Teksten kunnen blijven hangen als sluimerende vleermuizen wachtend op het juiste moment en fladderen dan plots weer op...
Poëzie brengt wiskundigen en niet-wiskundigen dichter(s).
Voor een dag van morgen
Wanneer ik morgen doodga vertel dan aan de bomen hoeveel ik van je hield.
Vertel het aan de wind, die in de bomen klimt of uit de takken valt, hoeveel ik van je hield.
Vertel het aan een kind, dat jong genoeg is om het te begrijpen.
Vertel het aan een dier, misschien alleen door het aan te kijken.
Vertel het aan de huizen van steen, vertel het aan de stad, hoe lief ik je had.
Maar zeg het aan geen mens. Ze zouden je niet geloven. Ze zouden het niet willen geloven dat alleen maar een man alleen maar een vrouw, dat een mens een mens zo liefhad als ik jou.
Hans Andreus
Poëzie
Zoals je tegen een ziek dochtertje zegt : mijn miniatuurmensje, mijn zelfgemaakt verdrietje, en het helpt niet; zoals je een hand op haar hete voorhoofdje legt, zo dun als sneeuw gaat liggen, en het helpt niet :
zo helpt poëzie.
Herman de Coninck
Verzet begint niet met grote woorden
Verzet begint niet met grote woorden maar met kleine daden
zoals storm met zacht geritsel in de tuin of de kat die de kolder in zijn kop krijgt
zoals brede rivieren met een kleine bron verscholen in het woud
zoals een vuurzee met dezelfde lucifer die een sigaret aansteekt
zoals liefde met een blik een aanraking iets dat je opvalt in een stem
jezelf een vraag stellen daarmee begint verzet
en dan die vraag aan een ander stellen
Remco Campert
De steen
Ik heb een steen verlegd in een rivier op aarde. Het water gaat er anders dan voorheen. De stroom van een rivier hou je niet tegen. Het water vindt er altijd een weg omheen.
Misschien eens, gevuld door sneeuw en regen, neemt de rivier mijn kiezel met zich mee, om hem dan glad en rond gesleten te laten rusten in de luwte van de zee
Ik heb een steen verlegd in een rivier op aarde. Nu weet ik dat ik nooit zal zijn vergeten. Ik leverde bewijs van mijn bestaan. Omdat door het verleggen van die ene steen de stroom nooit meer dezelfde weg zal gaan
Bram Vermeulen
Bram Vermeulen overleed heel onverwacht in de zomer van 2004 in Toscane aan een hartstilstand.
Kort voordien ontmoette ik hem nog in het West-Vlaamse Bellegem, waar hij samen met Wigbert Van Lierde het muzikaal programma 'Mannen Maken Oorlog' verzorgde.
De foto's in bijlage zijn de stille getuigen van deze vluchtige ontmoeting met een veelzijdige en 'Duvelse' rasartiest. Met dank aan DF-Bellegem.
Regelmatig brengen de organisatoren van de VWO (Vlaamse Wiskunde Olympiade) posters op de markt waarop één of ander wiskundig probleem wordt voorgesteld. Voor de editie 2000-2001 verscheen een opmerkelijke poster met een zonnebloem op. Hierbij werd de vraag gesteld waarom zonnebloempitten in het hart van de bloem 21 bochten vormen in de ene richting en 34 in de andere.
Over getallen in de natuur (met dank aan Stéphane Durand, Montreal)
Getallen in de natuur
Waarom hebben bloemen meestal 3, 5, 8, 13, 21, 34 of 55 bloemblaadjes? Enkele voorbeelden: de lelie heeft 3 bloemblaadjes, het boterbloempje 5, de cichorei heeft er 21, het madeliefje vaak 34 of 55, enz.... Als we daarenboven een zonnebloem bekijken, stellen we vast dat de zonnebloempitten twee reeksen bochten vertonen; de éne bochten in de ene richting, de andere in de andere richting. Hierbij is het aantal bochten in de twee richtingen verschillend. Meestal bedraagt het aantal bochten ofwel 21 en 34, ofwel 34 en 55, ofwel 55 en 89, ofwel 89 en 144. Hoe komt dit? Hetzelfde geldt voor denne-appels: waarom vertonen die ofwel 8 spiralen in de ene richting en 13 in de andere ofwel 5 spiralen in de ene richting en 8 in de andere? En tenslotte, waarom heeft een ananas ook 8 diagonalen in de ene richting en 13 in de andere?
Zijn deze getallen puur toeval? Nee! Al deze getallen komen voor in de rij van Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
In deze rij is vanaf het derde getal elke term de som van de vorige twee getallen. Het belang van deze getallen in de natuur was reeds lang opgemerkt, maar pas recent kon aangetoond worden waarom precies deze getallen verschijnen. Dit heeft te maken met efficiëntie gedurende het groeiproces van planten (zie verder).
De verklaring is verbonden met een ander beroemd getal, de gulden snede, dat zelf in verband staat met de spiraalvorm van bepaalde soorten schelpen. Het is wel zo dat bij de zonnebloem, de ananas en de denne-appel de overeenkomst met de Fibonaccigetallen heel exact is, terwijl het bij de bloemblaadjes eerder om een gemiddelde gaat .
De doeltreffendheid van de gulden snede
De hiernavolgende uitleg is heel beknopt. Voor een meer gedetailleerde uitleg verwijzen we naar de website in de referentie.
In veel gevallen is het hart van een bloem opgebouwd uit kleine zaadjes die geproduceerd worden in het midden en die dan naar de rand migreren om uiteindelijk de volledige ruimte op te vullen (zoals bij een zonnebloem, maar op veel kleinere schaal). Elk nieuw zaadje verschijnt onder een bepaalde hoek in vergelijking met het vorige zaadje. Figuur 1 toont bijvoorbeeld het resultaat na verschillende generaties bij een hoek van 90 graden (een kwartdraai).
Uiteraard is dit niet de meest efficiënte manier om de ruimte te vullen. Als de hoek tussen de opeenvolgende zaadjes een deel van een volledige draai is dat overeenstemt met een breuk, 1/3, 1/4, 3/4, 2/5, 3/7, enz..., dan verkijg je altijd een reeks rechte lijnen. Als je dit rechtlijnig patroon wil vermijden, moet je een gedeelte van een volledige draai kiezen dat bepaald is door een irrationaal getal is. Als dit irrationaal getal goed benaderd wordt door een breuk, krijg je een reeks gebogen lijnen (spiraalvormen) die de ruimte niet perfect opvullen.
Om de ruimte optimaal te vullen is het nodig om het "meest irrationaal" getal te kiezen, d.w.z. het getal dat het minst goed wordt benaderd door een breuk. Zo een getal is de gulden snede. De overeenstemmende hoek, de gulden hoek, bedraagt 137,5 graden. (Deze hoek verkrijg je door het niet-geheel deel van de gulden snede te vermenigvuldigen met 360 graden en, omdat je een hoek van meer dan 180 graden verkrijgt, daarvan het complement te nemen). Door gebruik te maken van deze hoek wordt de ruimte optimaal gevuld, d.w.z. dat de afstand tussen alle zaadjes dezelfde is (figuur 3).
Deze hoek moet heel precies gekozen worden: een afwijking van 1/10 graad vernietigt volledig de optimale opvulling van de ruimte. (In figuur 2 bedraagt de hoek 137,6 graden!). Enkel en alleen als de hoek exact de gulden hoek is, zijn er twee reeksen spiralen zichtbaar (één in elke richting): hun aantal stemt overeen met de teller en de noemer van één van de breuken die de gulden snede benaderen: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 enz...
Deze getallen zijn precies de getallen uit de rij van Fibonacci (hoe groter de getallen, hoe beter de benadering) en de keuze van de breuk hangt af van de tijdsspanne tussen het verschijnen van de zaadjes in het midden van de bloem.
Dit is de verklaring waarom het aantal bochten in het hart van een zonnebloem, en meer in het algemeen in het hart van bloemen, overeenstemt met een Fibonaccigetal. Bovendien worden de bloemblaadjes gevormd op het uiteinde van één van de reeksen spiralen, waardoor ook het aantal bloemblaadjes, gemiddeld gezien, overeenstemt met een Fibonacci-getal. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- In hetzelfde jaar verscheen trouwens nog een tweede poster die een verband aangeeft tussen de gulden snede en een huisjesslak.
In bijlage vind je twee mooie teksten over de rij van Fibonacci. De eerste tekst is van de hand van ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder en werd door collega's Paul Decuypere en Dominiek Ramboer voorgesteld op de Dag van de Wiskunde van 20 november 2004 in Kortrijk. De tweede tekst is een creatie van de medewerkers van het 'Scholennetwerk' van de Universiteit Hasselt: http://www.scholennetwerk.be/
1. Neem een langwerpig rechthoekig stuk papier ABCD.
2. Geef de rechthoek halfweg een draai over 180°.
3. Plak de uiteinden aan elkaar zodat het punt A samenvalt met D en B met C.
Je bekomt op die manier een Möbiusband, genoemd naar August Ferdinand Möbius, een Duitse wiskundige en astronoom uit de 19de eeuw, die een pionier was op het gebied van de topologie. Hiermee veroorzaakte hij, samen met zijn illustere tijdsgenoten Riemann, Lobachevsky and Bolyai, een revolutie in de niet-euclidische meetkunde.
Een merkwaardig feit aan een Möbiusband is dat hij maar één kant en één rand heeft. Je kunt dus niet spreken over een boven- of onderkant of een linker- of rechterrand. Om dit aan te tonen volstaat het in het midden van de band een doorlopende lijn te trekken tot je terug op het beginpunt komt. Probeer dan ook eens de band langs deze lijn in twee gelijke stukken te knippen. Kan je voorspellen wat er gebeurt? En wat stel je vast als je een Möbiusband in drie gelijke repen probeert te knippen?
In de Möbiusband vonden kunstenaars zoals M. C. Escher en Max Bill inspiratie voor hun kunstwerken. Op de voorpagina van het boek ' Wis- en natuurlyriek, met chemisch supplement' van Drs. P. en Marjolein Kool staat de beroemde Möbiusband met rode mieren van Escher afgebeeld. Dit boekje is een absolute aanrader voor alle wiskundigen die houden van 'luchtige poëzie met een positief wetenschappelijke inslag' (ISBN 978 90 388 9086 9 - uitgeverij Nijgh & Van Ditmar, Amsterdam 2008).
We vonden hierin een stimulans om zelf een 'wisgedicht' uit ons toetsenbord te laten rollen.
In de ban(d) van Möbius
De ontwerper van de Möbiusband zocht tevergeefs hiervan de onderkant. Het liep ook aardig uit de hand met de linker- en de rechterrand.
Hij nam dan maar een potlood fijn en tekende halfweegs de band een lijn; geen volle, maar een lijn met stippen bedoeld om hem in twee te knippen.
Ook hiervan kreeg de man vlug spijt: hij raakte zijn oriëntatie kwijt. Uiteindelijk ten einde raad besloot hij toen plots heel kordaat:
" Slechts één ding kan me nu nog lukken: het verknippen in drie gelijke stukken." Tot verbazing van de snelle beslisser liep ook dit uit op een sisser.
De moraal hiervan kan zijn: een Möbiusband brengt hersenpijn. Neem liever dagelijks een slokje wijn uit een frisse fles van Klein.
dr. Luc Gheysens 7 juni 2009
De fles van Klein is het driedimensionale 'equivalent' van de Möbiusband. Het is een niet-oriënteerbaar lichaam dat geen binnen- of buitenkant heeft. Deze fles is genoemd naar de Duitse professor Felix Klein (1849-1925).
In de fysica duiken heel wat kwadratische verbanden (en parabolen) op.
Voor een eenvoudig en verrassend experiment dat een parabool oplevert heb je enkel een meetlat, enkele muntjes van 10 eurocent en een vlakke bodem nodig.
Neem een meetlat van 30 cm en leg muntstukjes van 10 eurocent op regelmatige afstanden langs de lat, bijvoorbeeld telkens op 4 cm van elkaar.
Hou één uiteinde van de lat goed vast en geef de muntstukken met het andere uiteinde een tik door het te laten zwaaien (figuur links).
De muntstukken liggen nu volgens een bepaald patroon.
Deze muntencurve blijkt een parabool te zijn (figuur rechts).
Referentie: W. Peeters, Fysica is cool: experimenteerkit, Universiteit Antwerpen.
Info over de experimenteerkoffer en de proeven die je ermee kunt uitvoeren vind je op
Een onderwerp dat zowel in de fysicales als in de wiskundeles een plaatsje
verdient, is de studie van de baan van een voorwerp
dat met een zekere beginsnelheid en onder een bepaalde hoek met de horizontale
richting wordt weggeworpen.
Dit staat bekend als de schuine worp.
Enkele zinvolle vragen in dit verband zijn:
1Welke baan volgt het projectiel?
2Wat is de maximale hoogte die het projectiel bereikt en op welk tijdstip gebeurt dit?
3Waar belandt het projectiel op de grond? Na hoeveel tijd is dit en met welke snelheid?
Als we de luchtweerstand verwaarlozen, dan is het niet zo moeilijk
om aan te tonen dat het projectiel een parabolische baan volgt.
De uitwerking hiervan en het antwoord op de andere vragen vind je
in bijlage.
Op de website van Walter Fendt staat een Java
Applet waarmee je de schuine worp kunt simuleren.
Deze website die in het Nederlands is bewerkt door Teun Koops en Henk Russeler,
biedt je nog een groot aantal andere applets voor fysica, wiskunde en
astronomie.
Het onderstaande lijstje geeft een overzicht van
de beschikbare applets voor mechanica.
Het verband met de wiskunde is nooit ver te zoeken!
Via zijn speciale relativiteitstheorie ontketende Albert Einstein in 1905 een revolutie in de fysica.
Zijn formule E = mc² drukt immers de equivalentie uit tussen massa en energie, m.a.w. heel kleine deeltjes dragen een enorme energie in zich.
In feite begon hiermee ook het atoomtijdperk.
De powerpointpresentatie in bijlage bevat een reeks zeldzame foto's van Einstein.
De eerste reeks is voorzien van een Engelstalige tekst en het bij het tweede deel staat een Duitstalige uitleg.
In bijlage zit ook een origineel geluidsfragment met de stem van Einstein, waarin hij het principe van de equivalentie van massa en energie uitlegt.
Hij verwijst hierbij naar het experiment van John Cockcroft en Ernest Walton, die er in 1932 voor de allereerste keer in slaagden een lithiumatoom te splitsen
en via metingen van de vrijgekomen energie de formule E = mc² bevestigden.
Op het onderstaande filmpje kan je zien hoe Einstein zelf de beroemde formule E = mc² toelicht.
En hier kan je nog genieten van een fotoreeks over het leven van Einstein, geïllustreerd met zijn meest beroemde uitspraken.
Voor graphmatica, een gratis computerprogramma dat bijzonder geschikt is voor de functieleer, vind je een 'startershandleiding' in bijlage (met dank aan collega Philip Bogaert).
Voor het programma GeoGebra dat zowel voor meetkunde als analyse functioneel
kan gebruikt worden,
vind je in bijlage een praktische handleiding voor de eerste en de tweede graad
(met dank aan collega Roger Van Nieuwenhuyze).
Onderaan die webpagina plaatste collega Pedro Tytgat een handleiding voor de derde graad.
***************************************************************************************************************************************************** En dan is er nog http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi .
Op deze website, vind je
Lesmateriaal en verwijzingen naar diverse onderwerpen.
In 1609 - precies 400 jaar geleden - maakte Galileo Galilei voor het eerst gebruik van een telescoop om het heelal te observeren.
Om dit te herdenken heeft men 2009 uitgeroepen tot het Internationaal Jaar van de Sterrenkunde.
In tegenstelling tot wat velen denken is niet de poolster de helderste ster aan de nachtelijke hemel,
maar wel Sirius A, die samen met het zwakke sterretje Sirius B een dubbelster vormt.
De dubbelster Sirius, bestaande uit een heldere ster (Sirius A) en een zwakke begeleider (Sirius B).
De schijnbare helderheid I van een ster (zoals wij ze vanop aarde ervaren) hangt hoofdzakelijk af van de hoeveelheid energie die ze uitstraalt en van de afstand. De werkelijke helderheid wordt aangeduid door de magnitude m. Het verband tussen I en m wordt bepaald door de sensatiewet van Fechner: wanneer de prikkels een meetkundige rij vormen, zullen de senasties een rekenkundige rij vormen. Dit betekent dat de sensatie evenredig is met de logaritme van de prikkel.
Deze wet werd in 1850 door Pogson toegepast om een magnitudeschaal op te stellen voor waargenomen sterren en zo kwam hij tot de volgende formule:
m1 - m2 = 2,5 . log(I2 / I1)
Hierbij is
m1 =
magnitude van de eerste ster
m2 =
magnitude van de tweede ster
I1 =
schijnbare helderheid van de eerste ster
I2 =
schijnbare helderheid van de tweede ster.
Het Hertzsprung-Russell Diagram (vaak kortweg HRD genoemd) is
onafhankelijk van elkaar ontworpen
door de Deense sterren kundige Ejnar Hertzsprung (1873-1967) en zijn
Amerikaanse collega Henry N. Russell (1877-1957).
Het HRD ontstaat wanneer men van een groot aantal sterren de lichtkracht
(dus de absolute magnitude) uitzet
tegen hun oppervlaktetemperatuur of het spectraaltype.
De meeste sterren komen in dit diagram voor in een langgerekte strook die we de
hoofdreeks noemen.
Merk op dat men zowel op de horizontale als op de verticale as werkt met een
logaritimische schaalaanduiding.
Voor wie hierover meer wil te weten komen verwijzen we naar de boeiende
werktekst (in bijlage) van Frank Tamsin,
hoofdredacteur van het tijdschrift Heelal en medewerker van de
West-Vlaamse Volkssterrenwacht Beisbroek (http://www.cozmix.be/).
Voor wie ooit in de omgeving van Brugge voorbijkomt: deze Volksterrenwacht
bezit een uniek planetarium en een planetenpad.
Beslist een ommetje waard!
De driehoek van Pascal (1623-1662) was zeker al veel vroeger gekend door de
Chinese wiskundigen.
Het was echter de verdienste van Blaise Pascal om de eigenschappen van de
getallen uit deze driehoek
(de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten) te bestuderen en ze in verband te
brengen met de kansrekening.
Je komt hier ongetwijfeld tot enkele verrassende ontdekkingen.
Zo blijken de getallen uit de rij van Fibonacci op een vrij natuurlijke manier te voorschijn te komen door 'diagonaalsgewijs' getallen uit de driehoek van Pascal bij elkaar op te tellen:
Je kan dit ook nalezen in 'De telduivel' van Hans Magnus Enzensberger, een hoofdkussenboek voor iedereen die bang is voor wiskunde.
Voor een wiskundige is het een boeiende uitdaging om dit verband ook te bewijzen!
Hiervoor kan je terecht in de bijlage, een fraaie werktekst van collega
Pedro Tytgat,
medewerker aan het vermaarde Vlaamse wiskundetijdschrift Uitwiskeling (http://www.uitwiskeling.be/).
De rechte van Euler en het leerplan eerste graad A-stroom
Vanaf september 2009 werkt men in het eerste jaar van de
eerste graad A-stroom met een nieuw leerplan wiskunde.
Vanaf september 2010 komt het ook in voege in het
tweede jaar.
Een belangrijk aandachtspunt in het nieuwe leerplan is het probleemoplossend denken.
Het aanbieden van 'het probleem van de week' kan
een attractieve manier zijn om de leerlingen hun wiskundekennis te laten
toepassen.
De uitgeverijen van wiskundehandboeken schenken hieraan
zeker voldoende aandacht
en ook de vragen van de Kangoeroewedstrijd
komen hiervoor in aanmerking.
Je vindt de vragen van de Wallabie-editie 2009 voor de
eerste graad in bijlage.
Meer informatie tref je aan op www.wiskundekangoeroe.be,
waar je ook oefenopgaven vindt van de voorbije edities.
De leerplancommissie stelde een nuttig document beschikbaar met een overzicht
van de parate kennis en vaardigheden in
de 1ste graad.
Je vindt het in wordformaat in bijlage.
Een ander aandachtspunt in het nieuwe leerplan is het functioneel ICT-gebruik.
Met het dynamisch meetkundeprogramma GeoGebra is er heel wat mogelijk.
De constructie van de rechte van Euler in een willekeurige driehoek (zie onderstaande
figuur)
is wellicht de meest uitdagende oefening voor een leerling
van de eerste graad.
Als je deze GeoGebra-figuur zelf tekent, kan je de hoekpunten van driehoek ABC verslepen
en vaststellen dat het hoogtepunt H, het middelpunt van de omgeschreven cirkel O en het zwaartepunt Z
steeds op één rechte liggen (de rechte van Euler) en dat |HZ| = 2|ZO|.
Zelf maakte ik deze constructie voor het eerst in 1966 onder de hoede
van mijn gedreven wiskundeleraar Frans Vandendriessche in het toenmalige Sint-Jozefinstituut in Kortrijk.
Frans gaf er meer dan 40 jaar les en leerde generaties studenten rekenen met gehele getallen, met rationale getallen en met lettervormen.
Hij leerde ze op een systematische manier vergelijkingen en vraagstukjes met één onbekende oplossen.
Hij leerde ook aan hoe men met passer en liniaal nauwkeurige meetkundige constructies kan maken
en hoe men een meetkundige stelling bewijst.
In mijn verdere carrière zou ik dan ook verschillende bewijzen voor deze enig mooie stelling van Euler optekenen.
In bijlage vind je twee eenvoudige bewijzen voor deze enig mooie stelling.
Het eerste maakt gebruik van een homothetie en het tweede
steunt op vectorrekenen.
Ik had het geluk jarenlang met Marnix te kunnen samenwerken. Over informatica (programmeren in Turbopascal), differentiaal- en integraalrekenen en vooral de analytische meetkunde in de derde graad hebben we vaak ideeën en ervaringen uitgewisseld. Het was - achteraf bekeken - een korte reis door een vreemd land ...
************************************************************************************************* In het zesde jaar konden we met volle teugen genieten van de projectieve, affiene en euclidische meetkunde.
De stelling van Pascal over een zeshoek die ingeschreven is in een kegelsnede was één van onze favorieten. I In bijlage vind je een eenvoudig (projectief) bewijs en een GeoGebra-bestand ter illustratie.
Het past hier ook een hommage te brengen aan de wiskunstenaar die ongetwijfeld indruk heeft gemaakt op hele generaties studenten.
Broeder Stanislas (Frans Drijkoningen) Broeder van de Christelijke Scholen 1907-1987 ******************************************************************* In het schooljaar 1971-1972 volgende ik bij hem in het Sint-Amandusinstituut in Gent het voorbereidend jaar wiskunde.
Collega's getuigen over hem: "Br. Stanislas was een geleerd en toch zeer eenvoudig mens. Vele jaren heeft hij met een ongekende toewijding en kennis van zaken de mathematica onderwezen aan de studenden en hen zo voorbereid op de studies in het hoger onderwijs en vooral voor burgerlijk ingenieur.
Altijd stond hij open voor vernieuwing. Eind de jaren '60 verdiepte hij zich ijverig in de moderne wiskunde. Hierover was hij maar matig enthousiast. Begin de jaren '70 waagde hij zich aan het programmeren op de eerste WANG-computers, 'die stomme toestellen waaraan je alles moest uitleggen'. De analytische meetkunde is echter altijd zijn stokpaardje gebleven. Het boek dat hij hierover samen met C. De Cock schreef en dat werd uitgegeven door De Procure, was een standaardwerk.
Hij was een man van toewijding en gebed. Zijn werkkamer was zijn heiligdom."
****************************************************************************** Het bepalen van meetkundige plaatsen en de studie van vlakke algebraïsche krommen waren het favoriete onderwerp van Br. Stanislas. Begin de jaren '70 slaagde hij er reeds in de meeste krommen met de computer te tekenen.
Overzicht van de vlakke (algebraïsche) krommen: (klik op de naam voor meer informatie)
die hij gebruikte voor de leerlingen van het derde jaar.
Hij had ze met heel veel toewijding bijeengesprokkeld.
Ze weerspiegelen zijn vakbekwaamheid
zijn visie op het vak wiskunde,
en zijn bemoedigende aanpak.
L.G.
oktober 2003
************************************************************************************* Het belang van het persoonlijk werk van de leerling en van de huistaken was één van de stokpaardjes van Paul. Hij testte regelmatig de parate kennis en zorgde voor voldoende differentiatie en bemoediging. Steeds had hij een reeks kleine uitdagende vraagjes bij zich om de 'last minutes' van een les op een zinvolle manier in te vullen. En ... wiskunde mocht ook eens leuk zijn.
De 10 opdrachten in bijlage zijn slechts een selectie uit het gehele oefenpakket.
De grafische rekenmachine biedt heel praktische mogelijkheden via het gebruik van (eenvoudige) programmas.
Elk programma bestaat in feite uit drie delen:
INPUT: gegevens intypen;
PROCESSING: berekeningen die door het rekentoestel uitgevoerd worden;
OUTPUT: afdrukken van resultaten op het scherm.
In een programma kunnen verschillende 'controlestructuren' voorkomen: - de sequentie of opeenvolging; - de selectie of keuzestructuur (IF ... THEN ... ELSE ...) - de bepaalde herhaling (FOR ...) - de onbepaalde herling met beginvoorwaarde (WHILE ...) of eindvoorwaarde (REPEAT ...).
In de tekst in bijlage staan 10 eenvoudige programma's: 1. Schuine zijde berekenen van een rechthoekige driehoek 2. n-de term en n-de partieelsom bepalen bij een rekenkundige rij 3. Oplossen van een vierkantsvergelijking in IR 4. Kwadraten en derdemachten in lijsten 5. Bereken van jouw BMI (Body Mass Index) 6. Oplossen van een willekeurige driehoek (geval ZZZ) 7. Een getal verdubbelen tot boven 1000 8. De euclidische deling 9. Grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 10. Een gokspelletje
Typ de programmas in op jouw grafische rekenmachine en probeer de logica in de opeenvolgende stappen te snappen.
Via de werkopdracht in bijlage kan je heel wat leren over hoe men in de voorbije eeuwen getallen noteerde en hoe men hiermee probeerde op een systematische manier te rekenen.
Volgende onderwerpen komen aan bod: - het Ishangobeentje - het vigesimaal talstelsel bij de Maya's - het hexagesimaal talstelsel bij de Babyloniërs en de Sumeriërs - de hiëroglyfennotatie bij de Egyptenaren - de acrofonische getallen bij de Oude Grieken - de Romeinse cijfers en chronogrammen - het binair talstelsel - rekenen met een abacus - een Arabisch rekenschema - het verband tussen googol en Google.
De vedische wiskunde (wat?) leert je om op een eenvoudige manier getallen te kwadrateren Bekijk hiervoor het volgende filmpje.
Enkele tijd geleden circuleerde een leuke illusie met speelkaarten op het internet. Aan de speler wordt gevraagd om een speelkaart in gedachten te nemen.
De computer beweert dan dat hij deze kaart kan raden ... Je vindt een versie hiervan op diverse websites, bv. op http://www.ecardtricks.com/mr1.htm
In bijlage vind je een powerpointpresentatie met een voorstelling van deze illusie door David Copperfield. De voorstelling loopt vanzelf. Je hoeft dus niet te klikken voor de volgende dia.
Dit was de eerste wiskundepuzzel die ik als kind (in het eerste leerjaar) in handen kreeg en kon oplossen . Deze puzzel was een uitdaging door zijn eenvoud. Wereldwijd zijn honderden versies ervan opgedoken.
Het was heel lang onduidelijk wie de eerste schuifpuzzel heeft uitgevonden of gemaakt. Wel leek lange tijd vast te staan dat in 1878 Sam Loyd, Amerika's grootste puzzel-expert, de "hele wereld gek maakte" met zijn "nieuw ontdekte" 14-15-puzzel. Dit was een variant op de "Puzzel van 15" die al minstens 8 jaar eerder werd gemaakt en verkocht door de Embossing Company uit New York. Die bestond uit 15 genummerde vierkante blokjes die men in een vierkant raam dat groot genoeg was voor 16 blokjes heen en weer kon schuiven.
Het was niet zo verbazingwekkend dat de hele wereld "gek" werd gemaakt door Sam Loyd's variant op de puzzel van 15. Het probleem dat hij stelde was namelijk onmogelijk op te lossen. Wanneer men deze 14-15 puzzel kocht, bevond het lege vakje zich rechts onderaan, en de blokjes waren in volgorde genummerd van links naar rechts en van boven naar beneden. Alleen de 14 en de 15 waren verwisseld. Men moest de puzzel helemaal op volgorde zien te krijgen, en de lege plaats moest rechtsonder blijven. Voor de oplossing werd een prijs van 1000 dollar uitgeloofd, maar die werd nooit opgeëist. Een schuifpuzzel is namelijk alleen oplosbaar als het aantal verwisselingen dat nodig is om de puzzel kloppend te maken even is. De 14-15 puzzel genoot een wereldwijde belangstelling die alleen te vergelijken is met de Kubus van Rubik die de wereld 100 jaar later overspoelde.
Citaat uit Cyclopedia of Puzzles van Sam Loyd:
"De oudere inwoners van Puzzelland zullen zich herinneren hoe ik in het begin van de jaren 70 de hele wereld gek heb gemaakt met een klein doosje met bewegende blokjes, dat later bekend werd onder de naam "14-15-puzzel". De vijftien blokjes lagen in hun normale volgorde geordend in het doosje, alleen de 14 en 15 waren verwisseld, zoals u in de figuur hiernaast kunt zien. De puzzel bestond eruit dat de blokjes een voor een verplaatst moesten worden om ze uiteindelijk weer allemaal in hun oorspronkelijke positie te brengen behalve dan dat de "fout" bij de 14 en 15 ongedaan gemaakt moest zijn. De prijs van $ 1000, die was uitgeloofd voor de eerste correcte oplossing voor dit probleem is nooit opgeëist."
In 2006 hebben Jerry Slocum en Dic Sonneveld een boek gepubliceerd met als titel The 15 Puzzle. Hierin lezen we o.a.: "Sam Loyd heeft de 15 puzzel niet uitgevonden en heeft ook niets te maken met het populariseren van deze puzzel. De puzzelgekte die ontstond rond de 15-puzzel begon in januari 1880 in Amerika en in april in Europa. De gekte eindigde in juli 1880 en Sam Loyds eerste artikel over de 15-puzzel werd pas 16 jaar later gepubliceerd, nl. in januari 1896. Loyd beweerde voor het eerst in 1891 dat hij de puzzel had uitgevonden en hij hield deze leugen vol tot aan zijn dood 20 jaar later. De echte uitvinder was Noyes Chapman, een postbeambte uit New York, die al een patent aanvroeg in maart 1880."
De eerste tekst is van de hand van ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder en werd door collega's Paul Decuypere en Dominiek Ramboer voorgesteld op de Dag van de Wiskunde van 20 november 2004 in Kortrijk. 
