De luchtfoto's van Yann Arthus-Bertrand zullen ongetwijfeld niet enkel wiskundigen imponeren. De regelmaat in de patronen, de compositie van de elementen en de kleurschakeringen zorgen immers voor een mathematisch-esthetische ervaring.
De grootste aangeplante doolhof ter wereld bevindt zich in Reignac-sur-Indre (Frankrijk).
Tulpenvelden in de omgeving van Amsterdam.
Het Atomium, een ontwerp van architect André Waterkeyn stelt een kubische ijzerkristalstructuur voor, 165 miljard keer vergroot. De negen bollen symboliseren de 9 (ondertussen 10) Belgische provincies. In het novembernummer van 2009 van het wetenschappelijk tijdschrift EOS verscheen een opmerkelijk artikel over het Atomium. Na de restauratie van 2006-2008 heeft ons nationaal monument immers een SCHEVE BOL. Je kan het artikel lezen in bijlage.
Als een wiskundeleraar van zijn leerlingen een beetje creatieve aanpak bij het oplossen van problemen verwacht, dan is parate kennis onontbeerlijk. Voor mijn studenten die in het vijfde jaar aso een studierichting met 6 wekelijkse lestijden volgen, heb ik daarom een instapformularium opgesteld. Je vindt het in bijlage.
Kwestie van het schooljaar op een opgewekte manier te beginnen ...
De zeef van Eratosthenes met de priemgetallen kleiner dan 120
Vier wetenswaardigheden over priemgetallen.
1 Wat zijn priemgetallen? Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7, 11, .... De naam priemgetal is afgeleid van het Latijnse woord 'primus', wat eerste of primair betekent. Priemgetallen kan men immers de atomen van de getallenleer noemen omdat elk natuurlijk getal groter dan 1 ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen. Zo is bv. 180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5 en 2009 = 7 . 7 . 41 = 72 . 41. Men zegt dan dat 7 en 41 priemdelers zijn van 2009.
2 Zijn er oneindig veel priemgetallen? Ja! Dit is reeds in de 3de eeuw v. Chr. bewezen door Euclides. Hij gebruikte hiervoor een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel immers dat het aantal priemgetallen eindig is en dat p het grootste priemgetal is. We maken dan het product van al deze priemgetallen en tellen er 1 bij op. Zo bekomen we het getal N = (2 . 3 . 5 . 7 ... p) + 1. Nu zijn twee mogelijkheden: - ofwel is dit een priemgetal. Maar dan hebben we meteen een contradictie met het feit dat p het grootste priemgetal zou zijn, m.a.w. we er bestaat toch een priemgetal N dat groter is dan p; - ofwel is N zelf geen priemgetal. Maar dan heeft N een priemdeler p', die groter moet zijn dan p, want als we N delen door alle priemgetallen van 2 tot en met p is de rest telkens 1. Bijgevolg bestaat er een priemgetal p' groter dan p, wat opnieuw in contradictie is met de veronderstelling dat p het grootste priemgetal is.
In het tijdschrift American Mathematical Monthly van december 2006 publiceerde Filip Saidak, een Slovaakse wiskundige een verrassend eenvoudig nieuw bewijs van de stelling dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs luidt als volgt. Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren. Dat betekent dat het getal N2 = n(n + 1) ten minste twee verschillende priemfactoren heeft. Voor de getallen N2 en N2 + 1 geldt hetzelfde: zij verschillen slechts 1 en moeten dus ten minste twee verschillende priemfactoren hebben. Het getal N3 = N2( N2 + 1) = n(n + 1)[ n(n + 1) + 1] heeft dus minimaal drie verschillende priemfactoren. Dit proces kan eindeloos worden voortgezet: het getal Nk heeft ten minste k priemfactoren. Omdat dit voor elk positief geheel getal k geldt, kan de rij priemgetallen nooit ophouden.
Filip Saidak
3 Bestaat er een algemene formule voor alle priemgetallen? Wellicht niet, maar dit is een open probleem. Leonard Euler merkte op dat p(n) = n² + n + 41 voor de waarden n = 0, 1, 2 ... tot en met 39 een priemgetal oplevert. Dit is niet meer waar voor n = 40 want p(40) = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41² .
In de derde eeuw v. Chr. ontwikkelde de Griekse wiskundige Eratosthenes een algoritme waarmee hij een lijst van de priemgetallen kon opstellen. Deze methode staat bekend als de zeef van Eratosthenes. De werkwijze wordt geïllustreerd bovenaan deze pagina. Als men de natuurlijke getallen rangschikt in rijen van 6 (zoals op de onderstaande figuur), dan blijkt dat alle priemgetallen groter dan 3 terug te vinden zijn in de eerste en de vijfde kolom. Elk priemgetal groter dan 3 is immers een zesvoud ± 1.
Ook de Franse monnik Marin Mersenne (1588 1648) zocht naar een formule voor priemgetallen. Hij onderzocht de getallen van de vorm Mp = 2p -1, waarbij p een priemgetal is en merkte op dat M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 en M7 = 127 allemaal priemgetallen zijn. Dit bleek echter niet meer waar voor M11, nl. M11 = 211 - 1 = 2047 = 23 . 89.
Marin Mersenne
Priemgetallen van de vorm 2p - 1, met p een priemgetal, worden Mersenne-priemgetallen genoemd. Via de GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) proberen wiskundigen via de formule van Mersenne steeds grotere priemgetallen te vinden. Deze getallen zijn immers van groot belang voor de cryptografie, de wetenschap die zich bezighoudt met het coderen van gegevens. Meer hierover lees je op http://primes.utm.edu, waar je o.a. het grootst gekende priemgetal kan vinden. Ook jij kan mee helpen zoeken naar een nieuw grootste priemgetal en misschien zo eeuwige roem of 100 000 dollar verwerven. Meer uitleg op http://www.mersenne.org/.
4 Welke open problemen rond priemgetallen houden de wiskundigen bezig? Zoals eerder gemeld zoekt men steeds grotere priemgetallen en blijft het een open vraag of er een algemene formule bestaat voor priemgetallen. Het meest beroemde probleem rond priemgetallen is echter de zogenaamde Goldbach-conjectuur. Christian Goldbach (1690-1764) schreef in 1742 een brief naar Euler waarin hij het vermoeden formuleerde dat elk even getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen. Voor zover men met computers heeft kunnen controleren blijkt dit altijd waar te zijn, maar een algemeen bewijs hiervoor is nog niet gevonden.
Kristof Scheys en Stijn Vermeeren (oudleerlingen van het Sint-Jozefscollege in Aarschot) schreven een boeiend eindwerk bijeen rond priemgetallen. Zie bijlage.
Waar kelk en kling steeds waken over haar. De Da Vinci Code - Dan Brown La Pyramide Inversée Parijs - 18 juli 2009 (klik op de foto voor een grotere afbeelding)
Drie wetenswaardigheden over piramiden. Bron: www.wisfaq.nl
1 Waarom komt de factor 1/3 voor in de formule voor de inhoud van een piramide?
De inhoud I van een piramide kan men berekenen met de formule I = 1/3·G·h , waarbij G de oppervlakte is van het grondvlak en h de hoogte.
Studenten verwonderen er zich vaak over het feit dat in de formule voor de inhoud van een piramide de factor 1/3 voorkomt.
Dit kan uiteraard worden verklaard door de formule voor de inhoud op te stellen via een bepaalde integraal. Er is echter ook een eenvoudige intuïtieve verklaring.
Laten we maar hiervoor eens kijken naar deze vierzijdige piramide in een kubus:
We nemen aan dat de formule voor de inhoud van de piramide op een constante factor na gelijk is aan het product van de oppervlakte G van het grondvlak en de hoogte h.
Je kunt nu de top verschuiven langs een zijvlaksdiagonaal zonder dat de inhoud verandert, want zowel G als h blijven gelijk. Je krijgt dan een andere piramide met dezelfde inhoud:
Als je nu goed naar deze figuur kijkt, kan je zien dat er in een kubus precies drie van deze piramides passen:
Dus de inhoud van de piramide is 1/3·G·h .
2 Een telprobleem bij piramiden
De piramide hiernaast bestaat uit een grondvlak van 6 bij 6. De volgende verdieping is 5 bij 5. De daarop volgende verdieping is 4 bij 4, enzovoort ...
Vraag: Uit hoeveel kubusjes bestaat deze piramide?
Antwoord. 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91.
De zijden van het grondvlak van de piramide van Cheops zijn ongeveer 233 m lang.
Stel nu dat men deze piramide wil opbouwen met kubusvormige blokken met een zijde van 1 meter volgens het hierboven beschreven principe.
Hoeveel blokken zou men dan hiervoor nodig hebbben.
Het antwoord is dan klaarblijkelijk gelijk aan 1 + 2² + 3² + 4² + ... + 233².
Hiervoor kan men een formule gebruiken die gemakkelijk wordt bewezen via volledige inductie (zie bijlage) : = . Voor n = 233 vindt men dat er 4 243 629 blokken zouden nodig zijn.
3 Kan men de afmetingen van de piramide van Cheops in verband brengen met het getal π en het getal φ van de gulden snede?
We verwijzen hiervoor naar de tekst in bijlage.
Misschien is dit een fantasietje van wiskundigen of zit er hier toch een kern van waarheid in?
Wiskunde en hemelmechanica: de wetten van Kepler en de wet van Titius Bode
Johannes Kepler (1571-1630) formuleerde drie wetten waarmee hij de beweging van planeten beschreef. Hij maakte hierbij gebruik van de zorgvuldige astronomische metingen van Tycho Brahe (1546-1601).
EERSTE WET Alle planeten beschrijven ellipsvormige banen rond de zon, waarbij de zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt.
TWEEDE WET De snelheid van een planeet in haar omloopbaan verandert zodanig dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte lijn (voerstraal) tussen de zon en de planeet, gelijk is. De voerstraal beschrijft dus in gelijke tijdsintervallen, gelijke oppervlakken, ook perken genoemd, vandaar de naam perkenwet.
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B gaat en van C naar D, dan zijn de beide gekleurde oppervlakten even groot.
DERDE WET Het kwadraat van de omlooptijd t van een planeet is evenredig met de derde macht van haar gemiddelde afstand r tot de zon, m.a.w. de breuk t2/r3is een constante voor alle planeten.
De wet van Titius-Bode is een wiskundige regel die in 1766 door de astronoom Johann Daniel Titius werd ontdekt en in 1772 door zijn collega Johann Elert Bode werd gepubliceerd.
Titius
Bode
De wet van Titius-Bode geeft de afstand van planeten tot de zon op basis van hun rangnummer.
Neem de volgende getallenreeks: 0 3 6 12 24 48 96 192.
Tel bij elk getal het getal 4 op: 4 7 10 16 28 52 100 196.
Deel elk getal door 10: 0,4 0,7 1,0 1,6 5,2 10,0 19,6.
Deze laatste reeks getallen blijkt een vrij goede benadering te geven van de afstanden van de planeten tot de zon. Deze afstanden zijn uitgedrukt in AE. 1 AE = 1 astronomische eenheid is ongeveer 150 miljoen km of de afstand van de aarde tot de zon.
berekende afstand a (in AE) tot de zon met de formule van Titius-Bode
werkelijke afstand (in AE)
0,4
(Mercurius): 0,387
0,7
(Venus): 0,723
1,0
(Aarde): 1,000
1,6
(Mars): 1,524
2,8
(klopt ongeveer met planetoïden: a ~ 2,8)
5,2
(Jupiter): 5,203
10,0
(Saturnus): 9,537
19,6
(Uranus): 19,191
Er is geen wetenschappelijke onderbouwing van de al 300 jaar bekende wet, anders dan de overeenkomst met de waargenomen afstanden van de toen bekende planeten. Op basis van deze wet is door astronomen "voorspeld" dat zich tussen Mars en Jupiter een nog onontdekte planeet zou bevinden. Ceres, de eerst ontdekte planetoïde is enige tijd beschouwd als deze "missing link". Voor Neptunus en de dwerplaneet Pluto blijkt de wet niet helemaal meer op te gaan. Dit is wellicht de reden dat de wet van Titius-Bode wat in de vergetelheid is geraakt.
Het veilig doorgeven van informatie via het internet kan maar gebeuren wanneer er gebruik wordt gemaakt van privé-sleutels, die het decoderen door de ontvangers van de boodschap mogelijk maken. Door de eeuwen heen werden er steeds meer gesofisticeerde methodes ontwikkeld voor het decoderen van boodschappen die in codevorm werden doorgestuurd.
De populairste manier van publieke cryptografie is de RSA-encryptie, genoemd naar haar bedenkers Rivest, Shamir en Adleman. Ze maakt op een handige manier gebruik van priemgetallen.
Met de komst van de kwantumcomputers zal de RSA-code niet meer veilig zijn. Wiskundigen zijn daarom nu al druk bezig met het ontwikkelen van nieuwe codeermethodes.
De RSA-mannen, van links naar rechts: Adi Shamir, Ron Rivest en Len Adleman.
Voor wie de codetheorie wat onder knie wil krijgen, is het belangrijk wat inzicht te krijgen in het modulorekenen. Eenvoudige toepassingen hiervan vindt men o.a. bij bankrekeningnummers, kredietkaarten, de EAN-code (streepjescode), ISBN-nummers van boeken, ... Bij CD's gebruikt men een codeersysteem dat fouten corrigeert. Codering garandeert ook de veiligheid van een digitale handtekening. De theoretische aspecten en de concrete toepassing ervan komen aan bod in een cursustekst van Prof. Dr. Paul Igodt (Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk) en Dr. Fabien Decruyenaere. De tekst zit in bijlage. Je kan er ook wat historische uitleg in nalezen. Bron: http://www.kuleuven-kortrijk.be/~igodt/aw/
Op de oude Duitse bankbiljetten van 10 mark stond Carl Friedrich Gauss afgebeeld met zijn beroemde 'Gausskromme'. Deze klokvormige kromme neemt een centrale plaats in bij de studie van de nomale verdeling
Sedert 2004 is in de leerplannen van de derde graad aso-kso-tso de studie van de normale verdeling een verplicht leerstofonderdeel.
In bijlage vind je een cursustekst van collega Hilde Eggermont met de basisleerstof over dit onderwerp.
Wie wil experimenteren met de normale verdeling kan terecht op de website van
collega Chris Cambré: http://wiskunde-interactief.be bij de rubriek 'Statistiek'.
Hier staat ook heel wat interactief oefenmateriaal voor beschrijvende
statistiek en voor diverse andere leerstofonderdelen.
"Volgens statistieken was ten tijde van Adam en Eva de helft van de wereldbevolking bang voor slangen."
1 Wat is een magisch vierkant? Een magisch vierkant (of tovervierkant) is een vierkante tabel met n rijen en n kolommen waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² zo gerangschikt staan dat de som s per kolom, per rij en langs de twee diagonalen telkens gelijk is. Het getal n noemt men deorde van het magisch vierkant en de som s noemt men de magische constante. Vaak houdt men echter geen rekening met de voorwaarde dat men enkel de getallen van 1 tot en met n² in het rooster mag plaatsen. Zo bestaan er bijvoorbeeld bv. magische vierkanten waarin enkel priemgetallen staan.
Magische vierkanten van orde 3 (s = 177) en van orde 4 (s = 120) waarin enkel priemgetallen staan:
17
89
71
113
59
5
47
29
101
3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
2 Bestaat er een algemene formule voor magische vierkanten van orde 3? Vooraf merken we op dat het meest beroemde magische vierkant de zogenaamde Lo-Shu is. Een legende wil dat rond 2800 v. Chr. China zwaar getroffen werd door overstromingen. Om de god van de rivier Lo gunstig te stemmen werden offers gebracht. Het viel op dat toen telkens een schildpad uit de rivier kroop. Ze droeg op haar rug een merkwaardige tekening, die een magisch vierkant bleek te zijn met als magisch som 15. De Chinezen begrepen dat de riviergod hiermee wilde te kennen geven dat er 15 offers werden gebracht en ... meteen stopten daarna ook de overstromingen. Het vierkant kreeg de naam Lo-Shu, wat boek van de rivier Lo betekent.
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Lo-Shu
De algemene formule voor magische vierkanten van orde 3 werd door de Franse wiskundige Edourd Lucas (1842-1891) opgesteld. Door aan a, b en c willekeurige waarden toe te kennen in het onderstaande rooster bekomt men telkens een magisch vierkant met magische som 3a. Voor a = 5, b = 3 en c = 1 vindt men de Lo Shu terug.
a+b
a-b-c
a+c
a-b+c
a
a+b-c
a-c
a+b+c
a-b
Nog niet zo lang geleden deed iemand een merkwaardige ontdekking i.v.m. de Lo Shu. Als men de getallen in de drie rijen leest van links naar rechts, bekomt men 834, 159 en 672. Wanneer men ze van rechts naar links leest, vindt men 438, 951 en 276. Nu is 834² + 159² + 672² = 438² + 951² + 276². En blijkbaar geldt ook hetzelfde voor de getallen die men van boven naar onder of van onder naar boven leest. Als dat niet magisch is!
3 Wat is het meest beremde magisch vierkant van orde 4? Dit is ongetwijfeld het magisch vierkant dat op de gravure Melancholia I van de Duitse renaissancekunstenaar Albrecht Dürer(1471-1528) staat afgebeeld. Dürer maakte deze gravure in 1514 (het getal middenste in twee cellen van de onderste rij). De initialen van de kunstenaar zijn A (eerste letter van het alfabet) en D (vierde letter van het alfabet) en 4 en 1 staan ook op de onderste rij van het vierkant. Toeval?
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Een magisch vierkant van orde 4 waarbij de som in de vier vierkanten in de hoeken ook gelijk is aan de magische constante, noemt men een gnomon magisch vierkant. Dit is het geval bij het vierkant van Dürer. Bovendien blijken ook nog de getallen in het centrale vierkant dezelfde som op te leveren.
4 Bestaat er een formule voor het berekenen van de magische constante?
Voor een magisch vierkant van orde n waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² staan, bestaat er inderdaad een formule, nl. s = (n²+1)n/2. Die bekomt men als volgt: de som van de getallen van 1 tot en met n² is gelijk aan (1+n²)n²/2. Omdat er n rijen zijn volstaat het dit getal door n te delen om de magische constante s te vinden.
5 Kan ik zelf een magisch vierkant van orde 4, 5, 6 ... maken? Voor vierkanten met oneven orde is er de merkwaardige methode van Antoine de La Loubère, die ook wel de Siamese methode wordt genoemd. Zie bv. http://en.wikipedia.org/wiki/Siamese_method. Ook voor een aantal andere magische vierkanten bestaat er een constructiemethode. Meer uitleg vindt je o.a. op http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square. Op het internet vind je bovendien kleine programmaatjes om magische vierkanten te voorschijn te toveren, bijvoorbeeld op: http://magie.nl.eu.org/generator.html .
6 Zijn sudoku's magische vierkanten? Nee. In het algemeen is de som in de 9 rijen en de 9 kolommen gelijk is aan 1 + 2 + ... + 9 = 45, maar dit is niet waar voor de twee diagonalen. Er bestaan uiteraard ook diagonaalsudoku's waarvoor dit wel waar is. Hieronder zie je zo een voorbeeld.
5
9
7
6
4
3
2
1
8
2
4
3
1
8
7
9
6
5
8
6
1
2
9
5
4
7
3
3
8
5
7
1
9
6
2
4
9
2
6
8
3
4
7
5
1
1
7
4
5
2
6
3
8
9
6
3
2
9
5
1
8
4
7
4
1
8
3
7
2
5
9
6
7
5
9
4
6
8
1
3
2
7 Bestaat er een goed Nederlandstalig boek over magische vierkanten? Een absolute aanrader is het boek Magische vierkanten, De wonderbaarlijke geschiedenis van wiskundige puzzels, Van Lo-Shu tot sudoku van Arno van den Essen, uitgegeven in 2007 door Veen Magazines, Diemen - ISBN 978 90 8571 052 3.
In het septembernummer (49ste jaargang - nummer 1 - 2009) van het het tijdschrift Pythagoras is een bijdrage gewijd aan geomagische vierkanten. Dit soort magische vierkanten zijn een origineel idee van Lee Sallows. Deze in Nederland wonende en werkende Brit noemt zichzelf een 'amateurwiskundige'. Hij beschreef zijn ontdekking van geomagische vierkanten in een ongepubliceerd manuscript, maar gelukkig ontdekte de redactie van Pythagoras deze tekst. Geomagische vierkanten blijken in feite een visualisering te zijn van de gekende magische vierkanten. In bijlage vind je zo een vierkant. Met dank aan Matthijs Coster.
Lee Sallows heeft zelf een leuke website met heel veel mooie geomagische figuren.
Het spel Yahtzee werd uitgevonden in 1954 door een anoniem Canadees koppel.
Ze doopten het The Yacht Game omdat ze het spel met vrienden op hun jacht speelden.
Twee jaar later vroegen ze aan de gezelschapsspellen-uitgever Edwin S. Lowe om een aantal sets te maken die ze als geschenk aan hun vrienden konden geven.
Lowe zag in dat het spel goed in de markt zou liggen en verkreeg de rechten op het spel van het koppel in ruil voor duizend cadeau-sets.
Lowe veranderde de naam in Yahtzee.
In het begin vielen de verkoopresultaten tegen want de aantrekkingskracht en de regels van het spel konden niet eenvoudig overgebracht worden via een reclamecampagne.
Uiteindelijk kwam hij op het idee om "Yahtzee-bijeenkomsten" te organiseren waar mensen het spel leerden spelen en appreciëren.
Het idee was succesvol en het spel werd snel verspreid door enthousiaste spelers via mond tot mond reclame. MB Parker kocht het bedrijf van E. S. Lowe in 1973.
Volgens producent Hasbro worden er tegenwoordig wereldwijd 50 miljoen setjes Yahtzee per jaar verkocht.
Toepassen van lineaire regressie kan opgevat worden als het bepalen van de best passende lijn bij een aantal gegeven meetpunten.
Wat "best passen" betekent is natuurlijk afhankelijk van het gehanteerde criterium.
Eén zo'n criterium is het "kleinste-kwadratencriterium".
Daarvoor wordt de kleinste-kwadratenmethode gebruikt.
Van een lijn y = a + bx worden de coëfficiënten a en b zodanig berekend dat de som van de kwadraten van alle afwijkingen d ivan het feitelijke meetpunt ten opzichte van de regressielijn (zie figuur) minimaal is.
Er wordt dus een verband gezocht tussen twee reeksen meetgegevens, die respectievelijk op de horizontale as (onafhankelijke waarden x1, x2, ..., xn) en de verticale as (afhankelijke waarden y1, y2, ... , yn) worden voorgesteld.
Men vertrekt van deze concrete data (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn).
Een spreidingsdiagram is een grafische voorstelling van de data, waarmee de begrippen positieve of negatieve, sterke of zwakke correlatie visueel worden ingevoerd.
De correlatiecoëfficiënt is een getal dat aangeeft in welke mate er een lineair verband bestaat tussen de variabelen.
Eens we vermoeden dat er een lineair verband bestaat tussen twee variabelen, zoeken we de vergelijking van de rechte die het best aansluit bij de puntenwolk.
Deze rechte is de regressierechte.
Collega Bieke Van Deyck schreef een uitstekende inleiding over dit onderwerp in het T3-cahier in bijlage.
Dit is één van de vele cahiers die de medewerkers van T3-Vlaanderen de voorbije jaren hebben bijeengeschreven.
www.t3vlaanderen.be Hier vind je alle reeds gepubliceerde cahiers en alle informatie over de voorbije symposia.
Grafiek van de logistische groeifunctie (sigmoïde)
De logistische groeifunctie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst 1804-1849),
beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie als functie van de tijd t, als de verandering van de populatie-omvang evenredig is:
met de omvang van de huidige populatie N(t)
en met de nog voorhanden "groeiruimte" M - N(t) , waarin M de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.
Deze eisen leiden tot de volgende differentiaalvergelijking:
De oplossing van deze vergelijking is:
die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.
De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren.
In het begin (t klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is.
Aan het eind (t groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M, omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is.
Oplossing van de differentiaalvergelijking door scheiden van de veranderlijken:
dus
waaruit door integratie (via splitsen in partieelbreuken) volgt:
zodat
Opmerking. Hierbij is log de Amerikaanse notatie voor de natuurlijke logaritmische functie ln.
Daaruit volgt:
(1)
Voor t = 0 vinden we voor als waarde voor de integratieconstante c:
(2)
waarbij N0 de beginpopulatie voorstelt.
Uit (1) en (2) volgt de hoger vermelde oplossing.
Het logistische groeimodel kan gebruikt worden voor bacteriekolonies of muizenpopulaties, waarbij de populatie-omvang beperkt is door de beperkte aanwezigheid van voedsel.
Een mooie toepassing over de groeistadia van padden, waarbij gebruik gemaakt wordt van de ingebouwde instructie 'Logistic' op een grafische rekenmachine, zit in bijlage.
Met dank aan collega's Sabine Van Roose en Gilberte Verbeeck.
De oude Grieken waren al gefascineerd door bewijzen en constructies. Zij kampten echter eeuwenlang met drie grote problemen:
1. De trisectie van een hoek.
Gegeven een bepaalde hoek, hoe deel je die met passer en liniaal in drieën (drie gelijke delen)?
2. De kwadratuur van de cirkel.
Gegeven een cirkel, hoe construeer je met passer en liniaal een vierkant met dezelfde oppervlakte als de cirkel? In feite komt dit neer op het construeren van een lijnstuk met lengte √π .
3. De verdubbeling van de kubus.
Gegeven een kubus, hoe construeer je met passer en liniaal een kubus met inhoud het dubbele van de oorspronkelijke kubus? Dit komt dus neer op het construeren van een lijnstuk van lengte 3Ö2.
De legende gaat dat de burgers van Athene door een epidemie geteisterd werden, en dat zij in 430 v. Chr. raad zochten bij het orakel van Apollo te Delos. Het orakel antwoordde dat het altaar van Apollo (dat de vorm van een kubus had) verdubbeld moest worden om de epidemie op te heffen. Gedachteloos begon men een altaar te bouwen met zijden dubbel zo groot als het oorspronkelijke. Maar de inhoud was helaas nu 8 keer zo groot. De goden waren vertoornd geraakt door deze blunder en de epidemie verergde. Men besloot ten einde raad Plato te raadplegen. Die zei: "De goden gaven ons deze opdracht niet omdat zij een groter altaar wilden, maar als verwijt dat wij de mathematica en geometrie verwaarlozen!" Vanaf die tijd wordt de verdubbeling van de kubus ook wel het "Delische probleem" genoemd.
Ondanks talloze pogingen bleek men niet in staat deze problemen op te lossen. En het sneue is: deze drie problemen zijn niet op te lossen, zo is later bewezen. Het bewijs daarvan is nogal lastig.
Voor de oplossing van het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel met passer en liniaal is de constructie van een lijnstuk met lengte √π en daarmee van π nodig. Al eerder was bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd 'vertaald' kan worden in het oplossen van een kwadratische vergelijking met hele coëfficiënten, en andersom is elke kwadratische vergelijking met gehele coëfficiënten om te zetten in een constructie met passer en liniaal. Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π een transcendent (of een niet-algebraïsch) getal is. Omdat π niet kan optreden als oplossing van een algebraïsche vergelijking in het algemeen, laat staan van een kwadratische vergelijking, is de constructie van het gevraagde lijnstuk onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel. (Bron: Wikipedia).
Hippocrates van Chios (470-410 v. Chr.) vond een methode om aan te tonen dat de oppervlakte van bijzondere kromlijnige figuren, namelijk maantjes gelijk kon zijn aan de oppervlakte van een vierkant. Zo bleef de hoop nog altijd bestaan dat men een cirkel zou kunnen 'kwadrateren'. Een maantje is een vlakke figuur begrensd door twee cirkelbogen. Hippocrates bewees namelijk dat de oppervlakte van de twee gele maantjes (onderstaande figuur) gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek Δ ABC. Een bewijs hiervan vind je in bijlage.
Natuurlijk waren er wel een aantal "valsspelers"; zij ontwikkelden krommen of speciale apparaten om de problemen wél op te lossen. Maar natuurlijk zijn dit niet "echte" constructies met behulp van passer en liniaal. Euclides zou zich omdraaien in zijn graf! Een paar zulke notoire valsspelers:
Spiralen vormen al van in de oudheid een intrigerend studieobject binnen de wiskunde. Wanneer we om ons heen kijken, dan blijken ze vaak heel onverwacht op te duiken:
bij wenteltrappen, slakkenhuizen, in spiraalvormige melkwegstelsels,
zonnebloempitten zitten gerangschikt volgens spiralen,
2005 werd uitgeroepen tot Internationaal Jaar van Fysica en op die manier werd meteen het wonderjaar (annus mirabilis) 1905 herdacht waarin Albert Einstein (1879-1955) vier artikels publiceerde in het tijdschrift Annalen der Physik, die een schokgolf zouden veroorzaken in de wetenschappen. Hij behandelde daarin vier verschillende themas : de kwanta (licht en materie als deeltjes én golven), de atomen (Brownse beweging), de speciale relativiteit (uitgaande van het feit dat de lichtsnelheid een constante is en dus onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer) en de equivalentie van energie en materie (E = mc²).
De algemene relativiteitstheorie (over het effect van de zwaartekracht op de kromming van de ruimte) zou Einstein in 1915 de wereld insturen via een aantal lezingen voor de Pruisische Academie voor Wetenschappen.
Einstein had ook een bijzondere relatie met ons land :
-hij had naaste familie in Antwerpen (o.a. zijn oom César Koch);
-hij nam deel aan vier Solvayconferenties in Brussel;
-hij was vriend aan huis bij koning Albert I en koningin Elisabeth;
-hij verbleef in 1933 zes maanden in De Haan waar hij onderdook voor het opkomende naziregime in Duitsland.
Einstein met zijn vrouw Elsa Koch voor de 'Villa Savoyarde' in De Haan (nu: Shakespearelaan 5)
Aankomst in Antwerpen
Einstein op het terras van het restaurant 'Le coeur volant' in De Haan samen met o.a. James Ensor.
In bijlage vind je vijf artikels: - De Einsteincode: dit is de tekst van een lezing die ik in 2005 in Oostende gaf op het tweejaarlijks congres van de Vlaamse Vereniging vanWiskundeleraars. De tekst bevat een aantal opdrachten die in de vrije ruimte kunnen gebruikt worden. Wie de tekst aandachtig leest en bereid is een paar berekeningen te maken, zal ook begrijpen waarom de tijd trager vooruitloopt in een raket die met een heel hoge snelheid door de ruimte schiet. Dit is meteen de basis van de zogenaamde tweelingenparadox: als de ene helft van een tweeling een reis maakt door de ruimte, zal hij 'jonger' dan zijn tweelingsbroer terugkeren op aarde. Je kan er ook meer te weten komen over het kaartspel 'De Einsteincode' (Die Keure, 2005). - Einstein en België: een bijdrage over het verblijf van Einstein in België in 1933 en de contacten die hij hier had. - Einstein in De Haan: een bijdrage van Wilfried Saelens, archiefverantwoordelijke van de gemeente De Haan. - Einsteindossier: de officiële gids van de tentoonstelling 'Einstein Anders Bekeken' (Tour & Taxis, Brussel 2005) - De Einsteincode (2005): een werkwinkel die ik in 2005 gaf op het T3-symposium in Oostende en waarbij men een aantal kansexperimenten moet uitvoeren met een grafisch rekentoestel.
Muziek kan ook voor een wiskundige een therapeutisch effect hebben.
De hits van Buddy Holly, die mijn negen jaar oudere broer Eric begin de jaren '60 als teenager via zijn bandopnemer afspeelde, spoken nog vaak door mijn hoofd.
Met zijn rock-'n-roll-muziek was Buddy Holly meteen een pionier van de hedendaagse popmuziek. Hebben we niet allemaal de opdracht om ergens pionier te zijn?
KRANTENBERICHT
3 februari 1959 - De Amerikaanse artiesten Ritchie Valens, Buddy Holly
en the Big Bopper zijn omgekomen bij een vliegtuigongeluk.
Het vliegtuig was net opgestegen
vanuit Mason City. Ook de piloot overleefde het ongeluk niet.
Het vliegtuig, een Beechcraft Bonanza, met de drie Amerikaanse sterren
aan boord, was op weg naar Fargo in North Dakota.
De artiesten toerden gezamenlijk door Amerika en hadden die dag een
optreden in Moorhead.
Buddy Holly had het vliegtuig geregeld omdat zijn tourbus kapot was
gegaan.
Aanvankelijk zou The Big Bopper, zijn echte naam was Jiles Perry Richardson,
ook niet met het vliegtuig gaan.
Hij voelde zich echter niet lekker en besloot daarom plaats
te nemen in het vliegtuig.
Ritchie Valens had de toss gewonnen tegen gitarist Tommy Allsup en kon
daarom meevliegen met het gezelschap.
Het was meteen zijn eerste vlucht.
De oorzaak van het ongeluk was waarschijnlijk een kleine sneeuwstorm, waardoor
het vliegtuig uit balans raakte.
De onervaren 21-jarige piloot heeft vermoedelijk het vliegtuig niet
onder controle kunnen houden,
waarna het om 5 minuten over 1 s nachts neerstortte in een maisveld.
The Big Bopper was 28 jaar oud, Buddy Holly was slechts 22 jaar oud en Ritchie
Valens was pas 17 jaar oud.
De werkelijke naam van Buddy Holly was Charles Hardin Holley.
Zijn meest bekende nummers zijn That'll Be The Day, Oh Boy (mei 1958 samen met The Crickets) en Peggy Sue.
Vandaag de dag is Buddy Holly nog steeds een cultfiguur van de rock-'n-roll door zijn talent, zijn pionierswerk en ook omwille van het stormachtig verloop van zijn carrière.
In 1971 schreef Don McLean het nummer American Pie dat een beschrijving is van de dood van Buddy Holly en de evolutie van de muziek in de jaren na zijn dood.
Een bekende zin uit dit nummer zorgde ervoor dat 3 februari 1959 voortaan bekend staat als The Day the Music Died.
A long long time ago I can still remember how that music used to make me smile And I knew if I had my chance That I could make those people dance And maybe they'd be happy for a while But February made me shiver With every paper I'd deliver Bad news on the doorstep I couldn't take one more step I can't remember if I cried When I read about his widowed bride But something touched me deep inside The day the music died ...
Als er 10 duiven in 9 hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens twee duiven zitten.
Als er 28 duiven over 9 hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens vier duiven zitten.
Als er n + 1 duiven over n hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens twee duiven zitten.
Als er m duiven in n hokken neerstrijken, dan is er minIn bstens één hok met minstens [(m-1)/n] + 1 duiven. Hierbij is de functie [ ] de Entier-functie van Legendre, die met elk reëel getal het grootste geheel getal laat overeenkomen dat kleiner is dan of gelijk aan dat reëel getal. Zo zal er bijvoorbeeld bij 45 duiven die over 7 hokken worden verdeeld, minstens één hok zijn met [44/7] + 1 = 6 + 1 = 7 duiven.
In bijlage zit een tekst met vijf eenvoudige opdrachten gebaseerd op het duivenhokprincipe en ook nog een tekst van collega Fabien Decruyenaere met een resem leuke voorbeelden.
Sommige
wiskundige stellingen zijn zo fantastisch eenvoudig en elegant dat je je
verbaasd afvraagt:
Hoe is het mogelijk dat ik daar niet zelf op gekomen ben?
Deze bijdrage gaat over zon stelling, geschikt ook voor leerlingen van
de eerste graad.
Deze stelling iseenvoudigerdan de stelling vanThales,
zelfsnogeenvoudiger dan de stellingvanPythagoras,
maar onbekend bij veleprofessionele
wiskundigen.
Destellingwordt genoemd naar haar ontdekker,
de Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick,
geboren op10 augustus 1859 in Wenen
en omgekomen op 26 juli 1942 in het concentratiekamp Theresienstadt (Bohemen,
nu Tsjechië),
waarheen hij op 82 jarige leeftijd om zijn joodse afkomst gedeporteerd werd .
Picks stelling gaat over simpele
roosterveelhoeken.
Dat zijn veelhoeken waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn en waarvan de
zijden mekaar niet snijden, zoals de onderstaande roostervijfhoek.
Als i het aantal inwendige roosterpunten is van de roosterveelhoek en r het aantal roosterpunten op de rand ervan,
dan noemen we de uitdrukking i + r/2 - 1 het Pickgetal van die roosterveelhoek. In het bovenstaande voorbeeld hebben we: i = 39 en r = 14, zodat het Pickgetal gelijk is aan 39 + 7 - 1 = 45.
Volgens de stelling is dit precies de oppervlakte van die veelhoek.
In het tijdschrift Wiskunde en Onderwijs nr. 125 geeft de hoofdredacteur Daniël Tant een bewijs van deze merkwaardige stelling.
In bijlage zit het bewijs van collega Dion Gijswijt.
Logisch redeneren met 'peg solitaire' en 'sokoban'
PEG SOLITAIRE
Dit is een klassiek bordspel. In de Engelse versie liggen op dit bord 32 pionnen ('pegs', meestal knikkers) en in het midden is een vrije ruimte.
Wanneer je een pion kunt laten springen naar een vrije ruimte over een pion die er onmiddellijk naast ligt, mag je de pion waarover je wipt wegnemen van het bord.
Het is de bedoeling alle knikkers op één na van het bord weg te spelen en ervoor te zorgen dat de laatste knikker in het middenste vakje eindigt.
Een oplossing voor dit spel vind je in bijlage.
Op het internet staan verschillende leuke en uitdagende varianten van dit spel. Hieronder zie je zo een denkpuzzel.
Het is de bedoeling dat alle gele knikkers op één na worden verwijderd en dat de laatste knikker eindigt op de zwarte stip.
Je mag uiteraard slechts een knikker wegnemen wanneer je met een andere knikker, die er onmiddelijk naast ligt, naar een vrije plaats kunt wippen.
Het spel wordt er tegen de tijd gespeeld en de moeilijksgraad van de opgaven neemt geleidelijk aan toe.
SOKOBAN
Sokoban (倉庫番 Sōkoban, "magazijnwerker" in het Japans) is een puzzel waar de speler dozen door een doolhof moet verplaatsen, zodat deze op bepaalde doelen worden geplaatst.
Het is slechts mogelijk een enkele doos tegelijk te verplaatsen en de dozen kunnen niet getrokken worden.
Sokoban is in 1982 uitgevonden door Hiroyuki Imabayashi en het spel is toen uitgegeven door Thinking Rabbit, een softwarefirma uit Takarazuka, in Japan.
Hieronder zie je zo een opgave staan. De magazijnwerker moet dus achter een kist gaan staan om die vooruit te duwen.
Hij kan nooit meer dan één kist tegelijk vooruit duwen en de vier kisten moeten eindigen op de zwarte stippen.
= 
. Voor n = 233 vindt men dat er 4 243 629 blokken zouden nodig zijn.
Speel nu mijn favoriete dobbelspelletje online op 
www.t3vlaanderen.be
(1)
(2)
(parfois appelées spirales archimédiennes) : 
Duitstalige website : 
