan figuren
die we stangenvlinders noemen. Hieronder staan er een paar  getekend.

De afstand tussen A en B is x en de afstand tussen C en D is y.
Druk het verband uit tussen x en y.

Oplossing in bijlage.
Bron: Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, Jaargang 28 nr. 1 (2011)

Bijlagen:
Stangenvlinders - rekenwerk.pdf (145.7 KB)   

HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN

Vier luizen zitten op de vier hoekpunten van een vierkant met zijde 1.
Elke luis loopt in tegenwijzerzin in de richting van de luis rechts ervan
(die dus zelf ook aan de loop gaat) en we nemen aan
dat de luizen met dezelfde snelheid naar elkaar toe lopen.

Het zal wel duidelijk zijn dat de vier luizen elkaar in het midden van het vierkant ontmoeten.
Maar welk traject hebben ze dan afgelegd en hoe lang is dat traject?  

In de bijlage tonen we aan dat ze lopen volgens een logaritmische spiraal. Puur wiskundig bekenen zouden de vier punten oneindig lang naar elkaar toe bewegen en paradoxaal genoeg is 'de totale afstand' die elke luis aflegt gelijk aan 1 wat precies de lengte van de zijden van het vierkant is.

HET PROBLEEM VAN DE DRIE LUIZEN.

Welke afstand zouden drie luizen afleggen
als ze starten op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek
waarvan de zijden lengte 1 hebben?

Wiskundigen zijn erin geslaagd een elegante formule te vinden
voor de afgelegde afstand d_n wanneer de luizen starten
op de hoekpunten van een regelmatige n-hoek met zijden 1:

Meer uitleg op http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FourTurtles.shtml 
De baan die ze volgen is dan telkens een logaritmische spiraal.

Bron: Wolfram Mathworld.

Bijlagen:
HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN.doc (198 KB)   

EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN DUBBELE OPLOSSINGSMETHODE

Ik heb er me ook altijd over verbaasd dat er voor sommige extremumvraagstukken
een 'synthetische oplossing' bestaat, waarbij men geen beroep moet doen op afgeleiden,
maar waar men via 'logisch redeneren' tot een oplossing kan komen.

Hier heb je een dergelijk probleem.

De punten A(0,4) en B(12,9) zijn twee vast gekozen punten.
Een lijnstuk [PQ]  met lengte 5 verschuift over de x-as.
 α is de hoek tussen AP en de x-as en β is de hoek tussen BQ en de x-as.
Toon aan dat de omtrek van de vierhoek ABQP minimaal is als  α = β. 

Vind jij een oplossing met behulp van de afgeleide van een functie? Of zie je andere manier?
De dubbele oplossingsmethode is uitgewerkt in de bijlage.

Bijlagen:
Extremumvraagstuk met een dubbele oplossing.pdf (218.8 KB)   

Amper één op drie studenten haalt diploma zonder te bissen

22/03/14 − Bron: Belga

Amper één op drie studenten in het hoger onderwijs haalt binnen de voorziene termijn van drie jaar zijn bachelordiploma,
zo melden Het Nieuwsblad en De Standaard vandaag.
Enkele jaren geleden haalden nog vier studenten op tien hun diploma binnen de voorziene tijd.

Sinds de hervorming van het hoger onderwijs haalt 70 procent van de studenten die aan een bachelor begonnen een diploma.
Maar slechts één op drie doet dat dus binnen de voorziene termijn van drie jaar,
zo blijkt uit cijfers van de Vlaamse databank Hoger Onderwijs.
Er zijn zelfs studenten die zes of zeven jaar nodig hebben.

"Dat is niet enkel een verkwisting van overheidsgeld en dus totaal onverantwoord, zeker in tijden van crisis.
Het jaagt ook de ouders op kosten en zorgt voor een latere instroom in het beroepsleven",
licht Didier Pollefeyt, vice­-rector onderwijs van de KU Leuven, toe.

De evolutie is een gevolg van de grotere flexibiliteit in het hoger onderwijs.
Stu­denten kunnen nu zelf hun traject samenstellen en bij­voorbeeld overgaan naar het volgende jaar,
ook al zijn ze nog niet voor alle vakken geslaagd. De buizen nemen ze gewoon mee.
Volgens Pollefeyt is de flexibilisering ‘te ver doorgeschoten’:
"We moeten dringend werk maken van een verstrenging van de regels."

 Persoonlijke bedenkingen.
Een oproep aan alle ouders om rekening te houden met adviezen die leraars op het einde van de tweede graad
en op het einde van het secundair onderwijs meegeven.
Bij de aanvang van een academiejaar pronken heel wat hogescholen en universiteiten met hun 'kijkcijfers'.
Wat wil men echt: kwantiteit of ... ?
Begin met een ijkingstoets voor alle studierichtingen van het hoger onderwijs,
waardoor de beginnende student weet waar hij/zij staat bij de aanvang van een bepaalde studierichting.
Ook een taalproef zou hier niet misstaan.
Eis dat men in het eerste bachelorjaar volledig slaagt (met eventuele herexamens) voor een oordeelkundig samengesteld studiepakket.
Quousque tandem abutere?

22-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EXTREMUMVRAAGSTUKKEN

Via extremumvraagstukken worden studenten geconfronteerd
met de techniek van het 'mathematiseren'
waarbij een probleem wordt omgezet in 'wiskundetaal'
en met behulp van afgeleiden kan worden opgelost.

Geen eenvoudige opdracht!

Dit probleem en heel wat andere wiskunde-onderwerpen
komen aan bod in de les-filmpjes op http://www.wezoozacademy.be/


EEN EXTREMUMVRAAGSTUK MET EEN MINIMUM EN EEN MAXIMUM

Een student vroeg me ooit of er ook extremumproblemen bestaan
waarbij er zowel een maximum als een mimimum optreedt.

Ik wist hierop niet direct een passend antwoord te geven
en zocht uiteindelijk mijn toevlucht in de economie.

Van een bepaald product worden er per dag q eenheden geproduceerd,
met een maximale capaciteit van 45 eenheden per dag.
De totale kostprijs wordt berekend met de formule
K(q) = q⁴ – 90q³ + 2400q².

In bijlage vind je een document met 16 klassieke extremumvraagstukken
dat ik jarenlang heb gebruikt in de wiskundelessen (en misschien lagen sommigen hiervan wel wakker ...).

Bijlagen:
Extremumvraagstukken - opgavenblad.pdf (120.7 KB)   

De twee verstrooide detectives Jansen en Janssen ken je ongetwijfeld.
En wist je ook dat de snor van Jansen recht naar beneden wijst, terwijl die van Janssen wat naar boven toe krult?

 In de tweede ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade - editie 2014 - dook een leuke J & J - vraag op.
Ik loste ze op via een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden.

Vind jij het antwoord op zicht?

Janssen en Jansen zijn samen 156 jaar.
Jansen is drie keer zo oud als Janssen was toen hij dubbel zo oud was als Jansen.
Wat is de leeftijd van Janssen?

A. 66 jaar      B. 72 jaar     C. 78 jaar      D.  84 jaar     E. 90 jaar.

©   Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

21-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 9

UITVINDING 9

Met dit toestel kon men de omtrek van een wiel opmeten.
Toen nog vaak houten wielen werden gebruikt,
bracht de smid hierop een metalen band aan.
Met dit apparaatje kon hij gemakkelijk de omtrek van een wiel opmeten
om de lengte van die metalen band te bepalen.
Het toestel dat in Amerika werd gebruikt had een omtrek van 1 voet (± 30 cm)
die was onderverdeeld in 12 duim (1 duim = ±  2,5 cm).

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 9_oplossing.pdf (48.2 KB)   

SIFR

Een cijfer is een enkelvoudig symbool waarmee een telbaar aantal wordt aangeduid.

De westerse cijfers van het tientallig stelsel zijn: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Ze worden Arabische cijfers genoemd, maar in feite zijn ze afkomstig uit India.

De Arabieren zelf hebben ze van daar overgenomen.

Het woord "cijfer" komt van het Arabische sifr, dat "nul, leeg" betekent en op zijn beurt uit het Sanskriet ontleend werd: sunyata "ledig".

Bron: Wikipedia.

En misschien heb jij deze morgen al de cijfers laten dansen in een sudoku?

Of hou je meer van de onderstaande getallenpiramides?

Eén aapje in de slagroom
twee beren vol met zeep
drie geiten in een pudding
vier zebra's zonder streep
vijf neushoorns met een feestneus
zes wolven in de trein
en zeven dikke kikkers die snipverkouden zijn.

Acht zingende giraffen
wel negen kangoeroes
en tien gestampte muisjes
die dansen voor de poes
en zing je vaak dit liedje
dan leer je bovendien
eenvoudig alle cijfers
van één, twee, drie tot tien!

Uit: Het grote liedjesboek

19-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

SANGAKU EN EUCLIDISCHE MEETKUNDE IN FLORIDA

Collega Paul Yiu werkt aan de Florida Atlantic University
en hij verrast ons met een sangaku.

Kan je aantonen dat de drie kleine cirkels dezelfde oppervlakte hebben?

In bijlage trakteert Paul Yiu ons nog
op een cursus Euclidische meetkunde
met een aantal uitdagende oefeningen.

Om van te genieten op een regenachtige dag!

Bijlagen:
Euclidean Geometry Notes.pdf (1011.7 KB)   

OP-ART

Op-art is een richting in de schilderkunst van de 20e eeuw die bekend werd in de jaren 1963-1966.
De term is een afkorting van het Engelse begrip optical art. Op-art speelt een spel met verschillende optische illusies.
en in heel wat op-art werken zorgt het contrast van witte en zwarte lijnen en vlakken voor een mooi effect.

       
  

Werk van Bridget Riley (Londen, 24 april 1931) is een Engelse schilderes,
die wordt gezien als een belangrijke vertegenwoordiger van de op-art.
Bron: http://www.op-art.co.uk/op-art-gallery/bridget-riley/

De Ouchi illusie
is genoemd naar de Japanse op-art kunstenaar Hajime Ouchi
die ze in 1977 heeft ontworpen en gepresenteerd.
Het centrale schijfje lijkt te zweven boven het vierkant
en er onstaat zelfs een beweging
als we ons hoofd traag van links naar rechts bewegen.




De driehoek van Kanisza
werd voor het eerst beschreven de Italiaanse psycholoog Gaetano Kanisza in 1955.
Drie uitgesneden taartpunten uit de zwarte schijfjes
zorgen voor de visuele waarneming van een driehoek die er niet is.

      

In het kader hiervan verwijzen we graag ook even naar de 'barberpole illusie'.
Een 'barberpole' is een draaiende figuur die vroeger aan de gevel van kapsalons te zien was.

Een diagonaal lijnenpatroon schuift onder een hoek van 45°
van links naar rechts (zoals duidelijk te zien is door het ronde gat links).
Wanneer we dat echter gaan bekijken door een verticale gleuf
krijgen we de indruk dat het patroon gewoon verticaal naar beneden schuift.



En zelfs het duo Sonny & Cher was in de jaren '60 in de ban van de pop-art.
Geniet nog even mee van hun wereldhit Little Man (1966).

16-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE EUTRIGON-STELLING

Een eutrigon (Grieks : eu > goed, tri > drie, gon > hoek)
is een driehoek waarvan één van de hoeken 60° is.
Stel dat a en b de aanliggende zijden zijn van die hoek en c de overstaande zijde.

Dan geldt de volgende stelling.

De oppervlakte van een eutrigon is gelijk aan de som van de oppervlakten
van de gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd op de zijden a en b,
verminderd met de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek geconstrueerd op de zijde c.  

Q = A + B – C

Hieronder zie je een bewijs zonder woorden.

Zie jij het ook?

 In de bijlage zit ook nog een klassiek bewijs.

Bijlagen:
Stelling van de eutrigon - bewijs.pdf (159.7 KB)   

PI-DAG 2014

Vandaag vieren wiskundigen weer hun jaarlijkse pi-dag
en daarom mag hier een vraag over het getal pi zeker niet ontbreken.

Weet jij de oplossing?

  

Oplossing in bijlage.

Bijlagen:
Oplossing pi-vraag 2014.pdf (154.7 KB)   

PROBLEEM 10

UITVINDING 10


Deze uitvinding van een Amerikaanse handelsreiziger
is een draagbaar slot dat men op reis kon meenemen.
Het diende om een standaardslot van hotelkamers
van binnenin af te sluiten en het was blijkbaar
in een handomdraai op het deurslot aan te brengen.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 10_oplossing.pdf (216.1 KB)   

EEN STERK STAALTJE VAN PAPPOS - DEEL 2

Pappos van Alexandrië  (ca. 290 - ca. 350 na Chr.)
was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen.
 Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken
dat hij een sterk meetkundig inzicht had
en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.

 In de Mathematicae Collectiones (Wiskundige verzamelingen), zijn bekendste werk,  
vinden we in Boek IV een merkwaardige veralgeming van de stelling van Pythagoras.


Op de zijden [AB] en [AC] van een willekeurige driehoek ABC
construeert men naar buiten toe de willekeurige parallellograms ABDE en ACFG.
H is het snijpunt van DE en FG.
Op de zijde [BC] construeert men een parallellogram BCKL
waarbij de zijden [BL] en [CK] even lang zijn als en evenwijdig zijn met het lijnstuk [HA].
Dan is opp. ABDE + opp. ACFG = opp. BCKL. 

Hint voor het bewijs.
opp. ACFG = opp. ACQH = opp. RKCS
opp. ABDE = opp. ABPH = opp. RLBS. 

 

En je had natuurlijk direct door dat de stelling van Pythagoras hiervan een bijzonder geval is ?!

11-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EEN STERK STAALTJE VAN PAPPOS - DEEL 1

Pappos van Alexandrië  (ca. 290 - ca. 350 na Chr.)
was een van de laatste grote oud-Griekse wiskundigen.
 Uit het werk dat hij ons heeft nagelaten, kunnen we opmaken
dat hij een sterk meetkundig inzicht had
en dat hij zich ook bezighield met recreatieve wiskunde.

DE STELLING VAN PAPPOS

Liggen A₁, B₁ en C₁ op een rechte d₁ en liggen A₂, B₂ en C₂ op een rechte d₂ ,
dan zijn de volgende drie punten collineair:
A: het snijpunt van B₁C₂ en B₂C₁,
B: het snijpunt van A₁C₂ en A₂C_1,
en C: het snijpunt van A₁B₂ en A₂B_1.

Deze stelling werd later veralgemeend door Pascal voor een zeshoek ingeschreven in een kegelsnede.
Twee rechten vormen immers een zogenaamde ontaarde kegelsnede.

INGESCHREVEN CIRKELS IN EEN ARBELOS

In mijn middelbare studies was ik onder de indruk van de vondst van Pappos
in verband met cirkels die ingeschreven zijn in een arbelos (wat is dit?).
Deze merkwaardige ontdekking levert meteen een fraai plaatje op (zie hieronder).
Door gebruik te maken van een inversie (wat is dit?) met centrum P
worden de cirkels C₀, C₁, C₂ en C₃ die raken aan de (halve) cirkels C en C'
afgebeeld op een aantal even grote cirkels die raken aan de rechten a en b.
Ze raken ook aan elkaar omdat ook C₀, C₁, C₂ en C₃ aan elkaar raken.

Deze rechten zijn zelf het beeld onder de inversie van de cirkels C en C' en staan loodrecht op PQ.
Een inversie transformeert cirkels die het centrum van de inversie niet bevatten terug in cirkels.
De cirkel C₃ wordt op zichzelf afgebeeld.
Pappos toonde bovendien aan dat het middelpunt van de cirkel C_n zich op een afstand n.d_n
boven de rechte PQ bevindt, waarbij d_n de diameter is van de cirkel C_n (n = 0, 1, 2, 3).

10-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STELLING VAN MENELAOS

Dit was een populaire stelling uit de vlakke meetkunde
en is toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië (70 - 140 na Chr.)
een Griekse wiskundige en astronoom.

Een eenvoudig bewijs van deze stelling zit in bijlage.
Merk op dat ook de omgekeerde stelling geldig is.
Meer uitleg hierover en enkele toepassingen vind je in de tweede bijlage.

GEODETEN
Menelaos blijkt ook de eerste te zijn die geodeten (grote cirkels) op een sfeer (bol) bestudeerde.
Geodeten zijn lijnen die de kortste afstand bepalen op een willekeurig oppervlak.

WEETJE
Wist je dat er een driehoek bestaat met drie rechte hoeken?
Dan hebben we het natuurlijk niet over een vlakke, maar over een boldriehoek!

Bijlagen:
On Menelaus' Theorem.pdf (1.5 MB)   
Stelling van Menelaos - bewijs.pdf (269 KB)