JACQUES TITS: een onderschatte Belgische wiskundige
Tits werd in 1930 in Ukkel geboren. Hij was een wereldautoriteit op het studiegebied van de groepentheorie. Hij doceerde o.a. aan de VUB en in 1974 nam hij het Franse burgerschap aan om te gaan doceren aan het prestigieuze Collège de France in Parijs.
In heel veel domeinen spelen groepen een belangrijke rol: studie van symmetrieën (kunst, kristallen, moleculen ...) studie van topologische ruimten, materiaalleer, differentiaalvergelijkingen (Lie-groepen), oplossen van vergelijkingen (Galoistheorie) ...
We vermelden hier twee eenvoudige groepen die in heel veel wiskundecursussen in het hoger onderwijs een vaste plaats gekregen hebben.
DE VIERGROEP VAN KLEIN
Op deze postzegels staat de Cayleytabel van de zogenaamde Vierergruppe (viergroep) van Klein afgebeeld. De groep is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein. Het is een commutatieve (abelse) groep met 4 elementen. Meer informatie op http://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein .
DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK
De symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek bevat 6 elementen: drie rotaties (over 0° of identieke transformatie, over 120° en over 240°) en drie spiegelingen (rond de drie zwaartelijnen). Deze groep is niet-commutatief. Hoe kan je dit opmaken uit de Cayleytabel?
Gasparo Pagani: een vergeten Belgische wiskundige.
Gasparo Pagani (1795 - 1855) was een Italiaanse politieke vluchteling en eminente wiskundige die professor was aan de universiteiten van Leuven en Luik.
Hij bedacht de triëder uit de differentiaalmeetkunde die nu in de literatuur genoemd wordt naar de Franse wiskundigen Jean Frenet en Joseph Serret. Pagani ligt begraven in het Oost-Vlaamse dorpje Woubrechtegem.
De triëder of het Frenet-Serret frame is een drietal vectoren dat in elk punt van een continue differentieerbare ruimtekromme gedefinieerd is en bestaat uit T: deeenheidsvector die raakt aan de kromme N: de normaal B: de binormaal.
De formules van Frenet-Serret (lees: van Pagani) leggen en verband tussen de afgeleide vectoren van T, N en B en deze vectoren zelf. Hierin duiken de kromming κ en de torsie τ van de kromme op:
In de Engelstalige bijlage vind je de afleiding van deze formules en de berekening voor een driedimensionale schroeflijn.
De vectoren T (blauw), N (rood) en B (zwart) bij een schroeflijn.
Vandaag 21 juli 2013 komt bij Academia Press (Gent) het nieuwe boek van Dirk Huylebrouck uit: België + wiskunde. Het boek toont aan dat het palmares van ons land op het gebied van de wiskunde dit van het damestennis of de damesatletiek overstijgt, zelfs toen Kim en Justine of Kim en Tia nog regeerden. Tot de top van de belangrijkste wiskundigen horen zowaar vier Belgen: Ingrid Daubechies, Pierre Deligne, Jean Bourgain en Jacques Tits! Het bekende beeldformaat JPEG werd bijvoorbeeld gecreëerd op basis van het werk van een Belgische, die de eerste vrouwelijke professor ooit was aan Princeton University en de eerste voorzitster van de International Mathematical Union: Ingrid Daubechies. Bovendien bevinden zich in België de oudste vondsten van de wiskunde, heet de landingsplaats van Neil Armstrong eigenlijk de Mare Belgicum, bestaat er een Belgische stelling en zowaar ook een Belgische wiskundige markies, Gasparo Pagani.
Als land van het
surrealisme vallen er ook enkele meer humoristische kanttekeningen te maken,
zoals over prins/koning Filip (die sprak over 1 miljard + 300 000 miljoen
Chinezen).
In elk geval kan men zich de vraag stellen of buitenlandse zendingen,
waar financiële experten, ingenieurs en investeerders de
hoogwaardigheidsbekleders vergezellen,
niet beter ook onze wiskundig prestaties als uithangbord zouden gebruiken.
Bij een wafel, praline of biertje hoort voortaan ook wiskunde, Belgische
wiskunde.
Miss België Noémie Happart, die ooit vierde werd in een wiskundeolympiade,
geeft alvast het goede voorbeeld op de cover van het boek.
De jacobsstaf is een meetinstrument uit de 14de eeuw. Het is een stok van ongeveer 1 meter lang waarop een schaalverdeling is aangebracht. Loodrecht hierop kan een tweede stok schuiven waarvan de lengte precies gelijk is aan elk van de stukjes waarin de grote stok is onderverdeeld.
Wiskundig bekeken werkt de jacobsstaf met het principe van gelijkvormige driehoeken.
Met de jacobsstaf kan men de hoogte van een gebouw bepalen of de hoek die de zon maakt met de horizon. Zo kon men zijn positie bepalen op zee en in die zin is het de voorloper van de sextant.
Met de jacobsstaf kan men de afstand bepalen tussen twee ontoegankelijke punten A en B, die bijvoorbeeld aan de overkant van een rivier gelegen zijn zoals je op de onderstaande oude gravure kunt zien.
Hiervoor moet men twee metingen uitvoeren waarbij men telkens de stok tegen het gezicht houdt en erop let dat de uiteinden van het dwarsstokje precies in de richting staan van de punten A en B. Bij de meting in positie 2 verschuift men dan het dwarsstokje over één lengte-eenheid.
Als men dit uitvoert volgens het bovenstaande schema, dan blijkt dat de afstand waarover men achteruit is moeten stappen (van positie 1 naar positie 2) precies gelijk te zijn als de afstand tussen A en B.
De Wet van Snellius of brekingswet is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden bij de overgang van het ene medium naar het andere, bijvoorbeeld van lucht naar water.
De breking komt er omdat het het licht zich in verschillende media met een verschillende fasesnelheid voortbeweegt. De wet is genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snel van Royen (1580 - 1626) die bekend werd onder zijn Latijnse naam Snellius.
Hij paste in feite de wet van Fermat toe die zegt dat wanneer een lichtstraal van punt A naar punt B beweegt, ze dit traject aflegt in de kortste tijd.
De wet van Snellius legt een verband tussen de sinuswaarden van de invalshoek en de brekingshoek van de lichtstraal en de snelheid van de lichtstraal in de beide media.
Als de lichtstraal vanuit vacuum vertrekt is v1 gelijk aan de lichtsnelheid c. De waarde c/v2 is dan de zogenaamde brekingsindex n van het tweede medium.
In mijn wiskundelessen gaf ik deze toepassing altijd in de wetenschapsklassen waar het oplossen van extremumvraagstukken met afgeleiden op het leerplan staat. Hoe de uitwerking via afgeleiden verloopt, lees je in de bijlage.
Mandela Day vindt plaats op 18 juli om wereldwijd mensen op te roepen zich in te spannen voor de wereldvrede door gedurende 67 minuten belangeloos hulp te verlenen aan anderen.
Op 18 juli 2010 werd Mandela 92 jaar en kon er worden teruggekeken op een leven waarin hij zich 67 jaar heeft ingezet voor mensenrechten en gelijkheid voor iedereen.
Vanaf 2010 roepen de Verenigde Naties via o.a. de Dalai Lama, Bill Clinton, Desmond Tutu en Richard Branson (oprichter van de Virgin Group) op om wereldwijd Mandela Day op een zinvolle manier in ere te houden.
Vlag van het ANC (Afrikaans Nationaal Congres - Zuid-Afrika).
Neem er even een rekenmachientje bij en bereken achtereenvolgens 67 x 67 667 x 667 6667 x 6667. Welk patroon zie je verschijnen? Kan je nu ook voorspellen hoeveel 66667 x 66667 is?
De kwadratuur van een vlakke figuur houdt in dat men een vierkant construeert (met passer en liniaal) dat dezelfde oppervlakte heeft als die vlakke figuur.
Elders op mijn blog (zoekopdracht: kwadratuur) lees je hoe dat kan voor een willekeurige (convexe) veelhoek.
Een buitenbeentje hierbij is de kwadratuur van een regelmatige 12-hoek.
Het is een leuke oefening van goniometrie om aan te tonen dat de oppervlakte van een regelmatige 12-hoek die ingeschreven is in een cirkel met straal r gelijk is aan 3r2.
Een tweede oefening bestaat er dan in aan te tonen dat de lengte van de aangeduide diagonaal [AB] gelijk is aan √3 r. Dat betekent dat deze diagonaal precies de zijde is van het gezochte vierkant dat de kwadratuur van de 12-hoek oplost!
En dat men een 12-hoek in 6 stukken kan verdelen waarmee dan een vierkant kan gevormd worden, zie je op de onderstaande figuur. Bron: http://demonstrations.wolfram.com
Hieronder staat niet zo eenvoudig wiskundig probleem met een creatieve oplossing.
In onze straat staan er langs de kant waar wij wonen 20 huizen. Ik bemerk dat er voor elk huis minstens één vuilniszak staat en in totaal staan er 29 zakken. Kan je aantonen dat er in elk geval bij deze 20 huizen een aaneensluitende rij moet zijn waar er in totaal precies 10 vuilniszakken staan?
Op 21 juli 2013 wordt Filip (ou Philippe pour les Wallons) de zevende koning der Belgen. Tijd om even te spelen met het volmaakte cijfer 6.
Kan je zelf de ontbrekende som vinden (6 vormen met 3 keer het cijfer 6)?
We maakten hierbij enkele keren gebruik van het faculteitsteken (!). Dit wiskundig symbool werd in 1808 ingevoerd door de Franse wiskundige Christian Kramp.
Per definitie is voor elk natuurlijk getal n het getal n! (lees: n-faculteit) gelijk aan het product van de getallen van 1 tot en met n: n! = n.(n 1).(n 2). ... . 2.1. Zo is bijvoorbeeld 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Men stelt per definitie 0! = 1. Hiervoor is er uiteraard een verklaring. Het aantal manieren om een groep van k personen te kiezen uit een groep van n is
Voor k = n is er 1 selectie mogelijk, nl. de gehele groep kiezen! Dan staat er in de noemer van de formule n!(n n)! = n!0! = n! (want 0! = 1) wat precies gelijk is aan de teller.
Thomas Carlyle (1795 - 1881) bracht op een creatieve manier een cirkel in verband met de oplossingen van een willekeurige vierkantsvergelijking.
Stel dat x1 en x2 de twee reële oplossingen zijn ax² + bx + c = 0. We noemen s de som en p het product van de oplossingen: s = x1+ x2 en p = x1. x2 . In het vierde jaar van het middelbaar onderwijs leert men dan dat x1 en x2 meteen ook de oplossingen zijn van de vergelijking x² sx + p = 0.
Carlyle ontdekte dat de cirkel die in een rechthoekig assenstelsel als middellijn [AB] heeft met A(0,1) en B(s,p) de x-as snijdt in de punten met als abscis x1 en x2.
Op het onderstaande voorbeeld is s = 6 en p = 8.
Kan je aantonen dat de cirkel van Carlyle (in het algemeen) de volgende vergelijking heeft: x(x s) + (y 1)(y p) = 0 ?
Ziehier een mooi meetkundevraagstukje dat je met behulp van de stelling van Pythagoras heel eenvoudig kunt oplossen.
In een cirkel met middelpunt M en straal r is een regelmatige twaalfhoek ingeschreven. P is een willekeurig punt op de cirkelomtrek. Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de 12 hoekpunten constant is (d.w.z. onafhankelijk van de ligging van P).
Tip. Verbind P met twee overstaande hoekpunten (bijvoorbeeld A en G) en pas dan de stelling van Pythagoras toe.
Het Liber Abaci van Leonardo van Pisa (beter bekend onder de naam Fibonacci) is wellicht één van de meest invloedrijke wiskundeboeken die ooit werden gepubliceerd. Het verscheen voor het eerst in 1202 en toonde het nut aan van het rekenen in het decimaal talstelsel met de Arabische cijfers.
Laten we niet vergeten dat onder invloed van dit boek iedereen nu direct snapt dat het getal 423 in het decimaal talselsel gelijk is als 4 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100. In het vijftallig talstelsel zou 423 dan gelijk zijn aan 4 x 52 + 2 x 51 + 3 x 50 of dus (decimaal) aan 108.
EEN EIGENSCHAP DIE GELDIG IS IN ELK TALSTELSEL
In elk talstelsel geldt dat 111 een deler is van 10101.
Bewijs. In het talstelsel met basis a is 10101 gelijk aan 1 x a4 + 1 x a2 + 1 x a0 of dus aan a4 + a2 + 1. Het getal 111 is dan gelijk aan a2 + a + 1.
Welnu, a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 a + 1). Q.E.D.
Controleer je even deze eigenschap in het decimaal talselsel en in het talstelsel met basis 5?
ANTWOORD. Het zijn de enige getallen (in het decimaal talstelsel) die zichzelf op de volgende manier omschrijven: het eerste cijfer geeft aan hoeveel nullen er in het getal voorkomen, het tweede cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 1 in het getal voorkomt, het derde cijfer geeft aan hoeveel keer het cijfer 2 in het getal voorkomt, enzovoort.
Dergelijke getallen noemt men daarom autobiografisch.
Een vraagje dat hierop lijkt, duikt op in heel veel wiskundehandboeken in het hoofdstuk over rijen. Vind de zesde term in deze rij: 0, 10, 1 011, 1 031, 102 113, ?
Dit zijn twee merkwaardige formules om ln 2 te berekenen.
Volgens de eerste sommatieformule is ln 2 = 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5 1/6 + .... Deze formule volgt uit de Maclaurinreeks voor f(x) = ln(1 + x), nl. ln(1 + x) = x x/2 + x/3 x/4 + x/5 x/6 + ... waarin men x = 1 stelt.
Volgens de tweede formule is ln 2 = 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + ... waarbij de noemers van de breuken achtereenvolgens gelijk zijn aan 1 x 2, 3 x 4, 5 x 6, 7 x 8, enzovoort. Dat deze formule gelijk is aan de eerste uitdrukking volgt direct uit het feit dat 1/((2n+1)(2n+2)) = 1/(2n+1) 1/(2n+2).
Het merkwaardig getal ln 2 is ook gelijk aan het maatgetal van de oppervlakte van het vlak gebied tussen de grafiek van f(x) = 1/x en de x-as tussen de verticale rechten x = 1 en x = 2, maar ook tussen de verticale rechten x = a en x = 2a (met a > 0).
Deze eigenschap controleert men direct via een bepaalde integraal:
2000 was het Internationaal Jaar van de Wiskunde. Heel wat landen (waaronder België) brachten voor die gelegenheid een postzegel uit. Slechts op enkele ervan staat het getal π afgebeeld. Hierboven zie je dat dit het geval was voor een postzegels van Monaco.
Nikolai Luzin was een eminente Russische wiskundige die van 1920 tot 1930 aan de Universiteit van Moscou een onderzoeksseminarie leidde. Heel wat doctoraatsstudenten werkten er onder zijn leiding en een aantal ervan werden later beroemde Sovjet-wiskundigen.
De Vereniging van Colombiaanse Ingenieurs heeft een logo waarin het getal π staat afgebeeld.
En vind je ook π op de bovenstaande herdenkingszegels?
Op deze omslag met een bijzondere eerste-dag-afstempeling staat een tekening van de grote piramide van Cheops waarbij de afmetingen ervan in verband worden gebracht met het getal π.
En blijkbaar zijn de postzegels waarop het getal e (getal van Euler e = 2,71828...) staat afgebeeld nog veel zeldzamer!
In 1998 vond in Berlijn een Internationaal Wiskunde Congres plaats. Er verscheen toen een postzegel waarin een vierkant staat afgebeeld dat zelf weer met vierkanten is opgevuld en op de achtergrond zie je het getal pi met heel veel cijfers na de komma.
Karl Weierstrass (1815-1897) wordt wel eens de vader van de moderne analyse genoemd. Hij definieerde een functie die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. In de definitie van de functie van Weierstrass komt het getal π voor.
Augustin Cauchy (1789-1857) was een Franse wiskundige die de basis legde voor de complexe functietheorie. Hij bewees o.a. een formule voor een kringintegraal waarin het getal π opduikt. Die formule van Cauchy staat bovenaan op de herdenkingszegel afgebeeld.
Dat Garfield gelijk heeft kan je aantonen door te bewijzen dat de functie met als voorschrift f(x) = ex /xe met x > 0 een minimum bereikt voor x = e waarbij f(e) = 1.
Dit jaar waren er 5 289 studenten ingeschreven voor deelname aan het toelatingsexamen voor arts en tandarts, dat sedert 1997 bestaat. Dit is een toename met 11 % in vergelijking met vorig jaar. Bijna 1 op 5 deelnemers komt uit Nederland. Opvallend is dat bijna 600 deelnemers uit het vijfde jaar komen. De proef werd op 2 juli 2013 georganiseerd in Brussels Expo.
Vorig jaar slaagde 16,6 procent (1 op 6) in de zittijd van juli.
En zopas zijn ook de resultaten bekend van de eerste zittijd van dit jaar. Van de 5 289 ingeschreven kandidaten legden 4 737 studenten, of 89,5 procent, het volledige examen af. Na deliberatie slaagden 695 kandidaten. Dit aantal is iets lager dan in juli vorig jaar (712 in juli 2012). Door het gestegen aantal deelnemers (er waren 4 301 deelnemers in juli 2012) is het slaagpercentage voor juli 2013 daarom 14,7 procent van de deelnemers. Als we echter ook de studenten meetellen die niet het volledige examen hebben afgelegd komen op een een slaagpercentage van 13,1 procent of bijna 1 op 8. Van de vijfdejaarsstudenten die deelnamen slaagde 1,2 procent.
Neem je nog even de tijd voor een wiskundig examenvraagstuk?
Birgit nam dit jaar deel aan het toelatingsexamen voor arts en tandarts. Ze was één van de 49 deelnemers in vak 23. De studenten in dit vak waren genummerd van 1 tot en met 49. Birgit stelde iets merkwaardigs vast: de som van de nummers die kleiner waren dan haar nummer was precies gelijk aan de som van de nummers die groter waren dan het hare. Welk nummer had Birgit?
Neem er even een blad papier en een balpen bij voor een cijferwerkje.
STAP 1. Kies jouw lievelingscijfer uit de rij 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9. STAP 2. Vermenigvuldig het gekozen cijfer (uit het hoofd!) met 9. STAP 3. Vermenigvuldig nu (manueel!) het bekomen getal met het getal 12 345 679.
We maken even een berekening met het 'Hamletgetal ' X = 1372.
Neem er een rekentoestel bij.
STAP 1. Tik twee keer na elkaar het getal X = 1372 (dus 13721372) in op jouw rekentoestel. STAP 2. Deel dit getal door 137. STAP 3. Deel de uitkomst door het getal X (dus door 1372). STAP 4. Tel tenslotte bij het resultaat 27 op. Je bekomt 100.
Kies nu zelf een ander getal X van 4 cijfers en herhaal de vier stappen. Wedden dat je uiteindelijk ook weer 100 bekomt!
Als je nu aan een student vraagt hoeveel de vierkantswortel uit 57 121 is, dan zal die ongetwijfeld naar zijn rekentoestel (of iPhone?) grijpen.
Laten we niet vergeten dat de firma Hewlett-Packard pas in 1972 de eerste wetenschappelijke zakrekenmachine op de markt bracht (de HP-35). Tot dan leerden we in de middelbare school aan hoe men dit manueel kan doen.
Het was mijn eminente wiskundeleraar Frans Vandendriessche die me de techniek in 1965 aanleerde. Ik mocht 43 jaar later zijn afscheidsles bijwonen. En als je goed toekijkt, dan bemerk je dat hij in die les op het bord nog een levensecht vraagstukje voorschotelde aan zijn leerlingen (dat je hopelijk zonder vierkantsworteltrekking kunt oplossen):
Sara en Laura is een tweeling van 13 jaar. Wanneer zijn ze samen even oud als hun moeder die nu 45 jaar is?
Hieronder zie je hoe men manueel kan berekenen dat de vierkantswortel uit 57 121 gelijk is aan 239 en de vierkantswortel uit 229 441 aan 479. Hoe de berekening verloopt lees je in een bijlage. In een tweede bijlage wordt de methode verklaard aan de hand van een mooie werktekst.
Vandaag 3 juli 2013 is er groot nieuws! Koning Albert maakte zonet bekend dat hij op 21 juli aftreedt en dat prins Filip dan de nieuwe koning van België wordt.
Op deze zeldzame foto uit de jaren '80 zie je Albert samen met zijn sportieve zonen Filip en Laurent.
Ik dacht meteen aan de meerkeuzevraag die ik dit jaar heb ingediend voor de Junior Wiskunde Olympiade (tweede ronde - vraag 30). Los jij ze op?
Filip, zijn broer Laurent en hun vader Albert lopen de 100 meter. Ze starten tegelijk en elk loopt met een constante snelheid. Wanneer Filip de eindmeet bereikt, heeft Laurent nog 10 meter af te leggen en wanneer Laurent de eindmeet bereikt, heeft Albert nog 20 meter af te leggen. Hoeveel meter moet Albert nog afleggen wanneer Filip de eindmeet bereikt?
![[Flag of ANC]](http://www.crwflags.com/fotw/images/z/za%7Danc.gif)
Oplossing in bijlage.
Oplossing in bijlage.
