Bepaal twee getallen x en y (verschillend van nul) waarvan de som, het product en het verschil van de kwadraten dezelfde uitkomst oplevert.
UITVINDING 29
Blijkbaar waren de winters rond 1850 in Amerika nog vrij streng. Daarom bedacht men deze ijsfiets die op drie schaatsen rustte. Men de rechterhand kon men de schaats vooraan bedienen om de richting aan te geven. Met de linkerhand kon men het fietswiel wat optillen of neerlaten om zo het contact met het ijs te verlagen of te verhogen waarmee dan weer de snelheid kon geregeld worden.
Op het einde van een kwisprogramma wordt een speler geconfronteerd met drie gesloten deuren. Achter één van de deuren staat een auto en achter de andere twee een geit. De speler mag een deur aanwijzen en krijgt als prijs datgene wat zich achter die deur bevindt. Als hij een deur heeft aangewezen, opent de kwismaster een van de andere deuren en het blijkt dat daarachter een geit staat. De kwismaster geeft de speler daarna de mogelijkheid om te wisselen van gesloten deur, dus om in plaats van de eerst gekozen deur te kiezen voor de andere nog gesloten deur.
Wat moet hij doen? Kan hij beter wisselen van deur, of maakt het niets uit? Is de kans op het winnen van de auto groter als hij van deur wisselt?
Intuïtief verwacht men wellicht dat het geen verschil uitmaakt of men wisselt van deur of niet omdat de auto achter één van de twee ongeopende deuren staat. Men kan dus aannemen dat de kans dat de auto achter de gekozen deur staat gelijk is aan 1 op 2.
Nochtans blijkt het gunstig te zijn voor de speler om wel te wisselen! Weet je ook waarom?
Hieronder zie je een schematische verklaring waaruit blijkt dat in 2 van de 3 gevallen het wisselen gunstig is.
Lees ook de bijlage.
Je kunt dit probleem dat bekend staat als het Monty Hall probleem online spelen op http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html. Monty Hall was de presentator van het populaire Amerikaanse spelprogramma Let's Make a Deal dat vanaf 1963 in Amerika werd uitgezonden en waarin dit spelletje werd gespeeld.
Hieronder staat het gekende magisch vierkant (Lo Shu) afgebeeld waarbij de som van de 3 getallen op elke horizontale rij, in elke verticale kolom en op de twee diagonalen gelijk is aan 15.
Stel nu dat je over drie dobbelstenen zou beschikken waarop de drie getallen uit elke rij telkens twee keer voorkomen: een rode dobbelsteen met 4 - 9 - 2 - 4 - 9 -2 een blauwe dobbelsteen met 3 - 5 - 7 - 3 - 5 - 7 en een groene dobbelsteen met 8 - 1 - 6 - 8 - 1 - 6
Hiermee wordt een spelletje gespeeld door twee spelers. Elke speler kiest een dobbelsteen en daarna gooit elke speler de gekozen dobbelsteen 27 keer. De speler die bij een worp het hoogste getal gooit, scoort een punt. Wie na 27 worpen het hoogste aantal punten behaalt, wint het spel.
Nu blijkt hiermee iets eigenaardigs aan de hand te zijn: blauw wint (gemiddeld) 5 keer op 9 van rood, groene wint (gemiddeld) 5 keer op 9 van blauw en rood wint (gemiddeld) 5 keer op 9 van groen.
In zijn werk METRICA beschrijft Heron een eenvoudig algoritme om de vierkantswortel uit een positief geheel getal n te benaderen via een rij getallen. In feite was zijn aanpak typisch 'Grieks', d.w.z. meetkundig: een vierkant met zijde x bepalen met dezelfde oppervlakte als een rechthoek met oppervlakte n.
Uitleg over het algoritme vind je in de bijlage.
Racine carrée (vierkantswortel) is de titel van het tweede album van Stromae (een anagram van Maestro) en in verband met de titel zegt Stromae: "J'ai l'impression que je fais de la musique comme si je faisais des maths."
De paradox van Simpson is genoemd naar de statisticus E. H. Simpson, die in 1951 hierover een artikel publiceerde.
De paradox bestaat erin dat een effect dat wordt vastgesteld in verschillende delen van een bepaalde studie, verloren gaat (en zelfs het tegenovergestelde effect oplevert) wanneer men de onderdelen van die studie samenlegt.
We illustreren dit aan de hand van een concreet voorbeeld. In verschillende bokalen zitten een aantal rode en groene ballen. Men 'wint' als men een groene bal trekt.
Eerst moet de persoon die een bal trekt, kiezen tussen bokaal 1 en bokaal 2. De kans op een groene bal is bij bokaal 1 gelijk aan 1 op 4 en bij bokaal 2 is dat 3 op 10. Bokaal 2 kiezen is dus gunstiger dan bokaal 1 (1/4 < 3/10)
Daarna moet de persoon kiezen tussen bokaal 3 en bokaal 4. De kans op een groene bal is bij bokaal 3 gelijk aan 6 op 10 en bij bokaal 4 is dat 3 op 4. Bokaal 4 kiezen is dus gunstiger dan bokaal 3 (6/10 < 3/4).
Wanneer men echter de ballen uit de bokalen 1 en 3 samenvoegt in bokaal 5 en de ballen uit bokaal 2 en 4 in bokaal 6, dan blijkt bokaal 5 een betere keuze te zijn dan bokaal 6 want 7/14 > 6/14 !
In een publicatie met als titel 'Calcul des probabilités' (1889) vermeldt de Franse wiskundige Joseph Bertrand een leuke doosparadox.
Je beschikt over drie doosjes. In het eerste zitten twee gouden munten, in het tweede een gouden en een zilveren munt en in het derde twee zilveren munten. De doosjes worden in een willekeurige volgorde neergezet. Je kiest een doosje uit en haalt hieruit zonder kijken één van de twee munten. Het blijkt een gouden munt te zijn. Hoe groot is de kans dan de andere munt is dat doosje ook een gouden munt is?
Intuïtief verwacht men wellicht een kans van 1 op 2 omdat de tweede munt in het gekozen doosje enkel een gouden of een zilveren munt kan zijn.
De paradox van Achilles en de schildpad wordt toegeschreven aan Zeno van Elea (± 450 v. Chr.)
De paradox luidt als volgt:
Stel dat de schildpad 1 000 meter voorsprong heeft op Achilles en dat Achilles 10 keer sneller loopt dan de schildpad (zo'n snelle schildpad of zo'n trage loper kom je echt niet vaak tegen!). Wanneer Achilles 1 000 meter heeft afgelegd, is de schildpad 100 meter voorop geraakt. Wanneer Achilles dan die 100 meter heeft afgelegd, is de schildpad weer 10 meter voorop geraakt. Achilles legt dan die 10 meter af; maar inmiddels is de schildpad weer 1 meter voorop geraakt. Enzovoort ... En dus zal Achilles blijkbaar de schildpad nooit inhalen.
In feite probeerde Zeno ons te misleiden met de redenering dat wanneer men oneindig lang positieve getallen bij elkaar optelt, de som uiteindelijk ook oneindig groot wordt.
Er zijn verschillende manieren om deze paradox te verklaren en om in te zien dat Achilles de schildpad inhaalt na 1 111, 111 ... meter (zie bijlage).
Wiskundigen drukken dit graag in breukvorm uit: een afstand van 10 000/9 meter, terwijl natuurkundigen en ingenieurs liever met kommagetallen werken. Maar dan zitten die wel met het probleem dat in 1 111,111... het aantal cijfers na de komma oneindig lang doorloopt, waarmee je weer met de paradoxale indruk blijft zitten dat Achilles de schildpad toch nooit zal inhalen!
Als men de rode en de blauwe driehoek op het bovenste rooster plaatst ontstaat er binnen de grote rechthoekige driehoek een groene rechthoek van 3 x 5 vakjes. Wanneer men echter die twee driehoeken van plaats wisselt, ontstaat er blijkbaar binnen de grote rechthoekige driehoek een groene rechthoek van 2 x 8 vakjes.
Is 15 = 16?
Het is een leuke oefening om te verklaren waar de fout zit!
Bekijk even aandachtig het onderstaande filmpje met de meest gekende versie van de zogenaamde paradox van Curry.
Blijkbaar kan men met de vier puzzelstukjes op twee verschillende manieren een welbepaalde driehoek vormen en telt de driehoek op de bovenste figuur één vakje minder.
Maar kan je ook verklaren wat er hier aan de hand is?
In wiskundige kringen zijn spookgetallen getallen die wellicht niet bestaan, maar waarvan men niet met zekerheid heeft kunnen bewijzen dat ze niet bestaan.
Bestaat er een oneven volmaakt getal? Een volmaakt getal is een natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, het getal zelf niet meegerekend. Zo is 6 = 1 + 2 + 3 het kleinste volmaakt getal en 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 is het volgende.
Bestaat er een oneven natuurlijk getal dat niet te schrijven is als de som van twee priemgetallen? Dit heeft te maken met het beroemde vermoeden van Goldbach.
Bestaat er een Mersenne-priemgetal dat groter is dan 257885161 1? Dit getal is momenteel het grootste priemgetal. De Franse monnik Mersenne dacht al dat er oneindig veel priemgetallen bestaan van de vorm 2n 1.
De getallen 1, 3, 8 en 120 vormen een merkwaardig viertal want het product van elk paar van deze getallen vermeerderd met 1 is telkens een kwadraatgetal: (1 x 3) + 1 = 2² (1 x 8) + 1 = 3² (1 x 120) + 1 = 11² (3 x 8) + 1 = 5² (3 x 120) + 1 = 19² (8 x 120) + 1 = 31². Bestaat er ook zo'n vijftal? Naar die spoken hoef je blijkbaar niet meer te zoeken. Lees meer hierover op http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_quintuple .
Over de andere spookgetallen zit er een bevattelijk artikel in bijlage.
Bij uitgeverij Die Keure publiceerde ik een boekje met de titel TWEE PLUS TWEE IS VIJF (ISBN9789086616497) met een verzameling leuke vondsten over getallen en 500 citaten waarin cijfers en getallen voorkomen.
In het boekje wordt o.a. het volgende probleem gesteld. Kan je een breuk vormen waarin de cijfers van 1 tot en met 9 één keer voorkomen en zodat de breuk gelijk is aan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9?
Enkele voorbeelden:
Blijkbaar zijn er in totaal 89 oplossingen voor dit probleem. Je vindt die in de bijlage. Met dank aan collega Peter Vandewiele en leerlingen van het Sint-Lodewijkscollege te Brugge.
Een wiskundeleraar kent vijf manieren om verstandig te leven: zwijgen, luisteren, ouder worden en verkeerd rekenen. L.G.
Omstreeks 1872 bracht de firma Remington die toen de grootste Amerikaanse wapenfabrikant was een mechanische schrijfmachine op de markt. Voor al wie teksten moest drukken was dit meteen een revolutionaire uitvinding. Per week werden er 1000 typmachines geproduceerd tegen een toenmalige prijs van 100 dollars of 525 Franse frank. Het artikel vermeldt dat 3 of 4 uur oefening per week volstond om op korte termijn even vlug artikels te schrijven met de typmachine als met een vulpen
De rechthoek op de bovenste figuur telt 30 vakjes en is opgedeeld in twee driehoeken en twee trapeziums. Door deze op een andere manier op de onderste figuur te plaatsen vult men hiermee blijkbaar een rechthoek op van 12 vakjes en een rechthoek van 20 vakjes.
Is 30 = 32?
Het is een leuke oefening om te verklaren waar de fout zit!
Een winkelier heeft een voorraad eieren en doet hierover de volgende vaststelling. "Als ik ze per 2, per 3, per 4, per 5 of per 6 leg, dan heb ik telkens één ei op overschot. Als ik ze echter per 7 leg, dan heb ik er geen op overschot." Wat is het kleinste aantal eieren dat deze winkelier kan hebben?
UITVINDING 31
Op het Amerikaanse platteland (en wellicht ook elders) stelde men vast dat het voedsel dat men voor de kippen uitstrooide vaak door een zwerm mussen werd opgegeten. Daarom bedacht men deze mussenvallen die men tussen de kippen plaatste. Mussen zijn blijkbaar erg nieuwsgierige vogels die zich gemakkelijk in deze val lieten vangen. In het artikel waarin men deze val voorstelde, vermeldde de auteur dat de boeren dan weer een ander probleem hadden: wat aan te vangen met de gevangen mussen?
EEN ALTERNATIEVE MANIER OM EEN VIERKANTSVERGELIJKING OP TE LOSSEN
Traditioneel leert men een vierkantsvergelijking van het type ax² + bx + c = 0 (met a, b en c verschillend van nul) oplossen door gebruik te maken van de discriminant D = b² 4ac.
Men spreekt in dit geval ook van de abc-formule (zie bijvoorbeeld: http://www.wiskundeonline.nl/lessen/kw_bewijs_abc_formule.htm). Wanneer er twee verschillende reële oplossingen zijn, kan men die op een eenvoudige manier vinden zonder gebruik te maken van de discriminant.
Kijk maar!
Kan deze tk-formule een hulpmiddel zijn voor een aantal mensen?
Marie verkocht haar twee fietswielen aan 36 euro per stuk. Op het ene wiel maakte ze 20 % winst en op het andere had ze 20 % verlies. Maakte Marie dan in totaal winst, verlies of geen van beide?
Oplossing.
Het ene wiel kocht ze voor 30 euro aan en verkocht ze aan 36 euro (6 euro
winst).
Het andere wiel kocht ze voor 45 euro aan en verkocht ze voor 36 euro (9 euro
verlies).
In totaal verloor ze dus 3 euro.
********************************************************************************************** Boer Bavo zet 's morgens 100 kg komkommers die voor 80 % uit water bestaan, in de zon. Wanneer hij 's avonds de komkommers weegt, stelt hij vast dat ze nog maar voor 75 % uit water bestaan. Hoeveel wegen de komkommers dan?
Oplossing.
s Morgens bestaan de komkommers uit 20 kg vaste stof
en die 20 kg is s avonds 25 % van het totaal gewicht van de komkommers.
Ze wegen dan dus nog 80 kg.
In het programma EUREKA op Nederland 3 van 10 oktober 2013 onderzocht Ionica Smeets hoe wiskunde kan helpen om het wereldkampioenschap voetbal te winnen. Je kan dit programma bekijken op http://www.uitzendinggemist.net/aflevering/236863/Eureka.html .
Daarin kwam onder andere een studie van penaltyprofessor Gyuri Vergouw ter sprake. Hij bestudeerde hoe enkele duizenden penalty's werden getrapt en berekende zo in welk gebied van het doel men het best trapt om te scoren.
De 'slaagpercentages' per gebied kan je aflezen op de onderstaande figuur. Men heeft dus duidelijk meest kans om te scoren als men erin slaagt de bal in de linker- of rechterbovenhoek van het doel te schieten.
Als je weet dat een doel 7,32 m breed is en 2,44 m hoog, dat de penaltystip zich op 11 meter van het midden van het doel bevindt en dat de snelheid van de bal ongeveer 80 km/u bedraagt, hoe lang duurt het dan om een bal vanaf de stip in de linkerbovenhoek van het doel te trappen?
Het antwoord (ongeveer 0,54 seconden) kan je vinden door twee keer de stelling van Pythagoras toe te passen.
De doelwachter heeft gemiddeld een reactiesnelheid van 0,14 seconden. Dit betekent dat hij nog maar 0,4 seconden heeft om tot in de bovenhoek te komen om daar de bal te stoppen. Dat is normaal gezien onmogelijk!
Op het Europees Kampioenschap voetbal van 1976 durfde de Tsjechoslowaakse speler Antonin Panenka het aan bij de beslissende penalty de bal zachtjes over de vallende Duitse doelman Sepp Maier te trappen. Hiervoor is uiteraard heel wat lef en psychologisch doorzicht nodig. Sindsdien spreekt men van 'een panenka'. Hieronder kan je het trappen van die befaamde strafschop nog eens bekijken.
In het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs nr. 156 (okt. - nov. - dec. 2013) vermeldt collega Hugo Staelens een hoogst merkwaardige gelijkheid van breuken. We merken graag ook nog op dat elk van de drie breuken gelijk is aan 1!
Een wiskundeleraar uit Drachten kende slapeloze nachten. Als ultieme remedie begon hij een therapie met kwadraten en hogere machten.
Lees ook de bijlage.
