DE BANK EN DE ZEEMEERMIN
Een paradoxaal verhaaltje.

Bron: Pythagoras, jaargang 12 1972/1973

Een bank beschikt over oneindig veel euro's.
De directeur heeft naast de bank een vijver met daarin een zeemeermin.
 Hij gooit elk uur twee euromuntstukken in de vijver en de zeemeermin gooit er na een half uur één van terug.
Hoeveel euromuntstukken houdt de bankdirecteur uiteindelijk over?

Versie 1.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en de zeemeermin gooit 2 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en de zeemermin gooit munt 4 terug.
Uiteindelijk hebben ze er elk evenveel
want de directeur houdt de even nummers over en de zeemeermin de oneven nummers!

Versie 2.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 1 en 3 in het water en krijgt 1 terug.
Hij gooit dan munt 1 en 4 in het water en krijgt 1 terug.
Uiteindelijk houdt de zeemeermin alle euromunten op één na!

Versie 3.
Hij gooit munt 1 en 2 in het water en krijgt munt 1 terug.
Hij gooit daarna munt 3 en 4 in het water en krijgt 2 terug.
Hij gooit munt 5 en 6 in het water en krijgt munt 3 terug.
Na 10 keer heeft de zeemeermin de munten 1 tot en met 10 teruggegooid.
En na 1000 keer is ze de munten 1 tot en met 1000 terug kwijt.
Uiteindelijk geraakt ze alle munten kwijt
(ook munt 75 953 want die gooit ze bij de 75 953^ste  beurt terug)!

 

06-01-2014 om 20:51 geschreven door Luc Gheysens  

TWEE FOUTIEVE BEWIJZEN

Hieronder geven we het bewijs van twee gekende stellingen.
Deze bewijzen vind je echter niet terug in de handboeken.
Weet jij soms wat er mis mee is?

STELLING 1.
De som van de hoeken van een willekeurige driehoek is 180°.

Fout in de redenering. Men gaat er hier van uit dat de som van de hoeken bij elke driehoek gelijk, is...

 STELLING 2 (Pythagoras)
Bij een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde
gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden.

Fout in de redenering: de formule sin² β + cos² β = 1 is zelf een gevolg van de stelling van Pythagoras. 

06-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Iedere liefhebber van merkwaardige getallen
kent ongetwijfeld de bijzondere eigenschap van het getal 142 857:

1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714
3 x 142 857 = 428 571
4 x 142 857 = 571 428
5 x 142 857 = 714 285
 6 x 142 857 = 857 142 

Je bemerkt dat bij vermenigvuldiging van dit getal met 1, 2, 3, 4, 5 of 6 de cijfers cyclisch permuteren. Via de onderstaande schijf kan je deze 6 bewerkingen gemakkelijk uitvoeren. Je hoeft maar de cijfers op de buitenste ring in wijzerzin te doorlopen en je begint bij het overeenkomstig cijfers op binnencirkel waarmee je 142 857 wenst te vermenigvuldigen.

Maar hoe verklaar je dit? Het antwoord lees je in de bijlage. En blijkbaar valt er nog meer te vertellen over 142 857   10 = 3 + (7 × 1) 100 = 2 + (7 × 14) 1 000 = 6 + (7 × 142) 10 000 = 4 + (7 × 1 428) 100 000 = 5 + (7 × 14 285) 1 000 000 = 1 + (7 × 142 857) 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 waarbij 2 + 7 = 9 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 142 857 × 7 = 999 999 142 8572 = 20 408 122 449 en 20 408 + 122 449 = 142 857

Bijlagen:
142857 verklaard.pdf (156 KB)   

Deze morgen vernam ik via de radio dat Phil Everly zopas overleden is.
In de jaren '50 en '60 vormde hij samen met zijn broer Don de Everly Brothers,
een van de meest toonaangevende duo's in de rockgeschiedenis.

Je kunt hier nog even meegenieten van hun minder gekende song Problems (Phil staat links op de foto)
en ondertussen kan je misschien ook een eenvoudig wiskundig probleempje oplossen.

EENVOUDIG PROBLEEM

Schrijf vier opeenvolgende gehele getallen op.
Het kwadraat van het derde getal verminderd met het eerste
is dan gelijk aan het kwadraat van het tweede getal vermeerderd met het vierde.

Voorbeeld 1. De getallen zijn 7, 8, 9 en 10. Dan is 9² – 7 = 8² +10 = 74. 
Voorbeeld 2. De getallen zijn -13, -12, -11 en -10. Dan is (-11)² – (-13) = (-12)² + (-10) = 134.

 Weet jij ook waarom dit altijd klopt?

04-01-2014 om 12:20 geschreven door Luc Gheysens  

SHOPPINGPROBLEEMPJE

Debora en Vanessa, twee modebewuste tieners gingen deze week shoppen in Brussel.
Ze kochten iets in vier verschillende winkels.
In de eerste winkel gaven ze de helft van hun beschikbare budget plus 4 euro uit.
In de tweede winkel gaven ze weer de helft van het resterende bedrag plus 4 euro uit.
In de derde winkel spendeerden ze nog eens de helft van het resterende bedrag plus 4 euro.
In de vierde winkel gaven ze tenslotte nog eens de helft van de rest plus 4 euro uit.
Hiermee was hun budget helemaal opgebruikt.

Hoeveel hadden ze oorspronkelijk op zak om te gaan shoppen?

Hint. Dit probleem kan je oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking!

In de bijlage zit het antwoord (eerst zelf eens zoeken a.u.b)
en een analoog probleem uit de 17de eeuw.

Bijlagen:
Opgelost zonder vergelijkingen.pdf (126.9 KB)   

 

Uitstekende vingeroefening om stress tegen te gaan...  Met dank aan Rajesh Narayanan

03-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 

PROBLEEM 20

Drie duikers haalden uit een scheepswrak een schatkist op.
Hierin zaten tussen 100 en 200 goudstukken.
De oudste duiker verdeelde de goudstukken in drie gelijke stapeltjes
en hield dan nog één goudstuk over dat hij overboord gooide.
Hij nam één stapeltje mee voor zichzelf en plaatste de rest weer in de kist.
De tweede en de jongste duiker deden daarna net hetzelfde.
Toen ze in de haven aankwamen gaf de havenkapitein aan elke duiker
evenveel goudstukken van het aantal dat toen nog in de kist overbleef
en hij hield nog één goudstuk over voor zichzelf.
Hoeveel goudstukken zaten er oorspronkelijk in de opgehaalde kist?

  UITVINDING 20

Een tanathophoor is letterlijk een 'doodbrenger'.
Dit toestel was een soort kachel die men in serres plaatste om parasieten en schadelijke insecten te doden.
Men verbrandde er tabaksbladeren in en de rook bleek een efficiënt verdelgingsmiddel te zijn.
Nadeel waren dan weer de geur en het stof die bij de verbranding in de serres achterbleven.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 20_oplossing.pdf (112.3 KB)   

Volgens de Chinese horoscoop is 2014 het jaar van het paard:
het jaar van verbeeldingskracht, actie en nieuwe paden.

 

Een intrigerende vraag voor paardenliefhebbers kreeg een antwoord dank zij de uitvinding van de film:
zijn de vier poten van een sprintend paar ooit alle vier tegelijk van/op de grond ?

In 2014 is het 150 jaar geleden dat Richard Strauss werd geboren.
Geniet alvast even mee van zijn muzikaal gedicht Also Sprach Zarathustra
bij het begin van de film 2001: A SPACE ODYSSEY van Stanley Kubrick.

01-01-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DANKBAAR

2013 was het jaar van het afscheid
- als leraar wiskunde aan de Kortrijkse Pleinschool (nu: Guldensporencollege)
- als vakbegeleider wiskunde van DPB Brugge
- van de collega-vakbegeleiders wiskunde (in Gent)
- als pedagogisch adviseur wiskunde van PBDKO (Guimardstraat)
- van de twee stuurgroepen wiskunde (in Torhout en Oostende) 
- van de collega's op de twee Dagen van de Wiskunde (Eekhoutcentrum Kortrijk) 

Het DPB-team Brugge  (Diocesane Pedagogische Begeleiding): 11 mooie jaren in een warme en hartelijke werksfeer ...

Het Sint-Jozefinstituut en De Pleinschool campus Leiekant
die heel wat creatieve mogelijkheden boden,
waar ik veel enthousiaste leerlingen mocht ontmoeten
en waar ik ook enkele vrienden voor het leven vond ...

23 november 2013 - Dag van de Wiskunde - Kortrijk
met ere-vakbegeleider Herman Rabaey,
Lies Van de Wege en Geert Delaleeuw (vakbegeleiders wiskunde DPB-Brugge),
Norbert Delagrange, ere-inspecteur wiskunde
en Justine De Jonckheere, oudleerlinge en miss België 2011.

DANKJEWEL!

31-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Jens Bossaert was een succesvolle deelnemer aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade
en studeert momenteel wiskunde aan de UGent.
Zijn belangstelling voor wiskunde resulteerde nu al in een uniek (nog onafgewerkt) document:

Vrij te downloaden op http://users.ugent.be/~jebossae/docs/curiosa.pdf (en hier in bijlage).

Je vindt hierin o.a. een antwoord op de volgende  vragen.

Weet jij wat schizofrene getallen zijn?
Wat is de popcornfunctie?
Hoe kan een boom met Pythagorese drietallen genereren via matrixrekenen?
Wat beweert de stelling van McMullin over de gulden snede bij vierdegraadsveeltermen?
Wie ontdekte de onderstaande getallenspiraal?

Uit het ruime aanbod van onderwerpen die Jens behandelt, selecteerden we de opmerkelijke

EIGENSCHAP VAN PROIZVOLOV

Voorbeeld. 

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} verdelen we in A = {1, 5, 6, 8} en B = {7, 4, 3, 2}.

Dan is |1 – 7 | + |5 – 4 |  + |6 – 3|  + |8 – 2| =  4² .

Van de CURIOSA MATHEMATICA krijg je als wiskundige niet vlug genoeg!

Bijlagen:
Curiosa Mathematica.pdf (8 MB)   

DE ENVELOP VAN PYTHAGORAS

De Kerstman bezorgt je nog een mooi visueel bewijs voor de stelling van Pythagoras.

29-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs
biedt heel wat recreatieve wiskunde aan voor leerlingen van 4 tot 14 jaar.

Naar aanleiding van het 20-jarig bestaan van deze vereniging in 2002
en het 25-jarig jubileum in 2007 stelden ze een brochure op met leuke wiskunde-opgaven.
Je vindt de brochures in bijlage en ook op de website www.volgens-bartjens.nl
bij de rubriek 'lesideeën' > rekenpuzzels en breinkrakers.
Daar staan ook de antwoorden.

Ziehier twee opgaven waarmee we jouw creatief en logisch redeneervermogen even kunt testen!

In een kist zitten drie rode en twee groene mutsen.
Drie kabouters pakken in het donker één muts eruit.
Dan gaat het licht aan.
Ze kijken alleen vooruit en kunnen dus enkel zien welke muts de kabouter(s) voor hen op hebben.
De laatste zegt dat hij niet weet welke muts hij op heeft.
De middelste kijkt voor zich en zegt dat hij ook niet weet welke muts hij zelf op heeft.
De voorste zegt: "Nu weet ik wel welke muts ik op heb!".

Welke kleur heeft zijn muts?

Omdat de rechter het ook niet meer weet, krijgt de verdachte de volgende keuze voorgelegd.
Uit een zak met een zwarte en een witte steen moet hij er willekeurig één kiezen.
Is de steen wit, dan is hij vrij, maar is hij zwart dan wacht hem een straf.
Hij ziet toevallig dat de zaalwachter, belast met de uitvoering van dit vonnis, stiekem twee zwarte stenen in het zakje stopt.
De verdachte denkt diep na en doet een greep in de zak.
Vervolgens doet hij iets waardoor hij de vrijheid verkrijgt.

Wat heeft de slimmerik gedaan?
 
Je mag me natuurlijk altijd een mailtje sturen als je de oplossingen niet vindt.

Bijlagen:
Jubileumnummer 20 jaar NVORWO.pdf (2 MB)   
Volgens Bartjens - uitgave 2007.pdf (1.3 MB)   

FERMATS KERSTMISSTELLING



Pierre de Fermat was een Franse jurist (17de eeuw) die wiskunde als hobby had
en enkele merkwaardige resultaten op zijn naam heeft staan.

Op 25 december 1640 schreef hij in een brief aan Marin Mersenne
een Franse theoloog, filosoof en wiskundige
dat hij een bewijs had voor het feit dat elk priemgetal van de vorm 4k + 1
op een unieke manier te schrijven is als de som van twee kwadraatgetallen.

Deze stelling noemt men daarom wel eens Fermats kerstmisstelling.

Zo is bijvoorbeeld 5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3², 41 = 4² + 5²
Immers 5, 13, 41 zijn priemgetallen die gelijk zijn aan 4-voud + 1.



In 1742 schreef de Duits-Pruisische wiskundige Christian Goldbach
een brief naar Leonhard Euler waarin hij het volgende vermoeden formuleerde:
elk even natuurlijk getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen
(waarbij hetzelfde priemgetal twee keer mag voorkomen).
Dit vermoeden van Goldbach blijft een van de mooiste onopgeloste problemen.

Merk op: als dit waar is, dan is meteen elk even getal te schrijven als de som van 4 kwadraatgetallen!



Joseph-Louis Lagrange, een wiskundige van Italiaanse afkomst
bewees in 1770 zijn vier-kwadaten-stelling:

Elk natuurlijk getal (zowel de even als de oneven getallen)
kan geschreven worden als de som van de kwadraten van vier natuurlijke getallen.

Zo is bijvoorbeeld
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
31 = 5² + 2² + 1² + 1²
310 = 17² + 4² + 2² + 1².

27-12-2013 om 09:30 geschreven door Luc Gheysens  

OMVORMEN VAN FORMULES

Heel wat leerlingen hebben problemen met het omvormen van formules.
Nochtans is deze techniek onontbeerlijk om vraagstukken van fysica, wiskunde, financiële algebra, chemie ... op te lossen.

TEST 1
Kan jij deze formules omvormen?

TEST 2
Begrijp je deze omzetting?

25-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EEN KERSTWONDER?

Alan Turing, de homoseksuele codekraker, krijgt koninklijk pardon
 

Dat de Britten de nazicodes konden ontcijferen, is vooral te danken aan de bombe (bovenstaande foto), een voorganger van de computer, ontwikkeld door de wiskundige Alan Mathison Turing. Hij had een voortrekkersrol bij de ontwikkeling van de eerste computers en wordt algemeen gezien als de vader van de informatica.

Hoewel hij eerst als nationale held geëerd werd, viel hij begin jaren 50 in ongenade toen uitlekte dat hij homo was. Dat was toen nog strafbaar in Groot-Brittannië. Turing kreeg de keuze tussen een gevangenisstraf of chemische castratie. Hij koos uiteindelijk voor dat laatste. Amper twee jaar later werd hij dood teruggevonden.

Algemeen wordt aangenomen dat hij zelf uit het leven is gestapt door te eten van een met cyanide vergiftigde appel. Sommigen suggereren echter dat hij vermoord zou zijn, omdat hij te veel zou hebben geweten over de geheime codes en daardoor een te groot veiligheidsrisico was.

"Uitzonderlijk man met een briljante geest"

Vorig jaar nog lanceerden prominente Britse geleerden, onder wie Stephen Hawking, een oproep om Turing gratie te verlenen. Minister van Justitie Chris Grayling nam het initiatief om daartoe stappen te ondernemen. Nu is er een koninklijk pardon, dat vanaf vandaag ingaat. Door het pardon wordt zijn veroordeling voor homoseksualiteit tenietgedaan.

"Alan Turing was een uitzonderlijk man met een briljante geest", zegt Grayling over de gratie. "Het onderzoek van Turing in Bletchley Park heeft de oorlog ingekort en heeft duizenden mensenlevens gespaard. Zijn latere leven werd overschaduwd door zijn veroordeling voor homoseksualiteit, een straf die we nu als discriminerend en onrechtvaardig zouden beschouwen."

"Turing verdient het om herinnerd en erkend te worden voor zijn fantastische bijdrage aan de oorlogsinspanningen en voor zijn bijdrage aan de wetenschap. Een koninklijk pardon is een gepast eerbetoon."

25-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

 


Het priemgetal 421 heeft twee bijzondere eigenschappen.


421 IS EEN 'GEVULD VIERKANT GETAL'
(Engels: centered square number).

Hieronder staan de eerste vier 'gevulde vierkante getallen' afgebeeld.

De algemene formule voor het n-de getal is C_4,n = n² + (n – 1)².

In C_4,n zijn er n² grijze stippen en  (n – 1)² rode stippen.

C_4,n = 1 + 4 x [n(n – 1)/2]  waarbij n(n – 1)/2 een driehoeksgetal is.

Kan je nu zelf aantonen dat 421 een 'gevuld vierkant getal' is?

421 IS HET GETAL DER ENGELEN

  

Kies een willekeurig positief geheel getal.
Als het getal even is, halveer je het.
Als het oneven is, vermenigvuldig je het met 3 en tel je er 1 bij op.
Herhaal dit procedé ... en je zal eindigen op 4, 2, 1, 4, 2, 1 ....

Voorbeeld. Neem 13 als startgetal.

22-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

KRUISGETALLENPUZZEL

De eerste kruiswoordpuzzel staat op naam van de uit Liverpool afkomstige Brit Arthur Wynne. 
De puzzel verscheen precies 100 jaar geleden op 21 december 1913 in de krant New York World.

Vandaag schotelen we je een kruiswoordraadsel en een kruisgetallenraadsel voor.

KRUISWOORDPUZZEL
(ij telt voor één letter)

Horizontaal. 1. Oude lengtematen  2. Bevroren water  3. Melkproduct
Verticaal.  1. Nelson Mandela   2. Prinses Diana   3. Michael Jackson

KRUISGETALLENPUZZEL
(in elk vakje één cijfer invullen)



Horizontaal.
1. Kwadraat van een natuurlijk getal
3. Derdemacht van een natuurlijk getal
Verticaal.
1. Derdemacht van een natuurlijk getal
3. Kwadraat van een natuurlijk getal

Heb je ze direct kunnen oplossen?

Bijlagen:
Oplossing van de twee puzzels.pdf (131.9 KB)   

Het wiel van Aristoteles

Deze paradox wordt toegeschreven aan Aristoteles en zou voor het eerst vermeld geweest zijn in zijn boek Mechanica.
Op een wiel is een kleiner wiel bevestigd waarbij de middelpunten van de twee wielen samenvallen.
Het grote wiel rolt van links naar rechts over een vlakke lijn en legt bij één omwenteling de afstand |AB| af.
Tegelijkertijd legt het kleine wiel dan over een rechte lijn de afstand |CD| af.
Maar |AB| = |CD| en bijgevolg moet de omtrek van het kleine wiel gelijk zijn aan de omtrek van het grote wiel.   

Weet jij waar de fout zit in deze redenering?

Het rollende muntje

Neem twee even grote muntstukjes en laat het ene een volledige toer rond het andere rollen zonder glijden.
De meeste mensen denken dan dat het rollende muntje één volledige omwenteling rond de eigen as zal afleggen.
Maar doe zelf eens de test met twee euromuntjes en stel vast dat de draaiende munt twee volledige toeren doet!

 

Egyptische sjouwers

In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2003-2004 dook de volgende vraag op.
Ken jij het correcte antwoord?

In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2008-2009 dook dan weer de onderstaande meerkeuzevraag op.

Weet jij het juiste antwoord?

Het antwoord op beide VWO-vragen vind je in de bijlage en daar staat ook wat uitleg bij de paradox van Aristoteles.

Bijlagen:
Rollende munten - oplossingen.doc (146 KB)   

 

PROBLEEM 22

Tien personen staan in een kring en elke persoon neemt een cijfer van 1 tot en met 10 in gedachten.
Hij geeft dit cijfer daarna door aan zijn twee buren.
Dan zegt elke persoon hoeveel het gemiddelde is van de cijfers die zijn twee buren doorgaven.
Die gemiddelden staan hieronder vermeld.
Welk cijfer had de persoon in gedachten genomen die als gemiddelde van zijn twee buren 5 vond?

UITVINDING 22



Rond 1850 hadden stoommachines heel veel toepassingen in de industrie.
De meeste machines werkten met tandwielen.
Die zorgden vaak voor serieuze problemen wanneer de machines plots stilvielen.
Daarom zochten ingenieurs naar systemen waarbij tandwielen
werden vervangen door wielen met wrijving.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 22_oplossing.pdf (60.1 KB)   

KMI en wiskunde

Op 31 juli 2013 vierde het Koninklijk Meteorologisch Instituut (KMI) zijn honderdste bestaansjaar.
Naar aanleiding hiervan werd op 17 september 2013 door de Koninklijke Munt van België een 2 euro herdenkingsmunt uitgegeven.
Uitzonderlijk werd de taak voor de creatie van deze munt, met een ontwerpwedstrijd, in de handen gelegd van het publiek.

Het voorspellen van het weer kan men plaatsen onder de rubriek 'deterministische chaos'
Onze beste weersvoorspellingen komen uit de oplossing van stelsels gekoppelde differentiaalvergelijkingen.
Van dit soort stelsels zijn vaak geen exacte oplossingen bekend, maar numeriek doorrekenen kan wel.
Praktisch betekent dit dat we met de weersgegevens van vandaag die van morgen kunnen berekenen.
Hiervoor werkt men met zogenaamnde beginvoorwaarden.

De Amerikaanse meteoroloog Edward Lorenz toonde al in de jaren '50 aan
dat gekoppelde differentiaalvergelijkingen instabiel kunnen zijn.
Dat betekent dat heel kleine numerieke fouten in de beginvoorwaarden in de tijd steeds groter worden.
Als de temperatuur bijvoorbeeld vandaag 0,1 °C verkeerd wordt gemeten,
is de afwijking van de weersvoorspelling voor morgen al 0,5 °C.
Over een week zitten we er 3,1 °C naast en voor twee weken is geen zinvolle voorspelling meer te doen.
 
Anekdotisch zegt men vaak dat de vleugelslag van een vlinder in een Braziliaans oerwoud
de doorslag kan geven tussen mooi weer en een orkaan in Japan.




Op http://www.chaos-math.org/nl kan je heel wat leren
over dynamische systemen en chaostheorie
aan de hand van een film in 9 hoofdstukken van telkens 13 minuten.

Het ontwerp op de beeldzijde van het KMI-muntstuk
inspireerde me tot een opgave van vlakke meetkunde 'uit de oude doos'.

Hint voor de oplossing.
Toon aan dat Δ BCD gelijkvormig is met Δ BEF.
Via een rotatie met B als centrum kan men de rechte BF afbeelden op BD en de rechte BE op BC.
De rechte BN wordt dan afgebeeld op BM; dus is ∠NBM de rotatiehoek, die ook gelijk is aan ∠EAC.
Bijgevolg is ∠NBM + ∠NAM = 180°.

18-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens