He say one and one and one is three Got to be good looking 'Cause he's so hard to see
Come together, right now Over me
In de laatste strofe van 'Come together' van The Beatles leren we dat 1 + 1 + 1 = 3. Blijkbaar maakte Paul McCartney hiermee een allusie op het feit dat hij in 1969 al dacht aan een solocarrière en dat The Beatles het vanaf dan met drie zouden moeten verder doen.
De stelling van Pythagoras en het getal pi zijn inherent aan onze kosmos. Overal hebben wiskundigen ze door de eeuwen heen moeten aanwenden om nieuwe resultaten te bewijzen. Redenen genoeg om ze eens samen in een plaatje te verenigen.
STELLING VAN PI-THAGORAS
Op de onderstaande figuur staat een rechthoekige driehoek afgebeeld.
Op de drie zijden zijn gelijkvormige π-figuren geconstrueerd.
Kan je bewijzen dat de oppervlakte van de grootste π-figuur gelijk is
aan de som van de oppervlakten van de twee kleinere π-figuren?
Op de bovenstaande figuur staat een willekeurige scherphoekige driehoek ABC afgebeeld.
D is een willekeurig punt op de basis [BC] en M is het midden van [AD].
Weet je waarom de oppervlakte van de vlieger ABMC dan de helft is van de oppervlakte van driehoek ABC?
En hoe zou het zijn met de vlieger van Walter De Buck? Walter overleed verleden jaar en zal voor altijd verbonden blijven met de Gentse feesten en met zijn lied 't Vliegerke. De melodie hiervan is van de hand van de Duitse componist Walter Kollo en was oorspronkelijk een operettemelodie.
Het refrein van het lied 't Vliegerke' luidt als volgt
Met een rekenmachine kan je op een eenvoudige manier een rij getallen opbouwen die convergeert naar p = 3,1415927
We maakten gebruik van een TI-84.
Zet het toestel in mode radialen.
Kies een beginterm die gelijk is aan t1 = 3 + sin(x), waarbij x een willekeurig geheel getal is.
Bereken dan achtereenvolgens de termen t2 = t1 + sin(t1), t3 = t2 + sin(t2), t4 = t3 + sin(t3) enzovoort
en je zult vaststellen dat zo een rij ontstaat waarvan de termen vrij vlug in de buurt van p komen.
Zoals je op de bovenstaande schermafdruk ziet, kozen we x = 12345 en maakten we gebruik van de Ans-instructie (Ans = last answer), waarmee telkens het laatste antwoord wordt gebruikt om de volgende term te berekenen. Die bekom je door steeds weer op de ENTER-toets te drukken.
Maar kan je ook verklaren waarom je op die manier een rij getallen genereert die convergeert naar p ?
Je hoeft geen beroep te doen op Batman en Robin om dit te verklaren.
Een man die ongetwijfeld heel veel 'wiskundige pirouettes' maakte, is de Hongaar Paul Erdös (1913-1996).
Hij was een bijzonder productieve en excentrieke wiskundige die samen met honderden medeauteurs heeft gewerkt aan vraagstukken op het gebied van combinatoriek, grafentheorie, getaltheorie, analyse, numerieke wiskunde, verzamelingenleer en kansrekening.
Samen met de Israëlische wiskundige Eri Jabotinsky (1910-1969) construeerde hij een merkwaardige rij getallen die al op een even merkwaardige manier in verband staat met het getal π.
Paul Erdös Eri Jabotinsky
DE ZEEF VAN ERDÖS
De zeef van Eratosthenes is een eenvoudig procédé waarbij uit de rij van de natuurlijke getallen alle niet-priemgetallen worden geschrapt, zodat men uiteindelijk alle priemgetallen overhoudt.
De wiskundigen Paul Erdős (Hongarije) en Eri Jabotinsky (Israël) bedachten een analoge constructie waarbij men uit de rij van de natuurlijke getallenvolgens een bepaalde methode getallen schrapt zodat uiteindelijk de volgende merkwaardige rij overblijft (zie bijlage en https://oeis.org/A002491):
Hoe vind je bijvoorbeeld de 10de term (= 34)? Start met 10 en zoek het eerstvolgende 9-voud dat groter is dan 10. Dit is 18. Zoek dan het eerstvolgende 8-voud dat groter is dan 18. Dit is 24. Zoek het eerstvolgende 7-voud groter dan 24. Dit is 28. Ga zo door ... tot en met het eerstvolgende 2-voud en '1-voud'.
Je bekomt zo de rij 10, 18, 24, 28, 30, 30, 32, 33, 34, 34.
De eindterm is deze rij is 34 en dat is precies de 10de term uit de bovenstaande rij.
En wat heeft π hiermee nu te maken?
Als f(n) de n-de term is uit deze rij (zo is bijvoorbeeld f(10) = 34), dan blijkt dat
Zo is bijvoorbeeld de 22ste term uit deze rij gelijk aan 154, m.a.w. f(22) = 154 en 22²/154 = 3,14285714...
Meer informatie over de constructie van deze rij en hoe je de termen uit de rij met een grafisch rekentoestel kunt bepalen, vind je in de bijlage.
Op de linkse figuur staat een vierkant met zijde 2. Kan je aantonen dat de oppervlakte van de ring tussen de omgeschreven en de ingeschreven cirkel gelijk is aan π?
Op de middelste figuur staat een gelijkzijdige driehoek met zijde 2. Kan je aantonen dat de oppervlakte van de ring tussen de omgeschreven en de ingeschreven cirkel gelijk is aan π?
Op de rechtse figuur staat een lijnstuk getekend met lengte 2. In feite kan je dit interpreteren als 'een regelmatige tweehoek' met zijde 2. Ook hier is het verschil tussen de oppervlakte van 'de omgeschreven cirkel' en 'de ingeschreven cirkel' (een puntcirkel met oppervlakte 0) gelijk aan π.
Wat West- en Oost-Vlamingen en Vlaams-Brabanders 'Honderd Dagen' noemen, heet in Limburg en in Antwerpen Chrysostomos.
Het zijn twee namen voor hetzelfde feest, dat meestal rond 27 januari gevierd wordt. Dat is net honderd dagen voor 1 juli, het einde van het schooljaar.
Sommige scholen vieren dat later omdat ze ook de weekends en de vakantiedagen bij die honderd dagen rekenen.
Andere scholen halveren dan weer die honderd dagen en kiezen er voor om pas vijftig dagen voor het einde van het schooljaar te vieren.
Wie kent echter nog de oorsprong van deze traditie?
Oorspronkelijk was het Chrysostomosfeest een welsprekenheidstornooi voor retoricastudenten (laatstejaars) uit de richting Latijn-Grieks
omdat die in hun curriculum de welsprekendheid bestudeerden.
Johannes Chrysostomos (letterlijk 'gulden mond' of ook 'welsprekende mond') was een aartsbisschop uit Constantinopel
die in de 4de eeuw leefde en bekend stond als een getalenteerde prediker.
Hij streefde naar extreem ascetisme en trok zich in 375 terug om als kluizenaar te leven.
Zijn feestdag valt op 27 januari.
******************************************************************************************************************** Sedert enkele jaren ziet men echter in Brugge en Gent andere taferelen naar aanleiding van de 100-dagenviering.
Δ ABC is een willekeurige driehoek. Op de zijde [BC] construeert men buiten de driehoek het vierkant BCNM. Met [AM] en [AN] als zijden construeert men daarna twee vierkanten zoals op de figuur. Uit het vierkant met zijde [AM] knipt men een vierkant weg waarvan de zijden lengte c = |AB| hebben en uit het vierkant met zijde [AN] knipt men een vierkant weg waarvan de zijden lengte b = |AC| hebben.
Toon aan dat de resterende (blauwe) stukken van beide vierkanten dezelfde oppervlakte hebben.
En misschien vind je in een collega wel de geknipte persoon om je helpen bij vinden van een bewijs!
Pinedjem II (ook wel Pinudjem II genoemd) was een hogepriester in het Oude Egypte van rond 1000 v. Chr. Hij was gehuwd met zijn zuster met wie hij drie kinderen had en met zijn nicht met wie hij vier kinderen had.
Op de bovenstaande figuur staat niet de mummie van Pinedjem afgebeeld, maar een shabti.
Een shabti is een beeldje dat de overledene in het Oude Egypte meenam in zijn graf om voor hem in hetDodenrijkhet werk te verrichten. Het woord 'shabti' betekent 'antwoorder', namelijk als de overledene werd
geroepen, dan moest het grafbeeldje als plaatsvervanger antwoorden. De grafbeeldjes werden voornamelijk van hout, steen offaiencegemaakt en varieerden in grootte. (Bron:
wikipedia, met dank aan Peter Raedschelders).
De gekruiste armen van het beeldje maken hoeken van 15° met de basis van de gelijkzijdige driehoek. Stel dat de zijden van de gelijkzijdige driehoek lengte hebben. En stel dat de top van die driehoek en de top van de gelijkbenige driehoek met basishoeken van 15° een middellijn bepalen van de afgebeelde cirkel.
Kan je dan aantonen dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan π?
![[Maple Plot]](http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in1/ws9900/folien/images/folie445.gif)
hebben.
