Hierboven staat een poppenkleedje met bolletjes afgebeeld. De vierhoek ABCD is een trapezium met AB // CD en |AB| = 3 cm en |CD| = 7 cm. De punten E en F zijn de middens van de diagonalen AC en BD en [EF] is een middellijn van een blauwe bol.
Kan je aantonen dat de oppervlakte van deze blauwe bol π cm² bedraagt?
TIP. Veel magie is er niet nodig voor het bewijs als je de eigenschappen van een middenparallel in een driehoek kent.
Het is nu blijkbaar heel eenvoudig om zelfgemaakte bestanden en applets van GeoGebra beschikbaar te stellen voor collega's. Je kunt dit doen via GeoGebra Tube, een gratis toegankelijke materialenbank, die je via de computer en tablet kunt raadplegen.
Dit schooljaar vond de eerste editie plaats van een wiskundewedstrijd voor collega's uit Vlaanderen en Nederland onder de titel 'Wiskunde is (een beetje) oorlog'. Je vindt alle info hierover op mijn blog op datum 1-10-2014. Het was de bedoeling 10 opgaven op te lossen waarbij er telkens een constante moest bepaald worden.
Collega Roger Van Nieuwenhuyze maakte voor elk van deze opgaven een mooi applet en plaatste de 10 applets op GeoGebra Tube. Je kunt er mee van genieten via deze link http://tube.geogebra.org/student/bXvYnxl5t# . Met dank!
Hieronder zie je alvast de schermafdrukken van de eerste twee opgaven. Bij de eerste opgave kan je (op GeoGebra Tube) het punt P verslepen en bij de tweede mag je een willekeurig aantal termen kiezen. Telkens kan je via het GeoGebrabestand controleren dat er een constante in het spel is.
OPMERKING. Bij opgave 8 merkte collega Wim Haazen (Venlo) terecht op dat ook yA.yB constant is.
De oppervlakte van een trapezium berekent men gewoonlijk via de onderstaande formule.
We stellen hier een alternatieve werkwijze voor in de vorm van een opgave.
OPGAVE.
Toon aan dat de oppervlakte van een trapezium gelijk is aan de oppervlakte van een rechthoek met als afmetingen de lengte van een opstaande zijde en de afstand van het midden van de tweede opstaande zijde tot de eerste opstaande zijde.
He say one and one and one is three Got to be good looking 'Cause he's so hard to see
Come together, right now Over me
In de laatste strofe van 'Come together' van The Beatles leren we dat 1 + 1 + 1 = 3. Blijkbaar maakte Paul McCartney hiermee een allusie op het feit dat hij in 1969 al dacht aan een solocarrière en dat The Beatles het vanaf dan met drie zouden moeten verder doen.
De stelling van Pythagoras en het getal pi zijn inherent aan onze kosmos. Overal hebben wiskundigen ze door de eeuwen heen moeten aanwenden om nieuwe resultaten te bewijzen. Redenen genoeg om ze eens samen in een plaatje te verenigen.
STELLING VAN PI-THAGORAS
Op de onderstaande figuur staat een rechthoekige driehoek afgebeeld.
Op de drie zijden zijn gelijkvormige π-figuren geconstrueerd.
Kan je bewijzen dat de oppervlakte van de grootste π-figuur gelijk is
aan de som van de oppervlakten van de twee kleinere π-figuren?
Op de bovenstaande figuur staat een willekeurige scherphoekige driehoek ABC afgebeeld.
D is een willekeurig punt op de basis [BC] en M is het midden van [AD].
Weet je waarom de oppervlakte van de vlieger ABMC dan de helft is van de oppervlakte van driehoek ABC?
En hoe zou het zijn met de vlieger van Walter De Buck? Walter overleed verleden jaar en zal voor altijd verbonden blijven met de Gentse feesten en met zijn lied 't Vliegerke. De melodie hiervan is van de hand van de Duitse componist Walter Kollo en was oorspronkelijk een operettemelodie.
Het refrein van het lied 't Vliegerke' luidt als volgt
Met een rekenmachine kan je op een eenvoudige manier een rij getallen opbouwen die convergeert naar p = 3,1415927
We maakten gebruik van een TI-84.
Zet het toestel in mode radialen.
Kies een beginterm die gelijk is aan t1 = 3 + sin(x), waarbij x een willekeurig geheel getal is.
Bereken dan achtereenvolgens de termen t2 = t1 + sin(t1), t3 = t2 + sin(t2), t4 = t3 + sin(t3) enzovoort
en je zult vaststellen dat zo een rij ontstaat waarvan de termen vrij vlug in de buurt van p komen.
Zoals je op de bovenstaande schermafdruk ziet, kozen we x = 12345 en maakten we gebruik van de Ans-instructie (Ans = last answer), waarmee telkens het laatste antwoord wordt gebruikt om de volgende term te berekenen. Die bekom je door steeds weer op de ENTER-toets te drukken.
Maar kan je ook verklaren waarom je op die manier een rij getallen genereert die convergeert naar p ?
Je hoeft geen beroep te doen op Batman en Robin om dit te verklaren.
Een man die ongetwijfeld heel veel 'wiskundige pirouettes' maakte, is de Hongaar Paul Erdös (1913-1996).
Hij was een bijzonder productieve en excentrieke wiskundige die samen met honderden medeauteurs heeft gewerkt aan vraagstukken op het gebied van combinatoriek, grafentheorie, getaltheorie, analyse, numerieke wiskunde, verzamelingenleer en kansrekening.
Samen met de Israëlische wiskundige Eri Jabotinsky (1910-1969) construeerde hij een merkwaardige rij getallen die al op een even merkwaardige manier in verband staat met het getal π.
Paul Erdös Eri Jabotinsky
DE ZEEF VAN ERDÖS
De zeef van Eratosthenes is een eenvoudig procédé waarbij uit de rij van de natuurlijke getallen alle niet-priemgetallen worden geschrapt, zodat men uiteindelijk alle priemgetallen overhoudt.
De wiskundigen Paul Erdős (Hongarije) en Eri Jabotinsky (Israël) bedachten een analoge constructie waarbij men uit de rij van de natuurlijke getallenvolgens een bepaalde methode getallen schrapt zodat uiteindelijk de volgende merkwaardige rij overblijft (zie bijlage en https://oeis.org/A002491):
Hoe vind je bijvoorbeeld de 10de term (= 34)? Start met 10 en zoek het eerstvolgende 9-voud dat groter is dan 10. Dit is 18. Zoek dan het eerstvolgende 8-voud dat groter is dan 18. Dit is 24. Zoek het eerstvolgende 7-voud groter dan 24. Dit is 28. Ga zo door ... tot en met het eerstvolgende 2-voud en '1-voud'.
Je bekomt zo de rij 10, 18, 24, 28, 30, 30, 32, 33, 34, 34.
De eindterm is deze rij is 34 en dat is precies de 10de term uit de bovenstaande rij.
En wat heeft π hiermee nu te maken?
Als f(n) de n-de term is uit deze rij (zo is bijvoorbeeld f(10) = 34), dan blijkt dat
Zo is bijvoorbeeld de 22ste term uit deze rij gelijk aan 154, m.a.w. f(22) = 154 en 22²/154 = 3,14285714...
Meer informatie over de constructie van deze rij en hoe je de termen uit de rij met een grafisch rekentoestel kunt bepalen, vind je in de bijlage.
![[Maple Plot]](http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in1/ws9900/folien/images/folie445.gif)
