Deze kromme kan men op verschillende manieren construeren:

(1) als een voetpuntskromme (door een vast punt op een cirkel loodrecht te projecteren op een veranderlijke raaklijn aan deze cirkel);

(2) als een bijzondere epicycloïde (waarbij men de baan volgt van een vast punt op een cirkel met straal a
die rolt zonder glijden over een vaste cirkel met dezelfde straal);

(3) als omhullende van een familie cirkels. Vertrek hiervoor van een cirkel met middelpunt O en kies een vast punt B op deze cirkel. 
Beschouw nu alle cirkels met middelpunt A op deze cirkels die door B gaan. De omhullende van deze familie cirkels is de cardioïde.

In de drie bijlagen vind je de technische uitwerking van de drie verschillende manieren om een cardioïde als een meetkundige plaats te bekomen.

We stellen hierbij diverse soorten vergelijkingen op van de cardioïde: parametervergelijkingen, poolvergelijking en cartesiaanse vergelijking.

Later op mijn blog verschijnen trouwens nog drie bijdragen over de cardioïde.

Bijlagen:
Cardioïde versie 1 (voetpuntskromme).pdf (238.5 KB)   
Cardioïde versie 2 (epicycloïde).pdf (203.6 KB)   
CARDIOÏDE versie 3 (omhullende).pdf (300.4 KB)   

Op de onderstaande tekening zie je hoe men wiskunde heeft toegepast voor het ontwerp van het euroteken.
Het gekozen symbool is ontworpen door de Belg Alain Billiet
(verklaart dit misschien de naam 'bankbiljet'?).



Ook de tekening op de Europese zijde van de euromunten is een ontwerp van een Belg
namelijk van Luc Luycx, een computeringenieur die werkt bij de Koninklijke Munt van België.
Zijn initialen (LL) staan op elke euromunt onder de letter O van EURO.

   

Dat euromuntstukken de vorm hebben van cirkels zal ook geen toeval zijn: geld moet rollen!



Heel wat leuke weetjes over de euro en hoe de euro ons geld is geworden lees je in de bijlage.

Bijlagen:
Hoe de euro ons geld is geworden.pdf (4.6 MB)   

     

Het moiré-effect is een gekende optische illusie (eigenlijk een interferentie-effect)
die ontstaat als twee doorzichtige stoffen met lijnen over elkaar heen gelegd worden onder een iets verschillende hoek
of wanneer de afstand tussen de lijnen op twee stoffen lichtjes verschilt.

De term komt van het Franse moiré, wat oorspronkelijk een soort zijde was.

Dit effect neem je ook soms waar bij een TV-programma
wanneer de presentator een streepjeshemd draagt
waarbij de lijnen interfereren met de lijnen op het TV-scherm.

Hieronder kan je meegenieten van een youtube-filmpje
dat het moiré-effect op een verrassende manier illustreert.

29-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

STRIMKO is een leuk uitdagend logisch cijferspelletje
dat wat lijkt op sudoku.
Een STRIMKO is een vierkant rooster met n x n cirkeltjes
waarin de cijfers van 1 tot en met n moeten ingevuld worden.

Er zijn drie eenvoudige spelregels:
- in elke rij moeten alle cijfers één keer voorkomen
- in elke kolop moeten alle cijfers één keer voorkomen
- in een STRIMKO komen zogenaamde 'streams' voor.
Dit zijn verbindingen tussen n cirkeltjes
waarin ook alle cijfers één keer moeten voorkomen.

In de onderstaande STRIMKO moet je in de lege cirkeltjes de cijfers van 1 tot en met 4 invullen
overeenkomstig de bovenstaande spelregels.



Probeer je eens?



Deze opgave (met de oplossing) en vier andere STRIMKO's vind je in bijlage.

Bijlagen:
STRIMKO'S.pdf (169.2 KB)   

Als kind was ik gefascineerd door de spirograaf,
een plastieken sjabloon met een setje tandwieltjes
waarmee je fascinerende geometrische figuren kon tekenen.



Pas veel jaren later zou ik ontdekken dat het hier om vlakke meetkundige krommen ging
die allemaal een exotische naam hadden en door eminente wiskundige waren ontdekt en bestudeerd.
Ik verwijs hiervoor o.a. naar de website http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml.

Op http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/
de wiskundeblog van collega Didier Müller, kwam ik zo een hypotrochoïde tegen.
 De kromme onstaat op de onderstaande figuur
door een punt op het uiteinde van een vast staafje met lengte 5 te volgen
dat vastzit in het midden van een tandwiel met straal 3
dat rolt binnen een cirkel met straal 5.
Merk op dat de binnenste cirkel dan 3 toeren moet afleggen om de volledige grafiek te beschrijven
en dat er dan op de grafiek 5 'toppen' verschijnen.



En blijkbaar is een ellips een bijzonder geval hiervan.
Kijk maar (ook in de bijlage voor de wiskundige verklaring)!

Bijlagen:
Een ellips tekenen met een spirograaf.pdf (31 KB)   

Paul Levrie en Rudi Penne doceren wiskunde aan de ingenieursopleiding van de Karel de Grote-Hogeschool.
Rudi doceert bovendien aan het departement Wiskunde-Informatica van de Universiteit Antwerpen
en Paul is onderzoeker aan het departement Computerwetenschappen van de KU Leuven.
Paul is ook redacteur van Pythagoras (www.pythagoras.nu), het wiskundetijdschrift voor liefhebbers.

Je ontmoet beide docenten op hun attractief wiskundeblog
http://weetlogs.scilogs.be/index.php?blogId=11
of zoek via google naar 'Wiskunde is sexy'.

Op hun blog geven ze onder andere een originele verklaring 
voor het feit dat  'pi' de beginletters vormen van 'piano (zie onderstaande figuur)'.



Ze maakten me ook attent op het feit dat Lewis Carroll (1832-1898)
(pseudoniem voor Charles Lutwidge Dodgson)
die wereldberoemd is als auteur van het kinderboek Alice in Wonderland
ook een eminente wiskundige was.

Hij vond o.a. een originele methode om determinanten te berekenen
via de zogenaamde 'condensatiemethode'.

In onze handboeken van het secundair onderwijs
wordt deze snelle en efficiënte methode jammer genoeg niet vermeld.



Je leest meer over deze methode op
http://weetlogs.scilogs.be/index.php?op=ViewArticle&articleId=190&blogId=11
of op http://mathworld.wolfram.com/Condensation.html

Voor de determinant van een 3x3-matrix hebben we de methode uitgewerkt in de bijlage.

Bijlagen:
Determinanten zijn sexy.pdf (179.4 KB)   

Ziehier een eenvoudige wiskundige goocheltoer waarmee je wel wat indruk kunt maken.

Je hebt hiervoor enkel 5 kaartjes nodig met op de ene zijde de zwarte cijfers 1, 2, 3, 4 en 5
en op de andere zijde de rode getallen 6, 7, 8, 9 en 10.
Let op: 6 moet op de achterzijde staan van 1, 7 op de achterzijde van 2, 3 van 8, 4 van 5 en 6 van 10,
maar dat laat je best niet zien aan de toeschouwers.

Leg aan de toeschouwers uit dat iemand de kaartjes mag in de lucht gooien
en dat je daarna supersnel de som zult maken van vijf zichtbare getallen op de kaartjes.
Jij ziet echter zelf die getallen niet, want je laat je vooraf blinddoeken of je draait je gewoon even om.

Nadat je geblinddoekt bent (of je even hebt omgedraaid)
vraag je aan een toeschouwer om de kaartjes in de lucht te gooien.

Vraag dan hoeveel rode getallen er zichtbaar zijn.
Meteen kan je ook de som van de vijf zichtbare getallen geven!

Hoe doe je dat?
Vermenigvuldig het aantal rode getallen die zichtbaar zijn met 5 en tel hierbij 15 op.
Dat is meteen de som van vijf zichtbare getallen

Voorbeeld. Stel dat dit de 5 getallen zijn die zichtbaar zijn op de geworpen kaartjes:

Er zijn twee rode getallen zichtbaar.
Jij berekent daarom 2 x 5  + 15  = 25
en dat is precies gelijk aan de som 1 + 7 + 3 + 4 + 10.

Kan je ook verklaren waarom dit lukt?
Bron: http://brouillondepoulet.blogspot.be

25-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In het volgende filmpje zie je mijn favoriete goocheltruc met een spel van 52 speelkaarten.

Ik daag je meteen uit om een wiskundige verklaring te vinden voor het magisch resultaat!

VERKLARING

De drie gekozen kaarten zitten aanvankelijk op de posities 6, 22 en 38.

Na de eerste aflegbeurt zijn er nog 26 kaarten over en de gekozen kaarten zitten ze op de posities 8, 16 en 24.

Na de tweede aflegbeurt zijn er nog 13 kaarten over en de gekozen kaarten zitten ze op de posities 2, 6 en 10.

Na de derde aflegbeurt zijn er nog 6 kaarten over en de gekozen kaarten zitten ze op de posities 2, 4 en 6.

Zo moeilijk was dat nu ook weer niet !?

24-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De abstracte kunst van Nederlandse kunstschilder Piet Mondriaan (1872 - 1944)
blijkt niet alleen wiskundigen te fascineren.
Op een subtiele manier speelt hij immers met eenvoudige geometrische vormen
(rechthoeken en vierkanten)
en de primaire kleuren rood, blauw en geel
in combinatie met wit, zwart en grijs.
Blijkbaar paste hij ook onbewust 'de gulden snede' toe in zijn werk
zoals blijkt uit de onderstaande studie.

|AC| : |AS| = |AS| : |SC|
Bron: http://www.arsetmathesis.nl/arthesis/mondriaan.htm

Als toemaatje vermelden we hieronder een 'bewijs zonder woorden'
voor de stelling van Pythagoras in de stijl van Mondriaan.

Zie je het bewijs?

Bron: wikipedia

23-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Het labyrint op de vloer in de kathedraal van Chartres dateert van rond 1200
en het is een van de best bewaarde labyrinten in gotische kathedralen.

Wiskundige bekeken gaat het hier om een erg symmetrische vorm.
De weg slingert zich door de vier kwadranten.
De pelgrims legden de weg af doorheen het labyrint
als een vorm van boetedoening.

Dit labyrint staat model voor het podium van Cirque du Soleil in de verbluffende show CORTEO
die ik gisteren (vrijdag 22 juni 2012) met vrouwlief Ingrid kon gaan bekijken in Antwerpen.

Geniet je even mee van de trailer waarin het podiumlabyrint duidelijk in beeld komt ?
Zoals je zult opmerken spelen 'cirkels' een belangrijke rol in de show.

Vorig jaar dook in de Vlaamse Wiskunde Olympiade
een vraag op over het aantal wegen in een eenvoudige doolhof.
Los jij ze correct op?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Het juiste antwoord is D.
Verrassend?

23-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Electrabel heeft al heel wat problemen opgelost.
Vinden ze nu ook een oplossing voor het volgende klassiek vraagstukje?

Drie huizen A, B en C moeten aangesloten worden
op het gasnet (G), de waterleiding (W) en het elektriciteitsnet van Electrabel (E).
Kan je vanuit G, W en E telkens drie leidingen leggen naar elk van de huizen A, B en C
zonder dat die leidingen elkaar kruisen?

Blijkbaar heeft dit probleem geen oplossing.
De uitleg vind je op http://puzzle.dse.nl/harder/gas_water_electricity_nl.html.

Dat is meteen een mooie toepassing van de grafentheorie!

OPMERKING
Er is wel een oplossing voor dit probleem als de eigenaar van huis A toelaat
dat één van de leidingen vanuit huis C onder zijn huis door loopt.

22-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

Elke wiskundeleraar zal wel zijn eigen TOP 30 van wiskundige formules hebben.

Ongetwijfeld staat de formule van Euler bij de favorieten van veel collega's:



Hierbij is e = 2,71818 ... de basis van de natuurlijke logaritmen
i = de imaginaire eenheid met i² = -1
π = 3,14159... het bekendste irrationaal getal
1 = het neutraal element voor de vermenigvuldiging
0 = het neutraal element voor de optelling.

Het bewijs steunt op de reeksontwikkelingen van Maclaurin voor e^x, cos x en sin x.


Hieruit blijkt dat e^iα = cos  + i sin α.
Vervang tenslotte in deze formule α door π
en je vindt meteen de formule van Euler.

In bijlage vind je mijn persoonlijke TOP 30 van wiskundige formules.

Ken jij ze allemaal?
Of heb je een andere persoonlijke favoriete formule?

Bijlagen:
PERSOONLIJKE TOP 30 VAN WISKUNDIGE FORMULES.pdf (408.9 KB)   
Reeksen van Maclaurin.pdf (40.6 KB)   

De Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...  duiken op een verrassend manier op in de formule

1                                                                                  
------------ =  1 + 1x + 2x² + 3x³ + 5x⁴ + 8x⁵ + 13x⁶  + ...                
1 - x - x²                                                                                                                


Dit vraagt uiteraard om een verklaring!

Als F(x) = 1 + x + 2x² + 3x³ + 5x⁴ + 8x⁵ + 13x⁶ + ... ,
dan is
xF(x ) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ +5x⁵ + 8x⁶ + ...
en
x² F(x)= x² + x³ + 2x⁴ +3x⁵ + 5x⁶ + ...
en bijgevolg is
1 + xF(x) + x² F(x) = 1 + x + 2x² + 3x³ + 5x⁴ + 8x⁵ + 13x⁶ + ...
m.a.w.
1 + xF(x) + x² F(x) = F(x).

Hieruit volgt de gezochte formule!

22-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Heb je jezelf als eens afgevraagd waarom iedereen de letter x gebruikt voor een onbekende in de wiskunde?



De reden is eerder verrassend.
Kijk en luister mee!

Met dank aan een toegewijde oudleerling Vincent Vancaeyzeele.

21-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

S = T x G²
"Succes is talent maal geduld in het kwadraat"

Geduld kan je aankweken door een aantal klassieke problemen op te lossen.

Stel dat je beschikt over een vat van 12 liter dat helemaal gevuld is met wijn.
Je hebt daarnaast een lege fles die 8 liter kan bevatten en een lege fles die 5 liter kan bevatten.
Hoe kan je nu die 12 liter wijn via overgieten verdelen in twee keer 6 liter?
 
Hieronder staat de oplossing visueel voorgesteld.

 

Of schematisch:
(12, 0, 0) → (4, 8, 0) → (4, 3, 5) → (9, 3 , 0)
          → (9, 0, 3) → (1, 8, 3) → (1, 6, 5)  → (6, 6, 0)              

Los nu zelf (met wat geduld!) het volgende probleem op.

Stel dat je beschikt over een vat van 10 liter dat helemaal gevuld is met wijn.
Je hebt daarnaast een lege fles die 7 liter kan bevatten en een lege fles die 3 liter kan bevatten.
Hoe kan je nu die 10 liter wijn via overgieten verdelen in twee keer 5 liter?
      
 

Oplossing: zie bijlage.

Bijlagen:
Tien is twee keer vijf - oplossing.pdf (51.7 KB)   

EEN RAADSELTJE

  

Barbara was 5 jaar geleden 5 keer zo oud als haar zusje Ann.
Nu is ze slechts 3 keer zo oud als Ann.
Hoe oud zijn beide zusjes nu?

Neem even de tijd om dit raadsel op te lossen
en geniet ondertussen mee van de song 'Barbara Ann' van The Beach Boys.
Brian Wilson, het muzikale brein achter deze succesvolle groep
werd op 20 juni 1942  - precies 70 jaar geleden - in California geboren.

Happy Birthday, Brian!

Oplossing van het raadseltje.
Barbara is nu 30 jaar en haar zusje Ann is 10 jaar.

20-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Wat is er zo bijzonder aan het getal 99066?
Als je dit getal op zijn kop zet, blijft het gelijk.

Maar er is nog iets verbazingwekkender aan de hand.
Vermenigvuldig eens dit getal met zichzelf.
Je bekomt dan een getal waarin alle cijfers precies één keer voorkomen.
Zo een getal noemt men ook wel een pandigitaal getal.

20-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Met behulp van de 7 puzzelstukjes van een tangram
kan je één groot vierkant maken,
maar ook twee vierkanten
die allebei half zo groot zijn als het oorspronkelijke vierkant.
Dit blijkt uit de onderstaande figuur.

 

Het lukt zelfs om drie even grote vierkanten zo te verknippen
dat je met de puzzelstukjes weer één groot vierkant kunt vormen.
Kijk maar:

 

Kan je nu zelf een methode bedenken om
vier vierkanten zo te verknippen dat je met de puzzelstukjes
weer één groot vierkant kunt vormen?

De oplossing staat hieronder, maar die had je natuurlijk al lang zelf gevonden!

 

20-06-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Bestaat er een verband tussen het getal π = 3,14159265... en de rij van Fibonacci (F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5 ...)?
Het antwoord op deze vraag is positief!

of met behulp van de Fibonaccigetallen:

In het algemeen geldt immers dat

arctan ( 1 ) = arctan ( 1 ) + arctan ( 1 )      F2n F2n+1 F2n+2

Het bewijs hiervan vind je in bijlage.

Steunend op deze formule vind je dan uiteindelijk de volgende elegante 'PIBONACCI-formule'
waarbij in de noemer van de breuken enkel de getallen voorkomen die op de oneven plaatsen staan in de rij van Fibonacci:

π 4 = k=1 arctan 1 F2k+1

MERKWAARDIG TOCH?



Bron:  http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html

Bijlagen:
Pi en Fibonacci.pdf (216.1 KB)   

In de jaren '90 waren de flippo's erg populair.
Deze plastieken schijfjes trof je aan in zakjes chips
 en bij de chips van de firma Smiths zaten er zelfs op een bepaald moment rekenflippo's.

Het was de bedoeling elk van de 4 cijfers die op een flippo stonden
precies één keer te gebruiken om zo met behulp van de 4 hoofdbewerkingen
( +, - , x en :) precies 24 te bekomen.

Voor de bovenstaande flippo kan dat bijvoorbeeld op de volgende manier:
2 x 8 + 7 + 1 = 24
of
(7 - 1) x 8 : 2
of
(7 + 1) x 2 + 8.

We introduceren nu de 65-flippo.
Het is de bedoeling met de 4 cijfers die op elke flippo staan
via de 4 hoofdbewerkingen het getal 65 te vormen.

Kan je de oplossing vinden voor deze tien 65-flippo's?

Een afdrukversie met oplossingen zit in de bijlage. 

Bijlagen:
65-flippo's met oplossingen.pdf (179.1 KB)